基于对数型障碍Lyapunov函数的俯仰驾驶仪设计

摘 要：相控阵雷达制导拦截弹在拦截高速大机动目标时， 弹体气动参数剧烈非线性变化影响控制系统对大攻角的响应效果， 应设计考虑攻角指令跟踪误差约束的鲁棒自动驾驶仪控制律。 基于双幂次趋近律和对数型障碍李雅普诺夫函数设计了鲁棒非线性自动驾驶仪控制律， 可将攻角指令的跟踪误差快速收敛于约束范围内。 通过降阶扩张状态观测器对系统中存在的气动参数不确定性和系统外部扰动进行在线估计和补偿。 稳定性分析和数值仿真表明， 攻角可在1 s内达到稳态且攻角响应的稳态误差<10-4°， 所提出的自动驾驶仪控制律具有较强的鲁棒性， 能够准确稳定地跟踪攻角指令， 控制导弹产生所需过载进而精准拦截目标。

关键词：  障碍李雅普诺夫函数； 双幂次趋近律； 鲁棒非线性自动驾驶仪； 扩张状态观测器

中图分类号：TJ760； V448.133

文献标识码： A

文章编号：  1673-5048（2024）02-0106-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0108

0 引  言

在国土防空领域， 相控阵雷达制导拦截弹通常需针对高速大机动目标实施精确拦截， 为了实现这一目标， 要求相控阵雷达制导拦截弹大步提高其机动能力， 即对导弹稳定控制回路——自动驾驶仪提出了更高的要求。 传统自动驾驶仪是基于线性时不变模型设计的， 工作点的选取是确保了控制器对所有经线性化后的模型工作点相对满意， 但线性化过程中所忽略的非线性项将对导弹的稳定运行造成不利影响。 导弹在较大空域内实施高机动飞行时将会产生大攻角， 导致弹体气动参数发生剧烈非线性变化， 诸如空气密度、 大气压强和温湿度等外界大气参数产生剧烈变化， 同时阵风现象也将导致在设计控制器过程中需明确考虑系统的非线性问题［1］。 全捷联相控阵雷达制导弹在制导回路中存在由波束指向误差和天线罩误差导致的隔离度寄生回路， 对制导系统的终端脱靶量存在显著影响［2］。 当自动驾驶仪的攻角响应超调量较大时， 控制系统震荡剧烈， 隔离度寄生回路对制导控制系统的影响将进一步恶化。

针对相控阵雷达制导拦截弹处于大攻角时， 弹体气动参数将出现较大非线性变化的问题［3］， 文献［4］给出了大攻角下导弹飞行控制的六自由度动力学模型及与自动驾驶仪设计相关模型。 在此模型的基础上， 文献［5］应用增量范数方法 （Incremental Norm Approach） 优化了传统PI自动驾驶仪控制器在非线性系统的设计并分析了其在非线性环境下性能。 尽管应用反馈线性化和增益调度设计自动驾驶仪是最突出的方法之一， 但在面临高度非线性动态和大机动时控制器可能会遇到一些不令人满意的性能。 文献［6］基于状态相关Riccati方程针对强非线性控制问题进行了导弹自动驾驶仪设计， 文献［7］将系统不确定性和扰动项视为外部扰动， 设计一种基于自适应滑模控制理论的自动驾驶仪。 尽管如此， 大攻角下的空气动力学很难准确建模， 在进行自动驾驶仪设计中基于准确数学模型设计的控制器性能无法令人满意。

传统非线性控制律均假定系统不确定性是范数有界的， 使用高度保守的边界将导致过多的控制消耗， 使用下界可能会导致控制性能下降， 甚至引起系统失稳。 除此之外， 传统非线性控制律需要确保反馈的状态向量和输出导数均可被测量得到， 但往往系统不确定性无法准确测量得到， 需对系统不确定性进行估计。 国内外学者们针对系统的不确定性常采用观测器进行估计补偿［8–10］。 在众多观测器中， 扩张状态观测器（Extended State Observer， ESO）凭借其设计简单、 效果优异的特点被广泛用于具有强非线性系统的在线估计与补偿中。 文献［11］对降阶扩张状态观测器进行了频域分析。 文献［12］完善了自抗扰控制理论的稳定性分析。 文献［13］将扩张状态观测器应用于一类存在测量不确定性的扰动系统进行估计， 设计了针对非线性测量系统的自抗扰控制方法。 文献［14］给出了对于不确定有限维系统的可观测性证明。 文献［15］对扩张状态观测器的时域和频域效果进行了分析研究， 进一步增强了扩张状态观测器的理论基础， 提高了工程实践中的实用性。 近年来， 已有学者将扩张状态观测器应用于自动驾驶仪设计中， 文献［16］基于扩张状态观测器可同时估计状态和不确定性， 为战术导弹设计了纵向平面鲁棒自动驾驶仪控制器。 文献［17-18］在扩张状态观测器的基础上对等价输入干扰进行补偿， 提高了观测器效果并应用设计了自动驾驶仪。 不足的是， 以上文献在设计过程中均将重点放于对不确定性的估计补偿上， 忽视了攻角响应的超调量约束。

