一种基于杂交进化的灰狼优化算法

关键词：差分进化算法；灰狼优化算法；混合算法；函数优化

中图分类号：TP181 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2024）21-0001-05

0 引言

群体智能优化算法是智能计算中常用的算法，通过模拟自然界群体动物的行为特征，对群体或个体交互信息进行反复迭代，不断调整优化策略，逐渐找到问题最优解或逼近最优解。例如，粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO） [1]、DE算法[2]、鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA） [3]和GWO 算法[4]等。

狼群具有严格的等级观念，在外出捕猎、领地争夺方面强调团队作战和相互配合，是智能化和协作性很强的群体，展现出复杂的社会结构和行为模式。基于上述观察，澳大利亚学者Seyedali Mirjalili 于2014 年提出了一种新型智能优化算法GWO，通过模拟灰狼的狩猎过程来寻找最优目标[4]。

GWO算法自提出以来，以其简洁高效的特点受到广泛关注和应用，例如神经网络设计、特征选择、机器学习等。与其他智能算法相比，该算法具有更高的搜索效率和收敛速度，可在更短的时间内找到最优解；具备全局搜索能力，可以克服多峰函数等复杂情况下的局部最优解；建模过程简单直观，易于理解和实现；应用领域广泛[5]，包括机器学习、数据挖掘、图像处理和神经网络等，是解决实际优化问题的有力工具。

1 相关理论

1.1 GWO算法原理

GWO算法利用数学模型模拟灰狼捕食猎物的过程，以达到优化目标。相较于其他群体智能算法，该算法具有许多优点，如易于操作、原理简单易懂、具有较强的搜索能力以及参数调节较少等特点[6-7]。

在自然界中，群居的狼群有严密的金字塔结构。为了模拟狼群等级结构进行建模，用字母α表示第一等级个体，字母β 表示第二等级个体，字母δ 表示第三等级个体，字母ω表示最底层等级个体。在建模过程中，为便于实现，将第一等级、第二等级和第三等级分别设定为一只灰狼。在算法初始化阶段，先让α、β、δ 狼锁定猎物，然后不断尝试接近猎物并进行跟踪，底层ω狼紧随α、β、δ狼，将猎物包围并发起进攻，不断重复该过程直至捕猎过程结束[4]。

2 改进的灰狼优化算法

2.1 混沌理论

在自然科学中，混沌指的是确定性系统的行为无法被准确预测。在系统运行的某个时刻或某个时间段内，无法发现系统运行的规律或秩序，但随着系统演化和发展，在无法预测的情况下，系统会逐渐呈现出稳定有序的状态。混沌系统的不断演化过程可以通过迭代函数进行数值模拟，每次迭代都会产生一组随机值。虽然函数初始值不同会导致迭代函数的输出结果不同，但所有输出结果的最优解是相同的。这种现象可以用混沌映射来模拟，表示输入和输出之间一一对应的关系。

随机优化算法通过在解空间中执行随机分布，利用评价函数寻找最优解，如均匀分布或高斯分布。理论上而言，混沌映射比随机分布有明显的优势，展现出更加趋同化的随机分布特质，能够更精确地反映和表示群体特征。混沌系统所具备的随机性和统一性相结合的特点，相比于传统概率分布的单一随机性，在算法迭代、更新和进化方面的质量更优。

混沌映射是模拟混沌系统运行的函数，已成功应用于监督或半监督群体智能优化算法，如GA（GeneticAlgorithm） 、PSO算法等。如果选取到一个合适的混沌映射函数，将混沌映射与群体智能优化方法相结合，可以产生出比二者单独使用更好的效果。研究表明，混沌具有更好的演变和进化能力，当优化算法的迭代参数被混沌映射替换时，解空间具有更高的质量和适应性。因此，将混沌映射引入群体智能优化算法，更有利于算法性能提升。本文将Logistic混沌回归映射方程[8]引入GWO算法中，如表1所示。

2.2 算法原理

为解决GWO算法在计算最优解时出现的波动性大、求解质量低等缺点[9]，本文提出将DE算法的杂交和优选操作引入GWO算法的初始化和迭代计算过程中，实现一种基于杂交进化的GWO算法，即DEGWO 算法。该算法综合了DE算法和GWO算法的优点，限制了各自缺点，显著提高了算法稳定性和寻优能力。在初始化阶段，为突出种群代际之间的迭代差异，更有利于个体分化和突变，采用DE算法的杂交和优选操作，引导种群向不同的分支发展。

本文DEGWO算法步骤如下：首先，采用DE算法的杂交和优选操作，计算GWO算法的初始种群分布以及个体的评价准则函数值，选出最优的个体，用α、β和δ 表示；然后，根据选出的个体去迭代计算其他个体的坐标位置；最后，利用DE算法的杂交和优选操作对个体的位置进行重新计算，重复执行该过程，直到找到全局最优个体。这种将DE算法的操作引入GWO 算法的初始化和迭代过程的方法，既能提高算法的稳定性，又能在一定程度上避免迭代过程过早退出，以及求解质量不高的缺点[10]。该算法的具体步骤如下：

