数形结合促进深度学习的研究

【摘要】数形结合促进深度学习的研究是文章论述的重点。经过课题组两年坚持不懈的研究，目前该研究已取得了阶段性、丰富的成果。数与形具有紧密的关联性，它们的结合，对深度学习能起到良好的促进作用。首先，通过数形结合，学生可以清晰把握概念特征;其次，利用数形结合，学生可以精准把握数量关系;再次，依靠数形结合，学生可以聚焦突破教学疑难;最后，领悟数形结合，学生可以发展自身高阶思维。因此，教师在课堂中积极做到利用数形结合开展教学，将会有力促进深度学习落实。

【关键词】数形结合;深度学习;研究

【基金项目】本文系福建省霞浦县教育科研2020年小学（幼儿园）立项课题—“数形结合促进深度学习的研究（2019x-113）”的研究成果。

作者简介：林阿显（1976—），男，福建省霞浦县东关小学。

数量关系和空间形式是数学中的一对孪生兄弟。数量关系与空间形式虽然有各自的发展路径，但它们又相辅相成，组成使数学发展腾飞的一双翅膀。深度学习的教学是聚焦数学本质进行教学的重要方式，是当前数学课堂教学改革的重点、热点之一。要实现数学深度学习，其中一条行之有效的策略就是做到数形结合。数不离形，形不离数，通过数形的相助、相解、相通、相悟，学生能更清晰地把握数学概念特征，更透彻地理清数量关系，更有效地突破教学疑难的局限，更快速地实现思维进阶，从而促进数学深度学习的落地生根，实现数学素养的全面发展。

一、数形相助，清晰把握概念特征

数学概念是思维的产物，脱离一定的生活实际，具有抽象性。小学生因思维水平的限制，很难对抽象的概念有准确的把握。据此情况，有的老师试图用举例子或形象的语言来描述概念，但效果都不是很好。实践证明，数形相助能帮助学生实现思维与概念对接，清晰把握概念特征。

（一）以形助数，理清概念

以形助数，就是把抽象的数学概念转化成具体的图形，这对学生理清数学概念的内涵有很好的效果。如讲授“因数和倍数”时，由于学生要掌握的概念很多，即使教师在进行每个概念的教学时都循序渐进，学生还是会出现张冠李戴的现象。原因在哪呢？一方面，是教师教学时多以讲授为主，平白肤浅，学生无法深入体会其中含义;另一方面，是学生没有建立清晰的概念理解框架。为了帮助学生弄清概念的内涵，笔者采用以形助数的策略。在课上，笔者向学生提问：“你们要找谁的因数和倍数？”学生说：“12。”笔者继续说下去：“那我们就把‘12’当中心，在图上找出它的因数和倍数。”学生画图时发现，“12”的因数除了它本身，都在“12”的前面;而“12”的倍数除了它本身，都在“12”的后面，线段图中“12”的因数和倍数明显分布在了两边。在图中，学生还发现了因数和倍数的其他特征。一个学生兴奋地说：“从图上我还明白了为什么一个数的因数是有限的，而倍数是无限的。”另外一个学生说：“我发现‘12’有三种身份，除了是‘12’本身，它也是自己的因数和倍数。”这样以形助数的教学方式使得原本容易混淆的因数、倍数概念变得清晰，学生就能够很好地观察，厘清它们的边界点，从而很好地弄清概念内涵。

（二）以数助形，把握特征

小学生空间观念薄弱，对于一些图形的“隐性”特征不能很好把握。这时候就需要以数助形，用数的精确性来弥补形的模糊性。如讲授“圆的周长”时，教师可以引导学生先测量几个大小不同的圆的直径长度，再把这些圆分别滚动一周，然后探究圆的周长和直径的关系。通过测量，学生可以发现，圆的周长都是它直径的三倍多一些。虽然“三倍”已经很明确，但是“多一些”就很模糊，到底是多少呢？这时候，教师可以引导学生以数助形，把形的关系用数来表示，最后得出整个倍数准确的表达数字就是π。这样把形的关系用精确的数来描述，学生就能很好地把握圆的周长是它直径“三倍多一些”的内涵。

又如在讲授“直线”时，教师可以出示一束光线，引导学生想象。光线的两头会向教室外延伸，穿过田野。通过观察，学生可以发现直线是无限延长、没有尽头的。因此，数学中无法用任何一个数来表示直线的长度，学生可以由此领悟直线长度“无法测量”的特性。以数助形的应用，能使学生对几何图形的特征有更深入的发现，为他们深度学习的产生奠定基础。

