具有自重置功能的两部件温贮备可修系统的可靠性分析

摘要：该文讨论具有自重置功能的两部件温贮备可修系统。系统有两种修理策略，一是每个部件都有自重置功能，即通过自动错误检测从故障中自动恢复;二是通过修理工修理故障的部件。该文首先研究该系统稳态和瞬时可靠性指标，然后讨论了系统各参数对系统可靠性的影响。

关键词：温贮备系统;自重置;可用度;可靠度

中图分类号：TP393      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）06-0082-03

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由两部件和一个修理工组成的系统，是现实生活中常见的系统，许多学者研究了不同类型的两部件可修系统[1-7]。文献[7-8]中讨论了两部件温贮备可修系统，即系统由一个工作部件和一个温贮备部件构成， 当工作部件发生故障时，温贮备部件立即去替换并转为工作部件。两个部件在最短的时间内切换，温贮备是必不可少的。本文为提高系统可靠性，在上述系统的基础上引入了每个部件，每个部件都有自重置功能策略，都能通过自检进行自动错误检测，并从故障中自动恢复。这种策略在无人值守的控制系统中非常有用。一般来说，自重置时间比维护时间短得多，通过自重置功能可以提高系统的可靠性。首先建立此系统的数学模型，然后研究该系统的稳态和瞬时可靠性。通过数值计算的方法分析系统各参数对系统可靠性指标的影响。

1 系统的描述及模型的建立

先对系统做如下假设：

假设1系统由一个工作部件和一个温贮备部件构成，系统中只有一个修理工。 当工作部件故障，贮备部件立即去替换并转为工作部件。一个故障部件自重置（自复位）或等待维护之后，它将成为系统的温贮备部件。 当两个部件都故障而需要修理时，系统处于故障状态。只有在两个部件维修完成后，系统才会重新开始运行。修复率用[μ3]来表示。

假设2 所有的故障率都是常数。这里有两种故障形式，其中一种故障可以通过自重置来修复，工作或贮备时都可能发生故障，用[λ11]，[λ21]分别表示工作部件、贮备部件的故障发生率。 而另一种故障则需要修理工修复，用[λ12]，[λ22]表示。

假设3 所有修复率都是常数。部件修复后和新部件一样。修复也有两种模式，一种是自重置，修复率用[μ1]来表示，另一种是修理工修复，修复率用[μ2]来表示。系统中只有一个修理工。

假设4 所有随机变量均相互独立。 转换开关的故障率为0（假定转换开关是完全可靠的）。转换开关是瞬时的。

通过分析系统的性质和以上的假设条件可知，本系统共有以下6种状态：

状态0：两个部件都完好;

状态1：一个部件处于工作状态，另一个处于故障状态，导致此部件自动重启;

状态2：一个部件处于工作状态，另一个处于故障状态，导致此部件需要维修;

状态3：两个部件处于一种故障状态，导致两个部件都自动重启;

状态4：一个部件处于一种故障状态，导致此部件自动重启，另一部件处于另一种故障状态，导致此部件需要维修;

状态5：两个部件都处于一种故障状态，导致两个部件都需要维修;

容易知道，状态5是系统的故障状态。于是，状态集为[E=0，1，2，3，4，5]，工作状态集为：[W=0，1，2，3，4]， 故障状态集为：[J=5]。 若令：

[X（t）=j]  表示时刻[t]系统处于状态[j （j=0，1，2，3，4，5，6）].

则 [X（t）|t≥0] 是有限状态集[E]上的对齐 Markov 过程[7，8]。 以下求在[Δt]时间内系统不同状态之间的转移概率：[pi，j（Δt）].

[p0，1（Δt）]=[λ11Δt+λ12Δt+o（Δt）]， [p0，2（Δt）]=[λ21Δt+λ22Δt+o（Δt）]，

[p0，3（Δt）]=[p0，4（Δt）]=[p0，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p0，0（Δt）]=[1-（λ11+λ12+λ21+λ22）Δt+o（Δt）]，

[p1，0（Δt）]=[μ1（Δt）+o（Δt）]， [p1，2（Δt）]=[o （Δt）]，[p1，3（Δt）]=[λ11（Δt）+o（Δt）]，

[p1，4（Δt）]=[λ21（Δt）+o（Δt）]， [p1，1（Δt）]=[1-（μ1+λ11+λ21）Δt+o（Δt）]，

[p2，0（Δt）]=[μ2（Δt）+o（Δt）]， [p2，1（Δt）]=[p2，3（Δt）]=[o （Δt）]，

[p2，4（Δt）]=[λ11（Δt）+o（Δt）]，[p2，5（Δt）]=[λ21（Δt）+o（Δt）]，

[p2，2（Δt）]=[1-（μ2+λ11+λ21）Δt+o（Δt）]，

[p3，0（Δt）]=[p3，2（Δt）]=[p3，4（Δt）]=[p3，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p3，1（Δt）]=[2μ1Δt+o（Δt）]， [p3，2（Δt）]=[o （Δt）]，

