Python语言在高等数学积分教学中的应用探析

摘要：高等数学是非数学专业的一门公共基础课。积分学是整个高等数学教学内容的重难点之一，内容较多，教师讲课形式比较单一，学生缺少空间想象力。文章结合积分学的实例，利用Python的可视化功能绘制复杂函数的图像，动态演示函数形成过程，有助于快速准确地找到积分区域，确定积分限，培养学生的空间思维能力。再利用其计算功能，进行积分运算，快速高效地计算出结果，帮助学生更好地理解积分过程，提高教与学的效果。

关键词：Python语言；定积分；反常积分；二重积分；三重积分

中图分类号：G642      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2023）25-0118-04

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0 引言

高等数学是理工科类院校的基础课程之一，是学习其他专业课的基础课[1]。高等数学对于很多理工科学生来说，那是一棵高高的“大树”。一方面，教师讲课形式比较单一，以讲授法为主，一笔一板，学生被动学习，不能激起学生的学习兴趣。另一方面，高等数学内容相对较多，主要包括微分学、积分学。对于学生而言，因为高中对微分学涉猎较多，所以学生易于理解，乐于学习。而高中数学虽对积分也有学习，但比较基础。又由于积分学在高等数学整个教学的靠后部分，且内容较多，包括定积分、反常积分、重积分、曲线积分、曲面积分等，导致学生学习时，感觉很难理解，所以很多学生产生放弃学习该部分的想法。介于学生对积分学畏难的想法，教师讲课形式单一等问题，教师需要调整教学思路、教学方法，使用多媒体手段辅助教学，借助Python的可视化功能，可以把复杂抽象的积分变化过程以及计算结果准确地模拟出来，让学生可以更直观地理解积分过程，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效果。

1 Python语言简介

Python语言由荷兰数学和计算机科学研究学会的吉多·范罗苏姆于1990年代初设计。Python语言是一种面向对象、解释型、动态型的编程语言。与其他语言相比较，Python语言具有如下特点：第一，简单易学，是一种代表简单思想的语言，优势在于，使用时，专注于解决问题，而不必注重语言本身语法和结构。第二，面向对象，Python即支持面向过程编程，也支持面向对象编程。面向过程，是以过程为中心，思考出每一个步骤，用函数逐一实现。面向对象，是通过定义出函数与数据的名称，把事物对象化，方便使用者再次调用。Python的简洁性使其能够非常方便快捷地实现面向对象和面向过程编程。第三，免费开源，学习者可以自由地发布软件，下载、复制、阅读、修改源代码，抽取部分功能用于其他软件中。第四，可移植性，Python语言编写的程序可以不加修改地在任何平台上运行，不受限制，即兼容众多平台。第五，类库丰富，Python解释器拥有丰富的内置类和函数库，同时通过开源社区又可以找到覆盖各个应用领域的第三方函数库，使学习者能够借助函数库实现某些复杂的功能[2]。基于上述特点，优选Python作为辅助教学软件。

2 Python语言在积分运算中的应用

对于积分的学习，其一，学生缺乏绘图能力，空间想象力，不能绘制出函数图像，导致学生在进行积分运算时，找不到积分区域，进而不能确定积分限。其二，学生对积分的计算方法，积分公式不熟悉，导致学生计算不出结果，认为积分运算太难。基于上述问题，借助Python的可视化功能，快速高效地计算出结果。

2.1 Python语言在定积分运算中的应用

定积分是后面计算其他积分的基础，对于重积分，曲线积分，曲面积分，其计算最终都转化为定积分的计算。定积分计算时，曲线的形成过程仅仅通过教师讲解，板书绘制，学生不能很好理解，利用Python动态演示该过程。下面以心形线为例，利用定积分计算心形线的长度和所围图形的面积[3]。

