有控弹箭稳定性边界的解析预测模型

引用格式：常思江，李东阳.有控弹箭稳定性边界的解析预测模型［J］.航空兵器，2023，30（1）：11-18.

ChangSijiang，LiDongyang.AnalyticalPredictionModelofStabilityBoundaryforGuidedProjectiles［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：11-18.（inChinese）

摘要：针对弹箭在控制力作用下的稳定性问题，对有控弹箭稳定性边界的解析预测模型进行研究。通过对弹轴系纵轴向角速度的线性化，在弹轴系下建立了有控弹箭角运动方程；通过对弹轴系与非滚系之间滚转角的线性化，在非滚系下建立了五阶角运动方程。根据线性系统稳定性理论，分别推导出弹轴系和非滚系下的稳定性边界解析预测模型。对两种模型在多种工况下开展了仿真分析，结果表明，所提出的弹轴系模型可用于升弧段和降弧段，但控制方位角的应用范围受限；而非滚系模型不受控制方位角范围限制，预测精度较好，但只能用于降弧段，且控制力过大对模型精度产生不利影响；实际工程中建议对两种模型进行综合应用。

关键词：有控弹箭；控制力；角运动；稳定性；弹轴坐标系；非滚转坐标系

中图分类号：TJ760

文献标识码：A

文章编号：1673-5048（2023）01-0011-08

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0219

0引言

随着精确打击和低间接伤害概率逐渐成为现代战争对弹药武器的基本要求，各类低成本弹道修正弹、制导炮弹、制导航弹等有别于一般导弹的有控弹箭应运而生，目前已广泛用于航炮、舰炮、地炮等武器系统，具有较高的效费比［1］。

由于这类有控弹箭主要是在相应的无控弹箭平台基础上通过制导化改造而成，故自20世纪70年代末以来，研究人员就十分关注弹箭在控制力作用下的稳定性和动力学响应等问题［2-4］，针对各种有控弹箭开展了相关研究。Wernert等［5］对鸭式布局双旋稳定弹的稳定性判据进行了研究；Corriveau等［6］针对脉冲发动机控制弹箭，研究了双脉冲策略下的弹体响应特性；Cooper等［7］研究了鸭式布局非对称尾翼弹的稳定性问题。国内外学者近年来针对鸭式布局（含固定舵和可偏转舵）双旋弹这类有控弹箭，对自由运动［5］、强迫运动［8］、弹体对控制力和重力的动态响应［9］、法向力计算模型［10］、质心偏移运动特性［11］、全弹道动态稳定性［12］、控制稳定性［13］等方面开展了深入研究。此外，Hu等［14］利用传递函数研究了捷联导引头延时所引起的弹箭锥形运动不稳定；Li等［15］研究了弹道修正弹的稳定控制力边界问题。

从研究方法角度，上述研究主要是基于攻角方程，通过各种简化对攻角方程实施近似解析求解，从而得到相关的稳定性判据等。为了验证相关解析解的有效性，往往还需对刚体弹道模型进行数值计算，由此也引出一重要的学术问题。

Lloyd等［2］通过数值计算发现，对具有头部控制力的有控弹箭（如鸭式布局双旋弹，其头部与后体通过滚动轴承连接，可实现差动滚转），控制力的作用会引起弹体章动和进动不稳定，而传统的外弹道线化理论却无法解释数值计算中出现的这种现象。研究表明［2-3］，这其实与角运动建模的坐标系选取有关。弹箭角运动建模，可选择弹轴坐标系（以下简称弹轴系）或非滚转坐标系（以下简称非滚系）。若采用反旋电机等部件，可近似实现头部控制力相对于惯性系（如地面坐标系）保持方向不变［2，11-13］，则在非滚系内建模，必然引入新的变量（滚转角度N），如忽略该变量，将无法预测上述不稳定现象；在弹轴系内建模，存在纵轴向角速度的问题（表现为弹体俯仰角和摆动角速度的耦合），若忽略该纵轴向角速度，则等效于在非滚系内建模。以往研究常假设俯仰角为零（即水平射击），这与实际中“控制力往往在弹道降弧段作用”的工况具有较大差异。