在导弹飞行过程中为降低噪声或隔离度寄生回路对制导系统的影响， 减小攻角响应时间和约束响应超调量难以同时兼顾。 文献［19-20］提出利用姿态角反馈增稳的经典三回路过载自动驾驶仪结构， 认为该设计对飞行高度、 速度以及弹体质心变化的敏感度较低， 可解决在发动机工作段对静不稳定弹体的控制问题， 从而延长末制导时间， 有效降低雷达天线罩误差斜率寄生回路对制导系统的恶劣影响。 文献［21］设计了预测校正开环穿越频率极点配置方法， 克服了传统三回路自动驾驶仪极点配置方法的缺陷。 文献［22-23］分析了三回路过载自动驾驶仪在雷达制导拦截弹上应用时的时频性能与线性设计方法， 提出了当存在隔离度问题时对于确定系统无量纲时间常数， 给定噪声条件下， 适当阻尼比ξ（通常ξ>0.4）可确保制导控制系统具有较大稳定域， 脱靶量不易发散。

针对上文提到的现有研究所面临的不足， 本文提出了一种基于双幂次滑模趋近律和对数型障碍李雅普诺夫函数（Logarithmic Barrier Lyapunov Function， BLF-Log）的动态面非线性自动驾驶仪控制律设计。 在动态面控制方法的框架内应用BLF-Log进行设计， 确保鲁棒性的同时保证针对攻角指令的包括超调量和稳态误差在内的攻角指令跟踪误差始终保持在约束区间内， 可维持控制系统对噪声和隔离度的低敏感性。 双幂次滑模趋近律可令自动驾驶仪具有较快的收敛速度和更好地收敛品质， 保证自动驾驶仪的快速性。 将BLF-Log和双幂次滑模趋近律相结合进行自动驾驶仪设计， 可解决导弹提高自动驾驶仪快速性与降低对噪声和隔离度敏感性的需求相互制约的问题。 对存在于系统中的气动参数不确定性等建模误差及弹体飞行过程的阵风外部扰动通过降阶扩张状态观测器［24］进行在线估计补偿， 提高自动驾驶仪对气动参数不确定性和外部扰动的强鲁棒性。 利用输出-输入状态转换方法将舵偏角约束转换为控制输入约束， 简化设计复杂性。 通过稳定性分析与数值仿真验证表明， 所设计自动驾驶仪控制律具有强鲁棒性， 有效降低了干扰对导弹控制系统的影响并可准确稳定地跟踪制导回路所产生的攻角指令， 控制弹体平稳及时产生所需过载， 确保导弹稳定飞行并最终对目标实施精确拦截。

1 纵向自动驾驶仪动力学模型

导弹自动驾驶仪的首要目的是保证导弹准确、 鲁棒地跟踪制导系统生成的输入指令， 从而根据控制指令产生控制力矩和控制力来改变导弹的攻角， 进而改变速度矢量方向， 使导弹稳定飞行直至命中目标。 此过程中， 自动驾驶仪必须满足性能指标要求， 例如过渡时间、 阻尼比、 准确度和抗干扰能力。 尾舵控制导弹弹体模型如图1所示。

图中， α为攻角； δ为尾舵偏转角； G为导弹质量中心； P为导弹压力中心； F为导弹升力; Fδ为由尾舵所产生的控制力。 具有大机动性的导弹纵向平面非线性数学模型［1， 25-26］描述如式（1）所示， 并假设在6 096 m海拔高度以马赫速度2.5飞行。

