细长体分布式载荷的缩聚及其在气动伺服弹性地面模拟中的应用

摘 要：气动伺服弹性地面模拟试验是近年发展出的一种新型气动弹性地面试验技术， 其中的一个关键问题就是非定常气动力的缩聚， 即将飞行器所受的分布式气动载荷缩聚为少数几个集中载荷。 传统缩聚方法以简单的力、 力矩平衡准则对分布力进行处理， 或者是通过求解静不定问题， 把支反力作为缩聚力， 均存在一些缺点。 本文提出一种基于一维样条插值的细长体分布式载荷缩聚方法， 采用关键模态相似准则来优化缩聚点位置， 以达到细长体在缩聚点集中式载荷作用下的动响应与分布式载荷作用下的动响应最为接近的效果。 利用简支梁、 悬臂梁两个算例验证了所提出的分布式载荷缩聚方法的精度， 并将该方法应用于一个细长体导弹的气动伺服弹性地面模拟中。 数值仿真表明， 所提方法能够快速准确将导弹的非定常气动力缩聚成实时的集中力， 满足气动伺服弹性地面模拟试验的精度和快速性要求。

关键词：气动伺服弹性； 地面试验； 载荷缩聚； 细长体； 样条插值

中图分类号：  TJ760； V211.47文献标识码：A文章编号： 1673-5048（2023）03-0093-10

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0144

0 引言

气动弹性地面模拟试验是近年来发展的新型气动弹性地面试验技术。 该方法以真实飞行器为研究对象， 根据传感器采集到的结构振动信息， 实时计算缩聚点的集中非定常气动力， 使用力加载装置进行集中力的实时加载， 从而在地面无风洞情况下模拟飞行器在空中飞行时的气动弹性特性。 20世纪60年代， 美国的Kearns［1］最早提出了颤振地面仿真的概念， 初步探索了模拟导弹飞行时机翼气动力的地面试验方法。 国内早期研究代表为潘树祥和齐丕骞［2］， 主要进行了结构热颤振的地面试验研究， 受限于当时的理论方法及硬件水平， 试验误差较大。 近年来， 诸多学者开展了进一步的研究。 美国ZONA公司的Zeng等［3-4］于2011年开展了颤振地面模拟试验， 并命名为干风洞技术（DWT）， 试验使用少数激振器对结构施加集中力来模拟分布式气动载荷并进行了颤振预测。 2012年， 许云涛等［5- 6］对颤振地面模拟试验中的非定常气动力模拟进行了细致的研究。 随后， Wu和张仁嘉等［7- 8］开展了舵系统颤振地面模拟的实验研究， 设计了只具有沉浮和旋转自由度的舵系统实验模型。 2016年， Wu等［9］开展了矩形平板机翼颤振地面模拟试验。 其他国内学者如胡巍和Wang等［10-11］在气动力缩聚理论、 力控制方法、 试验误差干扰影响等方面都对颤振地面模拟试验方法做出了贡献。 对于气动伺服弹性地面模拟试验， Wu和楚龙飞等［12-13］针对带有控制回路的细长体导弹进行了试验研究， 受力加载设备特性和气动力计算理论限制， 未考虑分布式非定常气动力的缩聚， 仅将弹体划分为前后两个气动段。 一般认为细长体气动段划分数量越多， 气动力计算越准确。

缩聚（Condensation）在力学上是指为满足某种等效条件， 将分布力转化成作用在若干结点上集中力的处理方法。 在气动伺服弹性地面模拟试验中， 研究对象可能涉及长细比大于10的细长体， 如导弹、 火箭。 细长体所受分布式载荷一般包括分布式气动载荷、 惯性载荷等。

其通常是非定常的， 且可以简化为沿细长体中心轴呈一维分布的分布力。 该试验需要通过一定的加载设备来模拟这种分布式载荷。 由于加载设备数量及加载空间的限制， 需要将细长体分布式载荷等效缩聚为少数个作用