对此，Lloyd等［2］首先在非滚系下建模，对弹轴系与非滚系之间的滚转角进行简化，并利用线性化理论研究了角运动方程的特征根，进而给出控制力在水平和铅直方向的稳定范围。针对同一问题，Murphy［3］认为，不必从弹轴系转换到非滚系也能得到相应结果，他通过引入共轭变量，采用拟线性法求出复攻角方程的特征根，据此给出控制力诱导出的最大平衡攻角之稳定边界。Li等［15］针对弹道修正弹的控制力稳定边界问题，通过补偿矩阵对控制力和重力的影响在弹轴系内进行了补偿，但并未深究不同坐标系下建模的本质差异。

文献［2-3，15］所研究的问题本质上可概括为“有控弹箭稳定性边界的解析预测”。“稳定性边界”是指只要控制力大小在边界范围内，则可保证受控弹箭的稳定飞行；而“解析预测”是指利用角运动方程，通过解析方式找到相应的边界值。该研究可为有控弹箭总体方案的初步设计提供理论依据。根据上述分析，该问题的关键在于坐标系。简言之，Lloyd等［2］认为不能在弹轴系内建模而只能在非滚系中建模；Murphy［3］和Li等［15］则都认为可在弹轴系内建模，只不过需针对具体方程做一些修正。此外，上述文献仅针对弹道降弧段工况进行了研究，而实际上在弹道升弧段进行控制也是需要的（如对于防空类弹药）。

为从弹道学机理角度厘清上述问题，本文以一类具有前（头部）、后（弹身）两体双旋结构的旋转稳定弹道修正弹为研究对象（其头部可提供弹道控制所需的法向力），将在弹轴系和非滚系下分别建立计及控制作用的弹箭角运动模型，根据线性系统稳定性理论，推导稳定性边界的解析预测模型，考察升弧段和降弧段两类工况，据此分析不同坐标系下所得结果的优势和局限性，以期为该问题的机理研究及有控弹箭总体方案设计等提供参考。

1不同坐标下的弹箭角运动方程

1.1坐标系简介

弹箭攻角运动方程的建模可在弹轴系或非滚系下进行。由于弹轴系和非滚系是从地面坐标系（简称地面系）和弹体坐标系（简称弹体系）得到，故本节先介绍地面系和弹体系。

地面系原点A取为炮口中心；ZE轴沿重力方向，向下为正；XE轴与重力方向垂直，指向弹体的速度方向为正；YE轴由右手法则确定。通常将地面系（AXEYEZE）平移至弹体质心，得平动坐标系（OXEYEZE）。

弹体系与弹体固联，原点位于弹箭质心O；X轴与弹体纵轴重合，指向头部为正；Y轴在弹翼对称平面内与X轴垂直，从弹尾向前看去，向右为正；Z轴方向按右手法则确定。弹体系（OXYZ）可由平动坐标系经欧拉转换，依次绕Z轴、Y轴和X轴旋转弹体偏角ψ、俯仰角θ和滚转角得到。

弹轴系的Y轴始终在水平面内，为此，将弹体系绕X轴转过滚转角－即得弹轴系（OXYAZA）；非滚系X轴的角速度始终为零，故将弹轴系绕X轴转过滚转角N，使X轴的角速度为零，即得到非滚系（OXYNZN）。需要说明的是，滚转角N是一个人为定义的角度，与飞行器俯仰角、偏航角、滚转角等姿态角相比，并非一可视化的姿态角，其物理意义在于：角速度N恰与弹轴系X轴的自转角速度抵消，从而保证非滚系X轴的自转角速度为零，使得角运动建模过程得以简化。

