几何直观见其然 代数入微促深度

【摘要】几何直观主要是指利用图形描述来分析问题的方法，教师可以借助几何直观，把复杂的数学问题简单化、形象化，引导学生探索解决问题的思路，预测探究的结果。在“数与代数”教学中借助几何直观，有利于引导学生探寻数的意义，掌握算理算法，深入理解定律内涵，发展数学思维，从而推动学生深度学习。

【关键词】几何直观;数与代数;深度学习

【基金项目】本文系福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）立项课题“小学数学代数归纳经验教学策略研究”（立项编号：JSZJ20035）的阶段性研究成果。

作者简介：李燕妮（1990—），女，福建省厦门市海沧区第二实验小学。

几何直观是小学数学教学中的核心概念，在进行小学数学教学时借助几何直观，能够将复杂的数学问题变得直观、形象，这有助于学生理解知识本质，进行深度学习，发展数学思维。

一、借助几何直观，探寻数的意义

“数”的概念是数学知识的重要组成部分，借助几何直观可以使这一抽象枯燥的概念变得具体、形象[1]。数轴是直观理解数的概念的一种有效手段，借助数轴学生可以把抽象的数与具体的点建立对应关系，深化对数的概念的理解，从而能深入探寻数的意义。这一教学方式在小学阶段的数学课堂上非常有效，因为小学生本身的逻辑思维能力并不强，他们在学习新的知识时往往只能看到事物的表象，倘若教师能够依据这一情况为学生安排相应的教学活动，以直观的方式带领学生探索数的意义，那么不仅学生学习和理解难度降低了，学生的思维也能得到更加有效的成长。

笔者在教授“分数的意义”时，就利用了数轴启示学生思考数的概念。

【教学实录节选】

师：分数也可以用直线上的点来表示。（出示图1）

师：如果这个点表示的是0，另一个点是1，那么2的位置在哪里？

生：把0到1这条线段看成1个单位长度，从点1往后面再量一个单位长度，所在点就是2的位置。

师：你能找到、这两个数的位置吗？怎么找到的？

生上台借助数轴，找到、的位置，并说明理由。（如图2）

师追问：关于这个点你有什么想法？

生：这个点既可以用来表示，也可以用来表示，但这两个分数的意义不一样。

可见，几何直观形象、生动，借助几何直观认识数既符合小学生的认知特点，又有利于激发学生的探究欲望，在开展这类直观、具体的教学时，教师既能以相对轻松的状态引导学生探索数学奥秘，又能够以更加直接的方法降低小学阶段学生的整体学习难度。在几何直观的帮助下，学生对数的认识更加清晰、明朗，对知识的学习也更加深入[2]。

二、借助几何直观，连接算理算法

在进行分数运算教学时，教师经常会遇到这样的情况：学生虽然知道如何进行分数的四则运算，但是对于其中的算理却不是很明白。出现这一现象的原因，就是学生只注重掌握算法，对分数运算的算理理解得不够透彻。要解决这一问题，教师可以在计算教学中借助几何直观，把抽象的算理直观表示出来，使学生清晰地理解算理与算法的内在联系和区别。这样的教学方法不仅可以帮助小学生更好地掌握算理和算法，同时有利于提升小学阶段数学课堂的整体教学效率，有利于教师优化教学工作。

如教授“异分母分数加减法”时，笔者根据几何直观，开发了“折一折、画一画”教学活动，以帮助学生理解分数加减法的算理。为了使学生理解分母之间存在倍数关系的异分母分数计算，笔者利用了折

纸，先折出这张纸的，再折出这张纸的（如图3），然后将其展示给学生。如此，学生就能够发现，可以将变成，所以+=。在这样的教学过程中，学生自然能够更加有效地掌握分数加减法的算理。

又如，在教授“分数乘法”时，为了让学生明确分数与分数相乘的意义，笔者再次利用了折纸的方法。笔者先拿出一张长方形纸，然后向学生提问：“同学们，面对×这样的算式，我们该怎么折纸才能确保从图中读出结果呢？”学生在问题的引导下产生思维碰撞，又经过自己动手折叠，发现从不同的方向折纸，可以在两个分数之间建立起联系。于是笔者照着学生的思路，将一张长方形的纸（如图4），竖向折出4份，将其中的3份涂上颜色，这样就得到了。然后再重新将纸横向折出4份，取其中的1份，将其与上述涂色位置重合的部分画上斜线。通过折痕，学生能发现，这张纸被平均分成了16小份，每小份就是总数的。再结合斜线痕迹，学生就能明白的正好包含3小份，所以×的结果是。

小学阶段的学生往往容易被各种有趣的事物所吸引，在面对相对枯燥的数学计算学习时，学生的积极性会相对低一些，但是在几何直观的辅助下，与算理和算法相关的数学知识变得有趣起来，学生在进行具体学习的时候自然会更加地投入和主动。如此，学生既能够理清算理、提升运算能力，又能够发展利用几何直观分析、解决问题的能力。