点的集中载荷。 因此， 分布式载荷缩聚方法的优劣决定了试验结果的准确性。

工程上常用的一种缩聚方法是静力学等效方法， 即将试验结构视为刚体， 依据刚体静力学平衡的原则进行分布式载荷的等效缩聚。 该方法在飞行器静力试验中应用广泛， 但对动力学试验和气动弹性地面模拟试验并不适用。 在这类试验中， 分布式非定常气动力与试验结构的弹性变形相关， 传统方法无法保证试验结构在缩聚后集中力作用下的动响应与分布式载荷作用下动响应等效。 目前已有的文献［14-17］主要针对平板机翼等开展气动力缩聚研究， 文献［5］研究的也是一种小展弦比翼面的非定常气动力缩聚方法， 而对于细长体的非定常气动力缩聚方法还鲜见有文献报道； 大多数气动弹性地面模拟试验研究关注的是颤振问题， 关于导弹气动伺服弹性的地面模拟研究也较少。

本文旨在提出一种细长体分布力的等效缩聚方法， 既可替代传统方法应用于细长体静力试验， 也可应用于细长体动力学试验。 与传统方法相比， 该等效缩聚方法只与外载荷分布情况以及缩聚点的位置有关， 不需要研究对象的结构信息。 为验证方法的精度， 通过两个算例分别验证缩聚方法在静力学、 动力学中的效果。 最后将本文方法应用于细长体导弹的气动伺服弹性地面模拟中， 通过数值仿真来评估应用效果。

1 载荷缩聚的问题描述

细长体分布载荷的缩聚问题为： 如图1所示的一维梁式结构中， 作用于梁上有集度为h（x）的分布力。 在梁上寻找k个缩聚点（横坐标记为xi， i=1， 2， …， k）， 各缩聚点的集中作用力为Fi， 使得集中载荷的作用与原分布载荷等效。 求缩聚点的位置及其集中力。

这里需要说明一下“等效”的含义。 “等效”在不同的情况下含义是不同的。 在传统方法中， 静力学等效认为结构是一个刚体， 从力的平衡角度来处理， 即若缩聚前后， 作用在结构上的合力、 合力矩均相同， 则视为等效。 若满足合力、 合力矩相同的同时， 要求缩聚点处位移、 转角连续， 则是另一种标准下的等效。 本文方法的等效是基于动力学响应特性。

2 传统方法的回顾

传统方法主要有两种： 静力学等效、 静力学求解。 下面分别简述其基本原理和处理方法。

2.1 静力学等效

静力学等效是假设梁为刚体， 缩聚点的集中力与原分布作用力是静力等效的（在二维平面内即合力相等， 对参考点的合力矩相等）。

在实际处理中， 首先将梁分成k-1段， 分别对各段上的分布力进行集中， 再按静力等效分配到各段梁的2个结点上， 如图2所示。

对每一段进行相同的求解， 得到各缩聚点的集中力大小。

这种方法的问题是不能保证结构变形等效， 需要有较多的缩聚点， 才可满足工程中的等效加载要求。

2.2 静力学求解

静力学求解是在梁上选取k个缩聚结点， 将这些缩聚点的平动位移自由度约束住， 求解一个静不定问题， 如图3所示。 求解得出的各缩聚点的约束反力即为缩聚后的集中力。

相比2.1节方法， 该方法是在合力等效、 合力矩等效两个方程的基础上， 增加了结构变形协调关系。 该方法获得的缩聚力对原分布载荷的模拟精度较高， 但如果缩聚点的位置不合适， 可能导致求出的缩聚集中力出现不合理的值。 此外， 该方法与结构的刚度分布有关， 事先需要知道结构的刚度分布信息， 再通过有限元法完成静不定结构的静力求解， 对于非定常分布载荷的实时缩聚并不合适。

这里忽略各阶模态的影响权重的差异， 即均取为1。

以上误差实际上与缩聚点坐标x有关。 因此缩聚点位置优化可以转化为设计变量为x、 目标函数为Δ的优化问题。 对于以上的优化问题， 可以采用非梯度的智能优化算法来寻优， 例如遗传算法［20］。 作为一种通用的问题求解方法， 遗传算法采用简单的编码技术来表示各种复杂的结构， 并通过对一组编码表示进行简单的遗传操作和优胜劣汰的自然选择来指导学习和确定搜索的方向。