例1 求心形线[r=1+cosθ]的全长及所围图形面积。

程序代码如下：

##心形线绘制r=1+cos（theta）

fig = plt.figure（）

ax = fig.add_subplot（autoscale_on=False， projection="polar"）

##设置经向网格

ax.set_rgrids（np.arange（-2， 2， 1））

##经向文本标签在90度反向位置显示

ax.set_rlabel_position（90）

ax.set_rlim（0， 2）

theta = []

r = []

for i in np.arange（1， 361）：

x = 2 * np.pi / 360 * i

theta.append（x）

y = 1 + np.cos（x）

r.append（y）

ax.set_title（'r = 1 + cos（theta）'， fontsize=18）

ax.plot（theta， r， 'r'， linewidth=1）

plt.savefig（'heart1.png'， dpi=600）

plt.show（）

程序执行结果：

根据心形线图像，快速准确给出[θ]的取值范围[0，2π]。

##计算心形线的长度

##被积函数

def f1（theta）：

return np.sqrt（2 * （1 + np.cos（theta）））

s， err = integrate.quad（f1， 0， 2 * np.pi）

print （'心形线的长度：'， s）

程序执行结果：

心形线的长度= 7.999999999999999。

##计算心形线所围图形的面积

##被积函数

def f2（theta）：

return 1 / 2 * （1 + np.cos（theta）） ** 2

A， err = integrate.quad（f2， 0， 2 * np.pi）

print （'心形线所围图形的面积：'， A）

程序执行结果：

心形线所围图形的面积

=4.712388980384691

2.2 Python语言在反常积分运算中的应用

反常积分通常包含两大类型，第一类为积分区间为无穷的反常积分，第二类为无界函数的反常积分[4]。以积分区间为无穷的反常积分为例。

例2  计算反常积分[0+∞e-x2dx]。

因为该反常积分的被积函数的原函数不能直接用初等函数表示，所以对该积分直接利用牛顿-莱布尼茨公式计算不出来，但可以考虑利用二重积分计算该反常积分。利用二重积分，[De-x2-y2dxdy]其中[D]是由圆心在原点，半径为[a]的圆周所围成的闭区域，其计算结果求解反常积分[0+∞e-x2dx][5]。

虽然通过二重积分可以计算出反常积分，但二重积分属于高等数学下册的内容，仅在学习反常积分时，该问题还不能够被解决。利用Python编程语言的辅助，可以快速计算出结果，利用绘图功能，画出被积函数的图像，帮助学生更好地理解反常积分。

程序代码如下：

##被积函数

def f（x）：

return  np.exp（- x ** 2）

##绘制被积函数图像

fig， ax = plt.subplots（）

x = np.linspace（0， 2， 100）

ax.plot（x， f（x）， color = 'blue'， linewidth = 2， linestyle = '-'， label = 'f（x）=e^（-x^2）'）

ax.fill_between（x， f（x）， color = 'green'， alpha = 0.2）

ax.set_xlabel（'x'， fontsize = 15）

ax.set_ylabel（'y'， fontsize = 15）

ax.legend（loc = 'upper right'）

ax.set_ylim（0， 2）

plt.show（）

##计算反常积分

##积分函数 integrate.quad（）

v， err = integrate.quad（f， 0， float（np.inf））

print （'积分结果：'， v）

程序执行结果：

积分结果：0.8862269254527579。

从图像上看，该反常积分表示向右无限延伸的图形面积，而积分结果是一有限值。

2.3 Python语言在重积分计算中的应用

重积分的计算对于学生而言，是积分中的难点之一。一方面，找积分区域困难，另一方面，积分的计算也是问题点，导致学生对该部分的学习失去兴趣。通过Python语言绘制出积分区域的图形，让学生直观看到图形，快速找到积分区域，便于学生对二重积分、三重积分的理解。

例3  计算[Dx2-y2dxdy]，其中D是以o（0，0） ，A（1，-1） ，B（1，1） 为顶点的三角形区域。

程序代码如下：

##绘制积分区域

fig， ax = plt.subplots（）

x = np.linspace（0， 1， 10）

y = np.linspace（-1， 1， 10）

y1 = x

y2 = - x

x1 = y * 0 + 1

##绘制直线

ax.plot（x， y1， color = 'blue'， linewidth = 2， linestyle = '-'， label = 'y=x'）

ax.plot（x， y2， color = 'black'， linewidth = 2， linestyle = '-'， label = 'y=-x'）

ax.plot（x1， y， color = 'red'， linewidth = 2， linestyle = '-'， label = 'x=1'）

ax.fill_between（x， y1， color = 'green'， alpha = 0.2）

ax.fill_between（x， y2， color = 'green'， alpha = 0.2）

ax.set_xlabel（'x'， fontsize = 15）

ax.set_ylabel（'y'， fontsize = 15）

ax.legend（loc = 'upper left'）

plt.show（）

程序执行结果：

图3给出二重积分的积分区域，进而在计算二重积分时，快速给出积分变量的取值范围，[x]的取值范围[0，1]，[y]的取值范围[-x，x]。