三、借助几何直观，深化定律内涵

小学数学的教学内容中，有很多探索规律的部分，掌握好这些规律对于小学生个人的数学综合素质提升也是非常有好处的。但是在实际的小学教学过程中，学生对于各种规律的掌握和运用并不太好[3]。要帮助学生科学掌握和运用各种数学规律，教师同样可以选择结合几何直观进行教学。

乘法分配律是小学生特别容易产生理解错误的一种运算律，教学时教师可以借助几何直观，从学生已有的知识经验出发，将文字转化为图形，让学生通过观察图形理解问题，并让学生在图上画一画、圈一圈，初步感知乘法分配律。教授乘法分配律时，笔者以采购六一儿童节礼品为教学情境导入新课，随后提出问题让学生帮忙解决。

【教学实录节选】

师：老师想在教室挂3排灯笼，每排由4个黄色灯笼、5个红色灯笼组成，同学们觉得老师一共要买几个灯笼呢？大家能摆一摆、画一画、圈一圈，再说说自己的想法吗？

教师引导学生动手用学具摆一摆后，学生纷纷展示了自己的成果，并给出了两种计算灯笼数量的方法（如图5）。方法一是分别求出黄色灯笼和红色灯笼的个数再相加;方法二是先求单排有多少个灯笼，再求3排一共有多少个。

借助直观的摆一摆、画一画、圈一圈，学生很容易发现3×4+3×5和（4+5）×3这两个算式的结果是相等的，殊途同归，都能准确求出灯笼的总数。这样，学生自然也就直观地理解了乘法分配律。

“数与代数”中的运算定律具有抽象度高、逻辑性强的特点，借助几何直观可以把抽象的知识直观化，有助于学生理解并探究数学知识，能够促进学生的深度学习。当小学生在几何直观的帮助下充分理解相关的数学规律之后，他们对于这些数学规律的运用会慢慢熟练起来，在尝试解决数学问题的时候，学生的思维也会更加灵活多变，这有助于他们自身数学综合能力的不断提高。

四、借助几何直观，简化晦涩问题

有些数学问题相对晦涩难懂，教师可以利用几何直观展示这些问题中的复杂数量关系，帮助学生理清解题的思路。在教学时，教师可以鼓励学生借助画图，把数量关系转化为图示，帮助学生理解难题，提高学生解决问题的能力，促使学生进行深度学习，并不断提升小学阶段数学课堂的综合水平，让小学生能够在更加优质的数学课堂上实现个人成长。

如教授“解决问题（喝牛奶）”时，笔者结合分数的意义，利用几何直观，转化例题情景，帮助学生找到解决问题的方法。

【教学实录节选】

师：同学们，你们喜欢喝牛奶吗？这里有一道关于喝牛奶的题目。

引导学生阅读题目。

师：看起来这道题有些复杂啊，大家要不要试试用图示表现“第一次喝了二分之一杯纯牛奶，第二次喝了二分之一杯兑水牛奶”的过程呢？

生一展示了自己绘制的图示（如图6），并说明了自己的想法：原本有一杯牛奶，先喝了半杯后又加满了水，可以得到此时牛奶是二分之一杯，水也是二分之一杯。第二次喝半杯时，喝掉的部分牛奶占一半，水占一半，也就是各占四分之一杯。由此可得，两次一共喝了四分之三杯牛奶，四分之一杯水。

生二也展示了自己绘制的图示（如图7），然后说明自己图示的不同之处：我觉得可以把水和牛奶分开看，把它们分开表示可以更加直观地看出喝了四分之三杯牛奶，四分之一杯水。

师：生一、生二的图示都很棒，请大家给他们鼓掌！老师这里其实还有一种图示（教师出示图8），同样是将水和牛奶分开画，虽然和生二的画法不同，但是所表示的意思相同，相信大家也能直观看出喝了多少奶和水。

由上述教学案例可以看出，借助几何直观来尝试解答数学问题，对小学阶段的学生来说是一种非常好的锻炼，在练习将图形和问题结合起来的时候，学生对于几何直观的理解会更加透彻，对于具体数学问题的思考也会更加全面，这些尝试和思考将帮助小学生提升自身解决数学问题的综合能力。

结语

总而言之，在小学数学教学中应用几何直观的作用十分显著，借助几何直观来解决小学数学教学中的问题的尝试如今也变得越来越常见。显然，将利用几何直观学习数学知识的思路传递给学生是十分重要的。在小学数学教育中，教师不仅要引导学生掌握各种基础的数学知识，还应当引导学生去理解数学的内在思想，让学生明白，看待问题，不能只看表面，要剥离表面，触及内核。

【参考文献】

[1]宋健泳.小学生几何直观能力发展的几个阶段[J].小学数学教师，2015（03）：66-69，75.

[2]蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013，33（05）：109-115.

[3]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012，32（07）：92-97.