二、数形相解，精准把握数量关系

数量与数量之间的关系，有时候是复杂、潜隐的，学生由于经验或领悟力不足，很难按常规的思路去理解它。此时，若教师采用数形相解的策略，把内在不明的数量关系明面化、路径化，学生就能顺藤摸瓜，理清数量关系，较精准地找出解决问题的方案。

（一）以形解数，发现关系

如题：“有两个自然数甲和乙，如果把甲增加6，乙不变，甲乙的积就增加30;如果甲不变，乙增加15，甲乙的积就增加90，求甲乙两数的积。”由于题目比较抽象，学生无法在大脑中进行运算，因此大部分学生都难以下笔。此时，教师不妨引导学生把题目转换成图形，以图形来解释题目，数量关系就会比较清楚。教师可以引导学生先画一个长方形，长表示甲，宽表示乙，这个长方形的面积就是原来两数的积。然后，根据条件把甲增加6，则长延长6，乙不变即宽不变;同样甲不变即长不变，乙增加15，则宽延长15。从图中学生不难发现：原长方形的长（甲）是90÷15=6，原长方形的宽（乙）是30÷6=5，则两数的积为6×5=30。借助图形的形象和可操作性，学生就能弄清楚题中数量关系的变化过程，很快地找到了解题方法。

又如这题：“铺一条路，用每块16平方分米的方砖铺要800块;若改用边长5分米的方砖铺，要多少块？”不少学生错误使用“16×800÷5”解题，因为这些学生把“边长5分米的方砖”理解成了“面积是5平方分米的方砖”。此时教师可以引导学生根据题意作图，重点强调边长5分米的“边长”两个字，如此学生就会明白哪里计算错了。这样以形解数，将抽象的数量关系展示出来，变“看不见”为“看得见”，有助于学生更精准地发现数量关系，从而促进他们的深度学习。

（二）化数为形，理解关系

在讲授“时、分、秒”时，许多学生对时、分、秒的关系掌握不清楚，容易混淆。此时，教师可以制作一个特殊的钟，时针由乌龟代替，分针由兔子代替，结合学生熟知的“龟兔赛跑”，让学生理解分针与时针的关系。乌龟和兔子绕着钟面进行跑步比赛，一声令下，龟、兔开始赛跑，当兔子也就是分针跑了60个小格的时候，乌龟也就是时针才走了1个大格。这样把时、分、秒之间抽象的数量关系，用化数为形的策略加以诠释，学生就能很准确地理解时、分、秒的关系。

三、数形相通，聚焦突破教学疑难

学生一旦进入了学习深水区，就会遇到各种疑难和具有挑战性的问题，这是认知发展的必然现象，也是不断提高、锤炼学生核心素养的必经之路，所以教师要教育学生不要有畏难情绪，要主动迎接挑战。俗话说，办法总比困难多。此时，教学如果能做到数形相通，那将非常有利于疑难问题的成功解决。

（一）数形对比，化解难点

如讲授“进位加法”时，许多学生很难明白为什么要“满十进一”。为了让学生形象、生动感受“满十进一”的推导过程，笔者进行了以下操作：

1.先出示一道算式“25+28= ”，问学生这要怎么算，再动画演示竖着摆的小棒，这些小棒捆与捆对齐，根与根对齐。

2.让学生观察整捆的小棒有几捆（4捆），把它们圈起来。

3.问学生5根小棒和8根小棒加起来一共几根（13根）;按10根1捆，够捆成1捆吗。学生数一数，还是够捆成1捆的。

4.相机出示动画，演示5根加8根就是1捆剩3根。

5.让学生数一数现在一共有几捆，学生发现一共5捆。

6.继续问学生，捆与捆相加，根与根相加，现在一共是多少。

笔者边与学生互动，边演示课件，使学生清楚地感知进位加法的过程，明白了进位加法“满十进一”的算理。这样把静止的数与运动的形对应起来，不仅为接下来的笔算进位加法提供了支持，而且也让学生感受到知识的形成过程，这是发生深度学习的必要途径之一。

