小议一题多变在初中数学中的应用

摘 要：教师能注重一题多变，一定能提高课堂效率，有效提升学生解决问题的能力，对教学是个好助手。

关键词：初中数学； 一题多变

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）01-041-001

波利亚说：“教学生解题是意志的教育，但学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待灵感的到来，学会了当灵感到来后全力以赴。如果在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。” 如果我们教的学生具有主动探索的欲望与能力，我们的教育才是有意义的，而现行初中数学课本中，不少习题内涵丰富，对学生思维能力有不同寻常的作用和丰富的教学价值。而如何才能让解题发挥它的效应，笔者在教学实践中发现，有效地进行一题多变，让学生在无限的空间里实现思维的飞跃，有助于开启学生的应变力、想象力、创造力之门；一题多变以问题探究为中心，通过研究一个问题的多种解法或同一类型问题的相似解法，有助于拓展学生思维的广度和深度。一题多变重在培养学生探究性学习的意识，有助于学生举一反三，同时也有助于学生知识点的融会贯通，使学生的思维更加活跃。下面攫取一二，与各位老师共同探讨。

如：已知，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，求证：BD=CD。

1.将结论变得较简单些

已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：BD=CD。

2.条件变而结论不变

已知，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，求证：BD=CD。

3.条件不变而结论变

已知，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，求证：AD⊥BC。

4.条件与结论都变

I已知，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线，求证：AD平分∠BAC。

II已知，在△ABC中，AD是底边上的中线，并且AD是∠BAC的角平分线，求证：AB=AC。

III已知，在△ABC中，AD是底边上的中线，并且AD⊥BC，求证：AB=AC。

在教学中，我提倡学生做一道题收获一道题：不仅要会将给定的题目分析得解，还要学会总结反思解题规律、方法思路、技巧、数学思想方法等，最重要的是要充分发挥成题的作用，学会对一道成题从不同角度进行变式，在变化中分析、思考，从而达到将知识学活、学会学习的目的。就像本题，考察的是等腰三角形中三线合一的知识点——等腰三角形两腰相等，角平分线垂直平分底边。本题中对于等腰△ABC而言有AB=AC，∠BAD=∠CAD，BD=CD，AD⊥BC四个条件，知道了其中两个可以求证另外两个，这样就有六种变形。

由上述六种题型的变换，不仅使学生对这一知识点了如指掌，更是增加了学生们学习数学的乐趣，将知识学得透彻，学得活泛。把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。

再如：已知函数y=（3-k）x-2k+18是一次函数，求k的取值范围。

设计意图：考查一次函数的定义：y=kx+b中k≠0。此处要求3-k≠0即k≠3

一变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18的图象经过原点；

设计意图：考查点与图象和点的坐标与函数解析式之间的对应关系：

图象过原点等于要求x=0，y=0满足y=（3-k）x-2k+18。解得k=9

二变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18的图象与y轴的交点在x轴的上方。

设计意图：考查一次函数的图象与x轴、y轴的交点问题，并能将文字语言翻译成数学语言：与y轴的交点在x轴的上方表示交点的纵坐标，即-2k+18大于0。解得k<9

三变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18随x的增大而减小，此处要求3-k<0解得k>3设计意图：考查一次函数的性质。

四变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18图象经过一、二、四象限？

设计意图：学习一次函数的最重要方法是数形结合.结合图象，将问题转化为解关于k的不等式组。3-k>0且-2k+18>0，解得k<3

五变：k为何值时，一次函数y=（3-k）x-2k+18图象平行于直线y=-x；设计意图：考查决定两条直线位置关系的因素，这里只涉及简单的情形：两条直线平行等价于3-k=-1，解得k=4。

六变：直线y1=（3-k）x-2k+18与直线y2=2x+12交于点P（-1，a）。

（1）求k的值；

（2）x为何值时， y1>y2；

（3）求直线y=（3-k）x-2k+18、直线y=2x+12与x轴围成的三角形的面积。

设计意图：（1）交点的意义：点P（-1，a）满足y=（3-k）x-2k+18与直线=2x+12，从而求得a，k；（2）解决第二问时有多种方法：解不等式，数形结合；（3）第三问需要借助图象明确所求的图形，弄清点的坐标与线段长的关系（这是学生的易错点，补充强化练习：如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，求k的值）。

在本节课中，通过对一次函数y=（3-k）x-2k+18的多角度变式，让学生将一次函数的基本知识吃透，并且将转化的思想、数形结合的思想含儿不露地加以应用，学生的思维、能力均得以发展。

“一题多变”教学收获反思

“一题多变”教学容易提高教师驾驭课堂的能力。天长日久受教师的影响，学生也会逐渐养成对题目变式的习惯，这样学生就可以举一反三，灵活应用知识而不是死记硬背，更有助于学生知识的融会贯通，尤其是那些学有余力的学生更应当引导他们主动练习。其次，变题时要注意有联系、有规律地变，切忌为了变题将不相干的知识杂糅在一起。总之，教师能注重一题多变，一定能提高课堂效率，有效提升学生解决问题的能力，对教学是个好助手。