基于数学原理的RC电路响应分析

摘要：RC电路响应分析涉及高等数学中的微分方程，教材中关于二者的衔接部分较为简要，数学基础较薄弱的学生学习时会存在一定困难。为此，本文首先采用具体事例的形式，对一阶线性微分方程的求解过程及求解逻辑进行了推导与总结，之后直接利用齐次方程及一阶线性微分方程的通解形式直接推导出RC电路响应方程，在内容及逻辑上实现数学与电路分析的统一。

关键词：电工学;RC电路;微分方程

中图分类号：G424      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2022）21-0115-03

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电路暂态分析是本科课程《电工学》中的重要内容，因其涉及高等数学中微分方程内容，对学生的数学基础要求较高。实际教材及辅助资料中对此部分内容所涉及的数学原理的推导通常较为简要（默认在学习高等数学中已经掌握）[1-3]，而高等数学中关于微分方程部分则是从纯数学角度进行推导，缺乏其在电路暂态分析应用方面的专门讲解[4-5]，从而导致部分学生在学习电路暂态分析这部分内容时缺乏对其数学原理的深入理解，学习中仅靠硬记最终的电路响应方程而解决问题，进而给后续的深入学习带来困难。基于此，本文以电路暂态分析中RC电路响应为例，将一阶线性微分方程部分内容的求解过程及求解逻辑与电路的暂态分析进行统一推导与阐述。以期初学者通过对本文的阅读能快速掌握运用一阶线性微分方程解决电路暂态分析问题。

1 一阶线性微分方程的求解逻辑

在高等数学中，微分方程部分的学习顺序为微分方程的基本概念、可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、欧拉方程等[4]。因电路的暂态分析仅涉及一阶线性微分方程。为此本文仅对一阶线性微分方程的求解逻辑进行推导与阐述。

1.1可分离变量微分方程

为方便初学者理解，文中不同类型方程的求解均以较为简单的具体方程实例为例进行求解。在高等数学中微分方程的求解是从可分离变量微分方程开始的，其一般形式可表示为式（1）的形式。

[P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0]                         （1）

以具体事例（2）为例，进行可分离变量微分方程的求解过程。

[dydx=2xy]                                    （2）

所谓分离变量就是将含相同变量的项移至方程的一端。对式（2）进行移项，得出式（3）;对式（3）两端积分得出式（4）;对式（4）进行求解，得出式（5）、（6），因 [±eC1] 仍是任意常数，把它记作常数C，便得出方程（2）的通解式（7），此即为可分离变量微分方程的求解过程。其求解过程可总结为三个步骤：分离、积分、运算求解。

[1ydy=2xdx]                                  （3）

[1ydy=2xdx]                                 （4）

[lny=x2+C1]                               （5）

[y=±ex2+C1=±eC1ex2]                       （6）

[y=Cex2]                                    （7）

1.2齐次方程

如果一阶微分方程 [dydx=f（x，y）]中函数 f（x，y）可写成 [yx]的函数，即[f（x，y）=ϕ（yx）]，则称这个方程为齐次方程，齐次方程的一般式亦可表示为式（8）的形式[4]。

[dydx+P（X）y=0]                                （8）

以具体事例（9）为例，进行其求解过程。将式（9）进行移项等变换，得出式（10）。由前述定义可知该式为齐次方程。

[y2+x2dydx=xydydx]                               （9）

[dydx=y2xy-x2=（yx）2yx-1]                            （10）

令式（10）中的 [yx=u]，则y=ux，对其求导后推出 [dydx=u+xdudx]，将其代入式（10）得出式（11），对式（11）移项得出式（12），式（12）符合可分离变量微分方程的形式，对其进行变量分离，得出式（13）。应用解可分离变量的方法对式（13）进行积分求解，求得齐次方程式（9）的通解为式（14）：

[u+xdudx=u2u-1]                               （11）

[xdudx=uu-1]                                 （12）

[（1-1u）du=dxx]                                （13）

[lny=yx+C]                                （14）

由上述齐次方程事例的求解过程可见，齐微分方程需要通过变量代换化为可分离变量微分方程进行求解。

1.3一阶非齐次线性微分方程

当方程满足式（15）的形式时，即未知函数 y及其导数是一次的方程，叫作一阶非齐次线性微分方程。当[Q（X）≡0]时，其变换为齐次线性方程，是对应于非齐次线性方程（15）的齐次线性方程，如式（16）所示，并且由其形式特点可知该式是可分离的。为此，可分离变换为式（17），对其两端进行积分得出式（18），此即为对应一阶线性微分方程（15）的齐次方程（16）的通解。

[dydx+P（x）y=Q（x）]                              （15）

[dydx+P（x）y=0]                                （16）

[dyy=-P（x）dx]                                 （17）

[y=Ce-P（x）dx]                                 （18）

接下来，采用常数变易法[4]求非齐次线性方程（15）的通解。具体方法是把式（18）中的 C 换成 x 的未知函数u（x） ，即变作式（19），将式（19）对x求导，得出式（20）：

[y=ue-P（x）dx]                                  （19）

[dydx=u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx]                    （20）

将式（19）、（20）代入式（15），得出式（21），进一步化简得出式（22）：

[u'e-P（x）dx-uP（x）e-P（x）dx+P（x）ue-P（x）dx=Q（x）]                                              （21）

[u'=Q（x）eP（x）dx]                               （22）

将式（22）两端积分，得式（23）：

[u=Q（x）eP（x）dxdx+C]                           （23）