指向深度学习的小学数学几何概念教学研究

【摘要】几何是研究图形的科学，几何教学有利于培养和发展学生的观察能力、空间观念和抽象思维等。小学正是学生由具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，是培养学生空间观念和抽象思维的关键时期。数学教师要帮助学生深度理解几何概念，促进学生空间观念和抽象思维的形成和发展。文章研究了小学数学几何概念教学的有效路径，以期在学生深度理解几何概念的基础上，促进学生关键能力的形成和核心素养的发展。

【关键词】几何概念;三角形的高;深度理解

作者简介：曹慧清（1990—），女，江苏省南京市溧水区洪蓝中心小学。

一、缘起

笔者在教学“三角形的高”一课的时候，发现学生在画三角形的高时经常会出现“高没有从顶点出发”“高没有画到底边上”“高与底假垂直”“不会找直角边上的高”等问题（如图1）。

二、思考

三角形的高就是从某一顶点出发垂直于对边的一条垂直线段。这应该是很简单的操作，为何学生会出现这么多不同类型的错误呢？笔者从学生和教材出发，分析学生在画三角形的高时出现错误的原因。

（一）自我认知特点的影响

1.易受生活经验负迁移的影响

“这棵树有多高？”“这幢楼多高？”“你的身高是多少？”等，这些生活问题里面的高，大多是竖直方向的高，因此会给学生带来“高是竖直的”的认知。学生为了画出竖直的高，往往会选择从上到下绘制，当三角形某个顶点到对边不是竖直方向时，学生便会认为不应该从此顶点出发画高。此外，生活中的高基本是从顶端指向底部，因此学生在画三角形的高时，往往也会认为只有三角形底部的边才是三角形的底。

2.易受思维定式的影响

给锐角三角形、钝角三角形画完高后，学生思维上往往会产生一种定式，即三角形的高都在三角形内部，且是一条和三角形的边不重合的直线。这种定式思维会让学生在画直角三角形的高时，把高画在接近其中一条直角边的位置，而没有意识到直角三角形的直角边就是它的高。

3.受到形象思维的影响

小学生在头脑中存储并加工概念，形成的往往不是文字的定义，而是概念的形象。三角形的高并不是真实存在、看得见摸得着的东西，它是数学抽象的结果，学生很难在脑海中将其形象具体化，从而感知、消化它。

（二）教材编排特点的影响

教材中关于三角形的高的内容，不管是例题中安排的为进行测量人字梁高度的活动所配的图，还是在定义三角形的高时所配的图，又或是在“试一试”环节要求画出三角形底边上的高所给的图，它们给出的三角形的高都是一条竖直的线段且三角形的底都是在水平线上。教师在教学这些内容时如果不及时补充三角形其他类型的高，那么学生往往会形成关于三角形的高的单一图象，从而使学习思维受到限制。

综合学生的认知特点与教材编排特点，笔者发现学生出现错误的根本原因是没有真正理解三角形的高的概念。学生往往只是通过模仿去画三角形的高，没有在脑海中建构出“高与底互相垂直”的位置关系，也没有真正掌握画高的方法，因此不能灵活地在不同类型的三角形中画出正确的高。

三、实践

（一）重视联系的观点在几何概念建构中的运用

1.新概念和旧概念之间的联系

很多几何概念都可被看成所谓的感知性对象，即经验抽象的直接结果，具有丰富性和多样性的特点，不仅涉及多个维度，而且涉及的每个维度都具有十分丰富的内容，因此教师在几何概念的教学中应重点突出概念之间的联系性。教师不应将概念看成是互不相关的，而是应当通过深入揭示它们的内在联系，帮助学生建立起网络式结构的整体概念图象。在学习三角形的高之前，学生已经掌握了“过直线外一点，画已知直线的垂线”的方法，以及理解了点到直线的距离的概念。因此在指出三角形的高的定义后，教师可将三角形的两条边隐去，帮助学生将三角形的高和之前学过的“过直线外一点，画已知直线的垂线”知识点联系起来（如图2）。

在教学不同的三角形的高时，教师也可以通过移动其中一个顶点来改变三角形的形状（如图3），从而将不同类型的三角形联系到一起，在对比联系中帮助学生更好地掌握不同类型三角形的高的区别。

2.日常知识、思维方式与数学知识、思维方式之间的联系

学生在日常生活中已经积累了一定的相关知识及经验，形成了一定的思维习惯和方式，这与数学中的知识和思维方式有很大的不同。教师处理好日常知识、思维方式与数学知识、思维方式之间的关系，能帮助学生理解数学概念。在学习三角形的高之前，学生已经在生活中接触到了很多关于高的信息，比如一棵树的高、一幢楼的高、一个人的身高等。因此教师在教学时，要发挥日常知识和思维方式在数学学习中的积极作用，从学生熟悉的事物出发进行情境创设。

