导数在卷积神经网络训练中的应用

摘要：近年来，人工智能发展势头强劲。在这一领域，导数在算法设计和模型优化等方面扮演着举足轻重的角色。同时，导数也是高等数学教学中的重难点。以卷积神经网络训练为设计案例，旨在提炼出其中蕴含的数学方法和思想，以期激发学生对数学的兴趣，培养他们的科研能力，同时也为基础课程的建设和发展提供助力。

关键词：高等数学；导数；方向导数；梯度；CNN；导数应用

中图分类号：TP18 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2024）35-0016-05 开放科学（资源服务） 标识码（OSID） ：

0 引言

在21世纪的数字化时代，人工智能（Artificial In⁃telligence， AI） 已成为推动科技创新与经济增长的关键动力。从深度学习的重大突破到自然语言处理的飞速发展，AI正以惊人的速度革新着生活和工作的方式[1]。如今，图像识别技术现已经能够匹敌甚至超越人类视觉，自动识别和分类数百万图像。语音助手如Siri（或其他语音助手）日益智能，可理解和执行复杂命令。自动驾驶系统，如特斯拉Autopilot，为驾驶者提供辅助功能。医疗领域中，AI辅助诊断系统帮助医生提高诊断疾病的准确性和治疗效率。金融行业内，通过大数据分析与机器学习算法，AI助力银行和投资公司评估风险，并预测市场趋势。教育领域内，个性化学习系统根据学生习惯与能力提供定制化教学方案。从智能音箱到自动驾驶汽车，从精准医疗到个性化教育，人工智能的应用已经深入人们生活的每一个角落。而在这一切背后，有一种数学工具正在发挥着至关重要的作用——那就是导数。

导数在人工智能的广阔天地里，应用广泛至极。它是机器学习和深度学习核心算法的数学基石，尤其在模型优化、性能分析以及特定应用领域发挥着不可替代的作用。例如，在深度学习领域内，导数可以帮助计算损失函数关于参数的梯度，沿梯度指引快速降低损失并提升预测能力。在强化学习中，导数帮助人们理解智能体的行为和环境之间的相互作用。如策略梯度方法[2]，计算奖励函数关于智能体行为的导数，以便优化智能体的策略和反馈调整自己的行为，以达到更好的性能。再如基于梯度的优化算法，寻找最佳策略[3]和支持向量机[4]中的最优超平面。在模型性能分析中，导数评估模型对输入变化的敏感度，增强对模型鲁棒性和过拟合的理解。在图像识别任务中，基于导数理解模型对输入像素值轻微变动的反应，可揭示模型面对对抗性攻击时的脆弱性。在自然语言处理领域，导数的重要性同样不言而喻。比如，Word2Vec 模型采用导数来计算词向量之间的相似度。在处理序列数据，如机器翻译或文本生成时，循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN） 和长短期记忆网络（Long Short Term Memory，LSTM） 等[5-7]模型利用导数来计算隐藏状态的变化，使得模型能够学习并记住长时间的依赖关系。导数的应用使人工智能模型能够更精确地捕捉到数据的本质特征，为解决复杂的实际问题提供了强大的数学工具。

导数作为高等数学的核心理论，既是被视为学习的重点也常被视为难点。其概念的抽象性、众多复杂的公式及其应用常常使得学生感到困惑与挫败。若教学过程仅理论与计算而忽视实际应用，难以帮助学生全面理解导数的概念与功能，也不利于激发学生的兴趣和培养创新能力。因此本文从导数、方向导数和梯度等基本概念出发，深入分析它们之间的关系，进而以导数在卷积神经网络（Convolutional Neural Net⁃work，CNN） [8]的应用为例，深度讨论导数在人工智能领域的具体应用，进而为高等数学的教学丰富化和基础课程的建设与发展提供有力支持。具体工作主要体现在以下几个方面：首先回顾相关知识，包括导数、方向导数和梯度等基本概念及其联系；然后介绍梯度下降法；接着推导CNN的参数梯度递推公式，并结合梯度下降法更新参数和优化目标函数；最后通过Py⁃thon环境下LeNet算法[9]在MNIST数据集上的实验验证梯度下降方法的有效性。

这里坐标（i′，j′）是第l + 1层中在向前传播中受第l层坐标（i，j ）影响的点，坐标（h，w）是影响区域中的最大值的坐标。同时影响坐标（i′，j′）的点有k × k个，并且都满足式（29）。因此在第l层中影响坐标（i′，j′）的k ×k区域内最大值位置处的元素的误差项为δ（l + 1） i′，j′ ，其他位置全部值为0。当平均池化时

2.3 小结

图4是基于Yann LeCun在1998年设计并提出的经典LeNet模型和MNIST数据集作为训练样本集进行实验。图中展现的是随迭代次数增加，目标函数（loss） 变化曲线图。由图可见，随着迭代（epochs）次数增加，在更新参数的情况下，目标函数逐渐减少。可见在卷积神经网络训练中，反向传播算法通过链式法则计算损失函数对参数的导数来调整网络参数，确保参数更新方向和步长，降低损失，促进模型学习和优化，提升预测能力。

3 结束语

从高等数学的基本概念—导数出发，结合当前热门的人工智能领域，本文深入阐述了导数在卷积神经网络训练过程的具体应用。导数确定了CNN不同网络层参数更新方向和步长，逐步调整参数，使输出更接近期望，促进CNN高效学习和优化。最后，通过经典卷积神经网络模型和数据集进行演示，实验结果深层体现了导数在其中的实际应用。若新技术融合于基础课程，有助于学生领悟理论、培养实际应用能力和创新思维，也利于未来技术工作或科研必备能力的形成；同时，促进课程建设与发展，使新技术为基础学科提供支持。

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【通联编辑：王力】

基金项目：安徽省级重点自然科学基金（KJ2021A1191）；安徽省普通高校交通信息与安全重点实验室开放课题资助课题（JTX202204）；安徽省优青人才支持项目（gxyqzd2021140）