α·=KαMCncosα+q+gVSMcosγ

q·=KqM2Cm

γ·=－KαMCncosα－gVSMcosγ

M·=－Kα［M2（CD0－Cnsinα）］－gVSsinγ（1）

式中： Kα=0.7P0S/mVs， Kq=0.7P0SD/IY， P0为静压， S为参考面积， m为导弹质量， D为弹径， IY为俯仰力矩； M为马赫数； q为俯仰角速率； γ为弹道倾角； VS为音速； g为重力加速度； CD0为零攻角阻力系数； Cm与Cn为|α|≤23°时的导弹动力学系数，

Cn=anα3+bnα|α|+cn2－M3α+dnδ， Cm=amα3+bmα|α|+cm-7+8M3·α+dmδ+emq，

ai，  bi， ci， di（i=m， n）和em均为常数， δ为实际舵偏角。

在本节自动驾驶仪设计过程中， 舵机动力学被视为一阶伺服机构， 即

δ·=ωaδ+ωaδc（2）

式中： ωa为舵机带宽； δc为控制输入。 相控阵雷达制导拦截弹大多具有飞行高度高、 可实现高速大机动飞行等特征， 采用式（1）可更好适应对基于观测器的自动驾驶仪设计方法进行控制性能考核验证。

选取攻角α作为系统输出变量， 有利于保证系统的零动态稳定性。 由于在工程实际应用时， α无法直接测量得到， 通常需经过角速率陀螺或加速度计等弹载测量元件的实际测量信号计算得到近似攻角， 并将该近似攻角作为反馈信号实现伪攻角反馈［27］。 基于此， 本文假设攻角可通过伪攻角而近似获得。 系统状态变量为σ1=αqγMT， σ2=δ， 控制输入u=δc。 那么纵向平面非线性自动驾驶仪系统可表示为

σ·1=F1+G1σ2+D1

σ·2=F2+G2u+D2

y=Cσ1 （3）

式中： Di， i=1， 2为建模误差及外界扰动等不确定项；

G1=KαMdncosαKqM2dm－KαMdncosαKαM2dnsinα； F2=ωaδ； G2=ωa； C=［1 0 0 0］；

F1=F11F12F13F14=KαMcosαanα3+bnα|α|+cn2－M3α+q+gVSMcosγKqM2amα3+bmα|α|+cm－7+8M3α+emq－KαManα3+bnα|α|+cn2－M3αcosα－gVSMcosγ－KαM2CD0－anα3+bnα|α|+cn2－M3αsinα－gVSsinγ。

2 导弹俯仰平面鲁棒自动驾驶仪设计

2.1 基于BLF-Log的反步控制方法

考虑如下严格反馈非线性系统模型：

x·i=fi（x-i）+gi（x-i）xi+1 i=1， 2， …， n－1

x·n=fn（x-n）+gn（x-n）uy=x1 （4）

式中： x-i=［x1， x2， …， xn］T∈Rn； u∈R和y∈R分别为系统状态量， 控制输入以及系统输出。 fi（·）： Ri→R和gi（·）： Ri→R均为已知方程。 系统输出y（t）需要满足约束集|y（t）|<Kc， 其中Kc为正常数。

考虑如下BLF-Log方程进行控制器设计：

V1=12logKbK2b－z1（5）

式中： z1=x1－yd； Kb=Kc－A0， Kb为对转换状态量z1的转换约束。 通过保证转换状态量z1满足|z1|<Kb， 能够确保系统输出满足约束， 即 |y（t）|<Kb+A0=Kc。

令z1=x1－yd， zi=xi－αi－1，  （i=2，  …，  n）。

其中， αn－1为需要被设计的虚拟控制量。 根据式（5）可得式（4）的Lyapunov函数为

V1=12logKbK2b－z1

Vi=Vi－1+12z2i  i=2， …， n（6）

根据式（6）可以设计虚拟控制量αi和实际控制输入u为

α1=1g1（－f1－（K2b－z21）k1z1+y·d）

α2=1g2－f2+α·1－k2z2－g1z1K2b－z21

αi=1gi（－fi+α·i－1－kizi－gi－1zi－1） i=3， …，  n

u=αn（7）

式中： ki为正常数；  α·i－1=∑i－1j=1αi－1xj（fj+gjxj+1）+∑i－1j=0αi－1y（n）dyj+1d， i=2， …， n。

则式（4）的闭环误差系统可写为

z·1=－（K2b－z21）k1z1+g1z2

z·2=－k2z2－g1z1K2b－z21+g2z3

z·i=－kizi－gi－1zi－1+zi+1 i=3， …， n－1