（二）数形对照，突破疑难

如题：“客车和货车分别从甲乙两地同时相向而行，在离中点3千米处两车相遇，已知客车和货车的速度比是7∶6，那甲乙两地的距离是多少千米？”根据笔者对班级学生的统计，题目中“速度比是7∶6”与“离中点3千米”这两个疑难点，是学生认知上的障碍。在说不清楚、听不明白的情况下，教师可以借助画图来帮助学生理解题意、理清脉络、突破难点。对照图形学生可以很清楚地看出，客车和货车相遇时由于所花的时间相同，所以它们的速度比就是它们的路程比，即两车所行的路程比为7∶6。从图中还可以发现客车行驶的路程已超过中点3千米，货车到中点还差3千米，客车比货车多行的并不是3千米，而是两个3千米，也就是6千米。一份是6千米，总共有7+6=13份，那么甲乙的路程就是6×13=78千米。通过题目和图形的对照，题中的未知点、疑难点和关联点就充分显露出来，然后学生根据数量关系顺藤摸瓜，就能很好地解决问题。这种数形对照的策略，不仅可以帮助学生提高题目解读层次，而且也会帮助教师解决教学疑难点，为学生进一步发生深度学习提供有效的支撑。

四、数形相悟，促进高阶思维发展

数学深度学习的一项重要特征就是促进学生高阶思维的发展，数形相悟则是促进学生高阶思维发展的一种有效手段。教师要利用图形的形象性和可变性，使用多种方法构建数学模型，让学生领悟生成多样的解题策略，促使学生的思维变得更灵活、更富有创造性，不断向高阶思维发展。

（一）形来悟数，发展思维

如题：“霞浦游泳馆原有一个长30米，宽20米的长方形游泳池。游泳馆扩建时，游泳池的长和宽都增加了10米。游泳池的面积增加了多少平方米？”这是一道形的问题，如果以形解形，学生们只要画个图，问题就解决了。但以形解形的思路过于常规，没有新意，因此为了进一步挖掘本题的思维价值，让学生体验数的深刻性，笔者鼓励学生，不断重组图形，去寻找更多富有思维挑战性的做法。学生边画图，边探索，悟出了以下多种解题新方法：

1.游泳池增加的面积是40×10+20×10=600（平方米）;

2.游泳池增加的面积是30×10+30×10=600（平方米）;

3.游泳池增加的面积是30×10+10×10+20×10=600（平方米）;

4.游泳池增加的面积是（30+10+20）×10=600（平方米）。

随着图形组合的不断创新，学生对数的感悟也在不断升级，利用形来悟数的过程，就是学生主动探索和思维积极生长的过程。教学是否有深度，首先得看学生的思维是否有深度，学生对问题解决的多元性和创新性是否有足够的感悟。

（二）数来悟形，增长智慧

当学生对事物的认识达到一定高度的时候，就会摆脱形的束缚，上升到理性认识，但这个理性认识还不是很成熟，学生需要进一步借助数来领悟本质，增长智慧。如教授“三角形的三边关系”时，笔者让学生摆各种三角形来领会“三角形三边关系”，体现用数来悟形。教学片段如下：

师：通过摆三角形，我们发现了3+4﹥5这样的关系式，你还有其他关系的发现吗？

生：3+4﹥5，3+5﹥4，5+4﹥3

师：总结起来呢？

生：“任意”两边长度之和大于第三边，就可以围成三角形。

师：换一个三角形也有这样的关系吗？算算看。

生：3+8﹥10，3+10﹥8，8+10﹥3，另一个三角形也是存在这样的关系的。

师：3厘米、4厘米、8厘米的这三根小棒不能围成三角形，但是4+8﹥3，也两边长度之和大于第三边呀，怎么不能围成三角形呢？

生：因为存在一组两边长度之和小于第三边，没有满足“任意”两边长度之和大于第三边，所以不能围成三角形。

学生原先认为能围成三角形的，仅仅是“两短边长度的和大于最长边”的这一关系。通过操作、辨析，学生能抽象出“三角形任意两边的长度的和大于第三边”这层更深刻的关系。就在学生们思绪高涨的时候，老师提出个质疑，这个质疑看似“回马枪”，实际上是提示学生用数来悟形，进一步推动学生思辨，以使学生达到对形的最高理性觉悟，闪耀智慧之光。

结语

深度学习是当前课改的重要理念。深度学习，深在概念的清晰、关系的明确、疑难的解决、思维的提升、智慧的增长。数学课堂要实现深度学习教学，离不开数与形的结合教学，这不仅是数学发展的特性，也是学生认知发展的需要。数与形，一表一里、一显一隐，互相交织，相得益彰，能有力地促进深度学习的发生。在课堂教学中，我们要把数形结合与深度学习教学交融，为学生学好有价值的数学服务，为提高学生全面的数学素养服务。

【参考文献】

[1]杨奇星.小学数学教学中“数形结合”探讨[J].当代教育论坛（教学研究），2011（02）：68-70.

[2]林颖.寓数于形，以形解数—论小学数学中的数形结合法[J].佳木斯教育学院学报，2012（06）：248-259.