①初始化算法参数：种群数量N、突变概率CR、个体矢量属性维度D、寻优区间ub、lb 和比例调节因子F，使用混沌映射生成个体的坐标。

②设置参数a、A 和C 的初始值，根据公式（10） 对个体执行变异操作，根据公式（12） 进行优选操作，保留优质个体，初始化迭代种群，设置迭代次数为1。

③计算个体的评价函数值，对种群个体进行优选，选出最优个体Xα、Xβ和Xδ。

④根据公式（5） 计算其他个体与最优个体Xα、Xβ和Xδ之间的相关性，然后根据公式（6） 和公式（7） 更新当前个体的坐标。

⑤将算法中a、A 和C 的值更新，根据公式（11） 对个体位置进行杂交操作，淘汰劣质个体，保留优质个体，然后根据公式（12） 杂交生成新个体，计算其评价函数值。

⑥计算最优个体Xα、Xβ和Xδ的坐标。

⑦若满足算法终止条件，输出最优解，算法退出；否则，继续执行步骤③。

3 实验和仿真

3.1 测试函数及参数

为评估算法性能，本研究选择3个不同模态的基准函数进行测试，包括单模函数F1、多模函数F2和复合函数F3。3个函数的维数分别设置为30、30和2。DEGWO算法参数N和tmax分别表示种群数量和迭代次数，设为100和3 000。3个基准测试函数的公式及搜索范围等信息如表2所示，3个基准函数寻优空间如图3、图4和图5所示。

3.2 性能分析

为评估DEGWO 算法的计算精度，将该算法与GWO、PSO、WOA算法进行比较，对表2中的3个基准函数求解，结果如表3至表5所示。为评估本文算法的收敛速度，使用MATLAB绘制了3个函数的收敛速度曲线图，如图6至图8所示。本实验所有的数值仿真均在MATLAB R2018b版本上运行。

3.2.1 精度对比

通过对3个基准测试函数求解，将本文算法与其他3个算法的结果进行对比，对算法优化性能进行比较分析，验证算法的有效性和可行性。为避免偶然因素造成对比实验的不公平，4个算法实验均重复执行30次，记录4个算法的最差精度、最优精度、平均精度和标准差。其中，最差精度和最优精度反映了所得解的质量；平均精度表示在给定迭代次数下算法的精度；精度标准差值表示算法的稳定性以及鲁棒性。实验结果如表3至表5所示。

①对于单模态基准测试函数F1，称为sphere func⁃tion，三维图像如图3所示。从表3可以看出，本文算法在F1函数上的最优精度、平均精度和精度标准差值均优于其他算法，表明该算法找到的最小值更接近最优解，且算法更稳定。

②对于多模态基准测试函数F₂，称为schwefelfunction，三维图像如图4所示。该函数图像复杂，具有许多局部极小值，可在超立方体上对于所有的i =1， 2， ...， d求值。从表4中可以看出，本文算法比其他算法要好，但WOA算法在平均值和标准差方面更优。这表明对于F₂函数，WOA算法在4个算法中最稳定，而本文算法的求解质量最高。

③对于复合基准测试函数F₃，简称DJ function，其三维图像如图5所示。该函数是多模态的，其特点是在平坦的表面上有非常尖锐的水滴，通常在x 的平方上求值。从表5中可以看出，4个算法的最优值完全相同，表明这些算法在求解质量方面差异不大；然而，GWO算法的均值和标准差值明显高于其他算法，说明GWO算法在F₃函数上的稳定性和鲁棒性最差。

3.2.2 收敛速度

为验证本文算法在收敛速度方面的优势，将其与其他算法进行了比较。比较结果用函数收敛曲线来描述，如图6—图8所示。

从图6和图7可以看出，GWO算法和本文算法在F₁和F₂函数上的收敛曲线比其他算法明显要快，表明这两种算法的寻优速度更快。随着迭代次数的增加，DEGWO算法的收敛值比GWO的收敛值更小，说明本文算法在这两个函数上的寻优能力强于原始的GWO 算法。

从图8可以看出，4个算法在F₃函数上的收敛曲线呈现相同的趋势，均随着迭代次数的增加逐步收敛。其中，DEGWO算法的收敛速度最快，这表明该算法在F₃函数上的寻优能力优于其他算法。

4 结束语

针对灰狼优化算法（GWO）在解决群体优化问题时存在精度低、收敛速度慢等问题，本研究将差分进化（DE）算法的杂交和优选操作引入GWO算法的初始化和迭代计算过程中，对GWO算法的初始化和位置更新进行了改进，提出了一种基于杂交进化的灰狼优化算法（DEGWO）。为验证算法的计算精度、收敛速度和稳定性，将本文算法与粒子群优化（PSO）、鲸鱼优化（WOA）和GWO算法在3个不同的基准测试函数上进行了对比实验。实验结果表明，本文提出的DEGWO 算法在计算精度、收敛速度和稳定性三个方面均具有一定的优势。