从一道几何题证法谈学生发散思维培养

摘 要：随着新课改的不断推进，加快学生学科核心素养培养，成为初中数学教学改革发展的重要内容。学生发散思维培养，是数学学科教学的要求，也是提高学生数学学习能力的重要途径。几何证明题要求学生具有发散的几何思维，才能更好地提高学习效率。本文以一道典型几何证明题为例，就“一题多解”的深入分析，就如何实现学生发散思维培养提出几点建议。

关键词：初中数学; 核心素养; 几何证明; 发散思维; 培养

中图分类号：G633.6        文献标识码：A        文章编号：1006-3315（2021）7-016-002

几何是初中数学的重要组成部分，是培养学生空间思维的重要载体。在几何题证明中，不同的切入点，可以实现不同的证明方法，促进学生发散思维能力的培养。在数学核心素养的培养之下，教师的“教”要跳出传统僵化的教学模式，在开放式多元化的教学空间，促进学生发散思维，在自主探究与尝试中，实现有效学习的生成。因此，本文以一道典型几何的不同证法研究，就如何实现学生发散思维能力培养，提出科学有效的教学策略。

【题】如图1：在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连结DE，过点A作AG⊥ED交DE于F，交CD于点G.

（1）证明：G是DC的中点;

（2）连结BF，证明：AB=FB.

整体分析：该题是一道典型的几何题目。题目以正方形为载体，从垂直、中点等要素的构建中，求证“G是DC的中点”、“AB=FB”。该题看上去比较复杂，多点、多线的情况之下，更高要求学生应扎实掌握基础知识，在知识的应用中梳理几何中的点与线，这是提高几何证明能力的关键。对于（1）的证明，主要考察学生的基础知识，“全等证明”的运用，可以实现证明目标。问题（2）相比而言具有一定难度，学生局限于现有的点与线，显然无法获得证明。因此，以发散的解题思维，在现有点与线的基础之上作辅助线，是几何证明的常用方法，学生应扎实掌握。

问题（1）证明：

很显然，问题（1）比较简单，学生只要储备一定的理论知识，在证明的过程中，就可以很快明确“<H：＼2021年第7期＼内芯＼QQ截图20210706141415.jpg>”的证明方向，即可完成证明目标。

问题（2）证明：

第二题在证明的时候绝大部分的学生受限于能力和知识，考试的时候有很多学生想不出来。经分析发现，很大部分学生思维不发散，仅盯着正方形上现有的点与线，是无法获得证明。学生要善于分析、发散思维，巧妙运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”等数学知识，可实现证明目的。后经思考和讨论整理出下面几个证明方法希望看到的学生能有所受益！

法一：

延长AB和DE，两延长线交于G（图2）

应该说这样的方法理论性最强也较容易被优秀的学生所想到，但是学习成绩一般的学生就不容易想到。因此，学生在几何证明中，要具备扎实的理论知识，并且通过发散思维，在“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的理论应用中，完成AB=FB的证明。

法二：

过F点作AC的平行线分别交CD和AB于M，N，（图3）

于是由勾股定理可得BF=2a=AB.

本法证明思路是：用代数的方法表示数量关系，这也是证明相等的方法之一，也是常用的一种思维方式。从学生学习的情形来看，学生对于几何的认知有所偏见，认为几何与代数之间无联系。其实，这种数学思维是错误，代数也可以成为几何证明的重要方法。在法二中，巧妙的通过F作AC的平行线分别交CD和AB于M，N，为代数关系比例的建立提供了条件，且整个证明过程比较简单，这在实际当中，很大部分并未思考到这一证明法。因此，学生要转变思想，强化数学知识的整体性、系统性应用，提高几何证明效率。

法三：

过B作BH⊥AG于H（图4）

法四：

过B作CE的平行线交AG于M，交AC于H（图5）

法三和法四应该说有异曲同工之处，同的是：用到的证明依据都是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;不同的是：辅助线的作法、切入点和角度不同，一个是用证三角形全等来证明线段的相等，一个是用平行线等分线段定理得到线段相等。

法五：

延长BF交CG于

本法的证明依据是等角对等边，容易想到，但是具体操作有一定的空间思维要求，所以从这方面讲就达到了锻炼的有效作用。

法六：

连接AE（图6）

本法的证明思路是利用等腰三角形相似得到线段的相等。因此，该法证明的关键，在于巧妙的构建“△ABE∽△AFC”、“△ABF∽△AEC”，为理论的应用创造了条件。

以上几个方法就是证明线段相等常见的方法：（1）等角对等边;（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;（4）代数计算;（5）相等的传递性。以上是同一道题目从多个不同角进行的证明，可以体现思维的发散性，以及对空间想象能力的培养和锻炼，对学生们来说也是一种能力的提高。为此，从“一题多解”的阐述，笔者认为，初中学生发散思维培养，应着力于以下教学的构建。

一、强化理论知识学习，构建发散思维的知识基础

学生在学习中，实现发散思维的培养，关键在于强化理论知识学习，这是构建发散思维的知识基础。首先，学生要养成系统性学习习惯，扎实掌握基础理论知识，为发散思维提供知识保障;其次，发散思维培养是一个过程，建立在理论知识的学习之上，能够为知识的拓展应用提供基础，促进发散思维的有效培养;再次，学生是教学的主体，教师的“教”要循序渐进，针对学生的思维特点，引导学生建立正确的思维方向，提高学习效率与质量。

二、围绕核心素养培养，引导学生自主探究学习

当前，围绕核心素养培养，加快学科教学改革，成为初中数学教学发展的重要内容。为更好地落实学生发散思维培养，一是要明确核心素养的目标导向性，从发散思维的培养中，不断地提高教学效率及质量;二是创设开放式的学习空间，引导学生在自主探究、大胆探索尝试中实现发散思维的有效培养;三是教师要发挥“学生学习的促进者”角色，帮助学生跳出思维定势，在拓展应用、多元思考中满足学生发散思维的需求。

三、善于观察与思考，拓展解题的“视域”

观察也是学习的一种方式与策略，对于初中生而言，在几何题等的解答中，要善于观察与思考，缺乏观察的思考是无法成立的。为此，一方面学生要善于观察，在观察中寻找知识应用点，进而为深入思考应用创造条件;另一方面，学生的解题思路要开阔，不能局限于现有的已知条件，而是要发散思维，主动创造有利条件，促进学生有效学习的生成。

在新课改之下，加快推进学科核心素养培养，成为初中数学教学改革发展的重要内容。发散思维作为数学核心素养的重要内容，在教育学的构建中，应从学生的“学”中提高发散思维的能力，跳出传统条框式学习方式。在本文研究中，通过“一题多解”的深入分析得出，初中学生发散思维的培养，关键在于掌握扎实的理论基础知识，在逆向思维等的应用中，实现了知识的巧妙应用，也让复杂的证明简单化，这是发散思维培养及应用的重要意义。

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