浅谈初中数学开放题的类型与解题策略

摘 要：近几年，各省市数学中考题中出现了一种新题型——开放题，这种类型的题让学生在开放的空间中探求知识,激发学生的创新意识,注重培养学生的发散性思维，符合新教改的特点。

关键词：初中数学； 开放探究； 创新意识； 发散思维； 解题策略

中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2011）6-034-001

开放性问题内容深刻、背景新颖，综合性强、解法灵活，有利于扩大学生的思维空间，所以近几年各省市中考题中开放题越来越成为热点问题，也是被人们认为是极富有教育价值的一种数学问题的题型。我根据平时的教学实践，对开放题的七种常见表现形式及相应的解题策略总结如下：

一、条件开放与探究——给出结论，而问题的条件不充分或没有确定已知条件，即探索结论成立的条件

如：多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是——(填上一个你认为正确的即可)。分析：本题主要考察完全平方公式。答案：+4x,-4x,-1等。

解题策略：此类题要从所给结论出发，由特殊到一般，经试验，猜想得出应具备的条件，然后进行证明。可概括为“试验-猜想-证明”。

二、结论的开放与探究——结论不确定或没有确定结论

如：请写出一个二次函数y=ax2+bx+c,使它同时具有如下性质：①图像关于直线x=1对称；②当x=2时，y>0;③当x=-2时，y<0.答案——。分析：这是一道开放性试题，答案不唯一，认真分析所给的条件，由①得-b/2a=1,所以b=-2a;根据条件②③便可确定抛物线开口向下及c>0的大体情况。答案：如y=-x2+2x+3,y=-2x2+4x+6等。

又如：已知AB是⊙O的直径，D点在AB的延长线上，满足BD=OB,点C在⊙O上，∠CAB=30°，请根据已知条件，写出三个正确结论（AO=OB=BD外）；①——；②——；③——。分析：本题来源于课本，起点高于课本，主要考察和切线有关的定理，提倡学生积极探索，发展学生的数学能力。答案：CD是⊙O的切线；AB=2BC;BD=BC;∠ACB=90°等。

解题策略：从所给条件出发，探索归纳猜想出结论，然后对猜想结论进行证明。可概括为“探索-猜想-证明”。

三、解题方法开放——思维策略与解题方法不唯一，思维具有非常规性、发散性和创新性

如：服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料，现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）。分析：此题是一道立意很新的运用几何知识进行裁剪设计的应用题，且具有开放性和探索型。题目要求以画示意图的方法作答，解答的关键是确定扇形的圆心，可以从圆心在△ABC的三个顶点上和圆心在△ABC的三边上两个角度来考虑。

解题策略：从题目的要求及已知条件出发，不能墨守成规，要善于标新立异，积极发散思维，利用分类数学思想优化解题方案和过程。

四、存在性问题的开放——根据已知条件探究结论是否成立

如：已知A（x1,y1)、B（x2,y2)是直线y=-x+2与双曲线y=k/x (k≠0）的两个不同的交点。①求实数k的取值范围；②是否存在这样的k的值。使(x1-2)(x2-2)=x2/x1+x1/x2.若存在，求出k的值。若不存在，请说明理由。分析：考察根与系数的关系及方程思想。

解题策略：先假设结论某一方面成立，进行推理，若推出矛盾，即否定先前假设；若推出合理的结果，说明假设正确。可概括为“假设-推理-否定（肯定）假设-得出结论”。

五、类比引申型开放——利用所给已知条件或结论推出所需结论

如：已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h。“若点P在一边BC上，此时h3=0,可得结论h1+h2+h3＝h”。请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内、点P在△ABC外这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明。

六、归纳总结型开放与探究——根据已有的题目规律探求结论

如：下列图中有大小不同的菱形，第(1)幅图中有1个，第(2)幅图中有3个，第(3)幅图中有5个，则第(n)幅图中共有（ ）个。

(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律?(2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。

解题策略：此类题主要考查学生分析问题解决问题能力，根据已有的图形或式子的变化规律猜想探求所需结论。

七、信息开放型——根据所给信息寻求答案

例如，初一年级某班教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论。他们的五次数学成绩如表Ⅰ所示，这五次数学成绩的平均数、中位数、众数如表Ⅱ所示。

现在这三位同学都说自己的数学成绩是最好的。⑴请你猜测并写出他们各自的理由；⑵三人似乎都有道理，你对此有何看法？请运用统计知识作出正确的分析。

解题策略：认真分析题目条件，利用发散思维解答问题。

开放与探究题充分体现了新的课程理念：即让学生初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新能力。

参考文献：

［1］张凤云.中国教育创新，2010年第13期

［2］新课程标准

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