4 载荷缩聚方法的验证

本节包含算例A（均匀简支梁模型）和算例B（变截面悬臂梁模型）。 梁的模型长1 m， 沿轴向被划分为100个杆单元， 包含101个节点， 高度方向为y向， 如图4所示。 图中， 均匀梁的截面为宽0.02 m、 高0.05 m的矩形； 变截面梁的根部截面宽0.04 m、 高0.1 m， 自由端截面宽0.02 m、 高0.05 m， 截面尺寸线性变化。 结构的阻尼比为0.01。 材料属性设置如表1所示。

4.1 算例A及结果分析

算例A： 一根1 m长的两端简支均匀梁， 受到集度为h（x）=1 N/m的均匀分布载荷作用。 缩聚点数量为5， 均匀分布在梁上。 分别采用静力等效法、 静力求解法和本文提出的缩聚方法得到缩聚载荷， 并将各种缩聚载荷作用在梁上产生的位移变形与原均布载荷产生的变形做比较。

结果分析：

（1） 原均布载荷作用

将分布载荷h（x）向密集点离散化， 当密集点足够多时， 可以认为离散前后的效果是相同的。 密集点选择梁上的101个有限元节点， 离散结果为第1和101个点的集中力为0.005 N， 其余点的集中力为0.01 N。 在等效密集点载荷作用下， 通过有限元软件Patran得到简支梁的静变形， 并以此为参照。

（2）静力等效法

由2.1节介绍的静力等效法， 计算出作用在缩聚点上的集中力。 将此集中力作为载荷， 得出简支梁变形。 经计算与密集点载荷的误差为Δ=6.49%。

（3）静力求解法

采用静力求解法， 在缩聚点的位置添加垂直于梁的约束， 将静定问题转化为静不定问题。 使用Patran求解此静不定问题， 得到5个约束力； 缩聚力即取约束力的负方向。 将得到的缩聚力加在梁上， 进行静力分析。 经计算与密集点载荷的误差为Δ=0.43%。

（4）等效缩聚法

采用2.1节所述的静力学等效法， 将分布载荷h（x）向密集点x1， x2， …， xn离散化。 为分析方便， 密集点即取梁上的有限元节点， 即横坐标从0至1、 间隔0.01的均匀分布的101个点。

根据密集点与缩聚点的坐标， 得到从密集点载荷f～插值得到缩聚点载荷f所需的插值矩阵G。 根据f=GTf～， 得出缩聚力f。 加载后， 经计算与密集点载荷的误差为Δ=0.58%。

将3种缩聚方法与原密集点载荷产生的静变形分别进行对比， 结果如图5所示， 误差大小如表2所示。 在本算例的静力学问题下， 静力等效法的误差相对较大， 而静力求解法和等效缩聚法的误差均较小。

在本算例中可以发现， 静力求解法的精度略高于本文提出的等效缩聚法。 但静力求解法的使用需要事先建立有限元模型， 而对于较为复杂的结构并不方便。 除此之外， 静力求解法受限于有限元软件的求解速度， 在针对多数场景下的非定常动载荷时并不实用， 而等效缩聚法在动载荷的实时计算上体现出了更大的优势。

4.2 算例B及结果分析

算例B： 一根1 m长的悬臂变截面梁， 受到集度为h（x）=1 N/m的均匀分布载荷作用。 初始缩聚点数量为5， 均匀分布。 首先采用本文提出的缩聚方法进行载荷缩聚， 比较缩聚载荷与原分布载荷产生的位移和转角变形； 更进一步， 采用悬臂变截面梁的前两阶固有模态振型作为假设模态振型， 进行缩聚点的位置优化， 并与之前的结果比较； 最后将载荷设置成谐振力， 比较载荷缩聚前后结构的时域响应和频率响应曲线。

结果分析：

对于初始均匀分布的5个缩聚点， 通过本文方法， 得到缩聚力f=［0.085 5， 0.327 4， 0.174 1， 0.327 4， 0.085 5］， 将得到的缩聚力加在梁上， 进行静力分析校验。 梁位移变形、 转角变形的结果如图6所示。 二者的相对误差Δ=0.29%， 误差控制很好。

现对梁在x-y平面内的前两阶模态（一阶弯曲和二阶弯曲）进行插值。 初始缩聚点数量为5， 位置均匀分布； 采用遗传算法进行缩聚点位置优化， 优化变量为缩聚点位置， 即一个包含5个坐标的位置向量， 约束条件为每个坐标仅能取101以内的正整数， 优化目标为使式（22）最小化。