值得说明的是，对于双旋稳定弹的控制力，在弹轴系内建模，模型相对准确但计算不便；在非滚系内建模，模型误差稍大但计算方便。因此，本文在两种坐标系下开展研究，以便为不同应用场合提供适用的模型和算法。

1.2弹轴坐标系下的角运动方程

设弹箭在弹轴系下的角速度三分量分别为p，q，r，则弹轴系纵轴向（X轴）的角速度可表示为

Ωx（s）=－rdVtanθ（1）

式中：d为弹径；V为来流速度；s为无量纲弹道弧长，s=∫Vdt/d，t为弹箭飞行时间；θ为弹体俯仰角。

对于本文研究的有控弹箭，作用在弹体上的控制力和力矩如图1所示。

如图1所示，NC和MC分别为控制力和控制力矩；控制力作用点至弹体质心的距离为XC（定义控制力作用点位于质心之前为正，XC>0）；φP为控制力NC相对于地面系铅直轴（重力方向）的方位角。

控制力在弹轴系中的表达式为

FCxFCyAFCzA=NC0sinφP－cosφP（2）

控制力矩在弹轴系中的表达式为

MCxMCyAMCzA=XCNC0cosφPsinφP（3）

当控制力很小或为零时，角速度Ωx（s）≈0；但对于控制力较大的情形，Ωx（s）值不可忽略，否则会引起文献［2］所示的误差。

设攻角在弹轴系下的分量为高低攻角α和方向攻角β，则θ=θV+α，其中θV为弹道倾角；同时，将攻角角速度近似等于弹体横向角速度，即r≈－β·，q≈α·。因此，为方便后续求平衡点，对式（1）做如下近似：

Ωx（s）=β′tan（θV+α）≈β′［tanθV+（1+tan2θV）α］（4）

取状态变量

x=［αα′ββ′］T（5）

式中：“′”表示对无量纲弧长s的一阶导数。

根据外弹道理论［16］，在弹轴系下建立以时间t为自变量的横向运动方程，为

v·=Fay+Fnaym－（uΩz－Ωxw）

w·=Faz+Fnazm－（vΩx－Ωyu）

q·=May+MnayIy－（σpΩz－Ωxr）

r·=Maz+MnazIy－（Ωxq－σpΩy）（6）

式中：Ωx，Ωy，Ωz为弹轴系相对于地面系的角速度分量；其余符号同前。

定义复攻角ξ=（v+iw）/V和复弹体摆动角速度μ=（q+ir）（d/V），取无量纲弹道弧长s=∫Vdt/d为自变量，则可将式（6）写成复数形式，即

ξ′+V′V+iΩxdVξ－iuVμΩ=（Fy+iFz）dmV2μ′+V′V+iΩxdVμ－iσpdVμΩ=（My+iMz）d2ItV2（7）

式中：

μΩ=（Ωy+iΩz）（d/V），可认为μΩ≈μ；

Fy+iFz=mAV2（Cy+iCz）/d+（Fnay+iFnaz）；

My+iMz=Ak-2t·（Cm+iCn）ItV2/d2+（Mnay+iMnaz）；（Cy+iCz）为侧向气动力系数，（Cm+iCn）为侧向气动力矩系数，限于篇幅，两者的具体表达式从略。

从式（7）中第1式解出μ，将其关于s求一阶导数可得μ′，将μ和μ′代入式（7）中第2式，经推导得到只含有复攻角ξ的角运动方程，为

ξ″+［H-i（P1-P2）］ξ′-［M-P1P2+i（PT-P′2+S1）］ξ=（Ry+iRz）（8）

式中：P1=P－Ωx（s）；P2=Ωx（s）+P20；P=σpd/V；P20=PACNpα/σ+ACSN；等号右端的Ry和Rz是与控制力和重力有关的项，其具体表达式较冗长，这里从略；其余符号同前。