[p3，3（Δt）]=[1-2μ1Δt+o（Δt）]，

[p4，0（Δt）]=[p4，3（Δt）]=[p4，5（Δt）]=[o （Δt）]，

[p4，1（Δt）]=[μ2Δt+o（Δt）]， [p4，2（Δt）]=[μ1（Δt）+o（Δt）]，

[p4，4（Δt）]=[1-（μ1+μ2）Δt+o（Δt）]，

[p5，1（Δt）]=[p5，2（Δt）]=[p5，3（Δt）]=[p5，4（Δt）]=[o （Δt）]，

[p5，0（Δt）]=[μ3Δt+o（Δt）]， [p5，5（Δt）]=[1-μ3Δt+o（Δt）]，

由 Markov 过程的性质[7，8]，立即写出转移概率矩阵为：

[A=-（λ11+λ12+λ21+λ22）λ11+λ12λ21+λ22000μ1-（μ1+λ11+λ21）0λ11λ210μ20-（μ2+λ11+λ21）0λ11λ2102μ10-2μ1000μ2μ10-（μ1+μ2）0μ30000-μ3]

若令：

[pj（t）=pX（t）=j （j=0，1，2，3，4，5）]

并假设[t=0]时刻两个部件都正常工作，即给定初始条件为：

[p0（0），p1（0），p2（0），p3（0），p4（0），p5（0）=1，0，0，0，0，0]

则由文献[7]中介绍的方法得到描述该系统的数学模型为：

[dp0（t）dt，dp1（t）dt，dp2（t）dt，dp3（t）dt，dp4（t）dt，dp5（t）dt =（p0（t），p1（t），p2（t），p3（t），p4（t），p5（t））Ap0（0），p1（0），p2（0），p3（0），p4（0），p5（0）=1，0，0，0，0，0]      （1）

3 系统的可靠性分析

先求系统的稳态分布。为此需要求解如下线性方程组：

[π0，π1，π2，π3，π4，π5A=0，0，0，0，0，0，π0+π1+π2+π3+π4+π5=1.]                 （2）

解 （2） 得：

[π0=2μ1μ3（μ1β+μ2+λ21）（μ1+μ2）α]，

[π1=2μ1μ3βλ（μ1+μ2）α]，[π2=2μ1μ3λ（μ1+μ2）α]，

[π3=βμ3λλ11（μ1+μ2）α]，[π4=2μ1μ3λ（λ21β+λ11）α]，

[π5=2μ1λλ21（μ1+μ2）α]

其中：

[λ=λ11+λ12+λ21+λ22]，

[α=4μ1μ3（μ1+μ2）（μ1E1+μ2+λ21）+4μ1μ3λE1（μ1+μ2）]

[+2μ1λλ21（μ1+μ2）+2μ1μ3λ（μ1+μ2）]，

[β=λ11μ2λ+（λ11+λ12）（λ21+μ2）（μ1+μ2）μ1（λ21+λ22）（λ21+μ1μ2+μ21）+λ21（λ11+λ12）]

由上面的稳态分布，可得该系统的稳态可用度和稳态故障频度以及其他稳态可靠性指标：

[A=j∈wπj=π0+π1+π2+π3+π4]

[=μ3（μ1+μ2）（2μ21β+2μ1μ2+2μ1λ21+2μ1λβ+2μ1λ]

[+βλλ11）+2μ1μ3λ（λ21β+λ11）α]，

[M=i∈Wπij∈Faij=i=04πiai5][=π1λ+π2λ+π3λ+π4λ]

[=μ3λ2（μ1+μ2）（2μ1β+2μ1+βλ11）+2μ1μ3λ2（λ21β+λ11）α]，

[MUT=AM] （系统平均开工时间）， [MDT=AM=1-AM] （系统平均停工时间），

[MUT=1M] （系统平均周期）

现在讨论系统的瞬时可靠性指标。根据文献[7-8]中的方法，一般用对方程组（1）两端作 Laplace 变换，求出系统瞬态解的 Laplace 变换表达式。由于此表达式比较复杂，不容易反演出来。所以在大多数的研究中，只停留在系统可靠性的稳态指标。众所周知，稳态可靠性指标依赖于瞬时可靠性指标，且瞬时可靠性指标能清楚地反映出系统的运行趋势。因此，本文用 MATLAB 软件研究系统可靠性的瞬时指标并讨论各参数对系统瞬时可靠性指标的影响。

为了便于计算，将一些参数的值固定如下：

[λ21]=0.0002，[λ11]=（7/3）[λ21]，[λ12]=0.9[λ11]，[λ22]=[λ21]，[μ1]=1/10，[μ2]=1/15，[μ3]=12

图1表示系统的状态概率[pn （n=0，1，2，3，4，5）]。 在图2中，通过改变贮备部件的故障率[λ21]，表示出了[λ21] 对瞬时可用度[A（t）] 的影响。 可以看出，随着[λ21]增加，瞬时可用度[A（t）]减少并且最终收敛到一个常数（稳态可用度）。类似地， 通过改变修复率[μ2]，表示出了[μ2]对瞬时可用度[A（t）]的影响，并且很容易看出，随着修复率的增加，瞬时可用度 [A（t）] 增加，最终收敛到一个常数（稳态可用度）。这些结果符合实际情况。 同样的方法可以讨论其余的可靠性指标对瞬时可用度和瞬时故障频率的影响。在文献[7]中， 讨论了两部件温贮备系统，但是部件没有自重置功能。图3给出了本文讨论的系统和文献[7]中的系统，很明显，本文研究的系统可用度高。在图3中，给出了瞬时可靠度。

4 结束语

本文主要讨论了具有自重置功能的温贮备可修系统的瞬时可靠性指标。通过上述结果可以得出结论：具有自重置功能和温贮备冗余的控制器是提高系统可靠性和可用性的有效措施。当单部件系统的可靠性较低，维修人员的维修时间较长时，效果更加明显。

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[8] 曹晋华，程侃.可靠性数学引论[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

【通联编辑：唐一东】