比如，教师可以创设三角形木板在轨道上滑行的情境，并问学生：“这块三角形木板在轨道上水平滑行，前方遇到了一条窄缝，它可以怎样通过呢？”接着引导学生翻转三角形木板，探究三角形木板能顺利通过窄缝的摆放方式。三角形木板能不能通过窄缝与其高度有关，这时数学中的高和日常生活中的高给学生的感觉是一致的，都是指从上到下的垂直距离，学生很快就能感受到当三角形木板的顶点到对应底边的垂直高度小于窄缝高度时，它才能通过。而三角形木板有3条这样的垂直线段，学生可以通过操作改变三角形木板的放置方式，使其顺利通过，从而感受到三角形3条高之间位置不同但本质相同。通过这样的教学方式，教师使得三角形的高与日常生活中的高深刻且生动地联系在了一起。

在面临数学概念的教学任务时，教师应当仔细研究学生在日常生活中是否已经用到了这一概念，并弄清日常生活中的概念与数学中的概念之间的关系，设置具体的情境引导学生感知具体的概念，由日常思维过渡到数学思维。

（二）明确几何概念与日常概念在几何概念建构中的区别

教师不应该让学生停留于经验的认识，特别是依赖相关概念的现实原型或直观表象去理解概念，而是应该帮助学生认识到课堂上研究的概念是抽象思维的产物。因此教师在几何概念的教学中应当高度重视几何概念与相应日常概念之间的明确区别。例如，要让学生明确三角形中的高不能简单地等同于日常生活中的高，我们在日常生活中所感知的高往往是竖直的，且大多数指的是高度或是一种形容，而数学中三角形的高指的是顶点到对边的垂直线段。帮助学生厘清二者之间的区别有利于帮助学生由对概念的粗糙理解转向深度理解。

（三）关注多元表征在几何概念建构中的应用

不同表征能帮助学生理解相关的几何概念，当学生能在不同表征之间建立联系和进行相互转化时，便可以说是理解了数学的相关概念。

1.实物表征

小学生的思维主要以具体形象思维为主，需要对现实事物进行直接观察和接触来获得表象认知。因此教师在教学中应借助直观教具，帮助学生理解、掌握相关概念的本质。在“三角形的高”一课的教学中，教师可以借助实物进行操作。如用硬纸板制作三角形，要求学生翻转和观察三角形，保证三角形一条边与水平面重合，让学生直接感知到三角形不同的边所对应的高也是不同的。此外，教师还可以在三角形纸板上画出某条高，不停转动该三角形纸板，让学生看到不管三角形底边位置怎么变，其对应的高都是不变的，二者始终是互相垂直的关系。这种实物演示带给学生的感知是更直接、更有效的，教师在让学生利用实物进行操作的过程中，要引导学生从“动手”转变到“动脑”，充分认知相关概念。

2.图形表征

基于小学生的认知特点，教师在教学中应重视图形直观认知教学。教师在教学三角形的高时，可以给学生提供大量的生活中的高的图片（如图4），以便唤醒学生对于高的认知。

此外，教师要注重利用图形变式来帮助学生深度理解数学中的高的概念（如图5），让学生意识到斜高与竖直的高的区别与关联。教师通过各种图形表征来使得抽象的高变得形象具体，使得内隐的高的概念变得直观可感，从而帮助学生真正理解三角形的高的概念。

3.语言表征

教师要鼓励学生表达自己的想法，对学生的非正规解读持宽容的态度，而不是直接予以否定。不同的学生在表述三角形的高时往往不同，教师应能正确解读学生的多样表达，并帮助学生更好地解读，让学生由原先的非正规解读向正规解读过渡，在尊重学生想法的基础上维护数学概念的正规意义。

（四）凸显抽象思维与具体思维在几何概念建构中的相互转换

学习几何一定要善于想象或者进一步抽象，因为几何的研究对象不是黑板上画的图形，也不是手里拿的实物，而是一般意义上的图形，是抽象出来的概念。比如在前面的例子中，三角形木板在轨道上水平滑行遇到了一条窄缝，它如何能通过隧道，这个问题学生凭借生活经验是能解决的，这是具体思维的体现。但能过或者不能过与三角形的高有着怎样的联系，这个问题就涉及抽象思维。教师可以通过操作活动帮助学生从生活中具体的高抽象出三角形的高，从而获得需要研究的数学对象，凸显抽象思维与具体思维在几何概念建构中的相互转换。

结语

几何概念是人们对于经验世界进行抽象的产物，并不存在于生活中，比如我们在现实生活中并不能看到真正的圆或者三角形的高。几何概念对于以形象直观思维为主的小学生来说无疑是难以理解和建构的，因此教师的有效指导就显得尤为重要。教师要基于学生的生活经验和认知特点，立足数学本质，从学生容易理解的生活情境出发，更好地帮助学生深度理解几何概念。

【参考文献】

[1]郑毓信.小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

[2]张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.

[3]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社，2014.