理想气体自由扩散的计算机模拟

摘 要：通过分析蒙特卡罗模拟孤立系统中理想气体的自由扩散运动，并跟踪气体分子的随机运动，直观形象地把熵和系统无序程度的联系展现了出来，更清晰地认识了波尔兹曼对熵的统计解释。

关键词：理想气体； 扩散； 熵； 蒙特卡罗

中图分类号：O411.2 文献标识码：A 文章编号：1006-3315(2011)11-176-002

在多数的大学物理教程中都运用孤立系统理想气体的自由扩散运动来说明一些孤立系统变化的不可逆性，进而引出熵的概念[1]。本文通过蒙特卡罗方法在计算机上模拟理想气体的自由扩散运动[2]，并跟踪气体分子的随机运动，直观形象地把熵和系统无序程度的联系展现了出来，更清晰地认识两者之间的关系。

一、理想气体的扩散

气体分子作杂乱无章的运动的原因是气体分子间在作十分频繁的碰撞，碰撞使分子不断改变运动方向与速率的大小，而且这种改变完全是随机的。按照理想气体基本假定，分子可视为质点，分子间和分子与气壁的碰撞是完全弹性的，另外分子间的相互作用力可忽略，因而，理想气体的分子可以看做是自由的、无规则地运动着的弹性质点的集合。

图1是气体分子间的碰撞示意图。小球表示气体分子，其中白球是要研究的分子，黑球是相对白球静止的分子，研究的分子先后与两个气体分子相碰。白球先以V1的速度与相对静止的黑球碰撞，碰撞后白球的速度大小变为V2，V1和V2的方向夹角是?兹1，然后白球以V2速度做匀速运动，运动了L距离又与另一黑球发生碰撞，同样速度的大小和方向都发生改变，碰撞后以V3的速度匀速运动，V3与V2的夹角是?兹2。气体分子间就这样不断地发生着随机的碰撞，气体分子间通过频繁的相互碰撞，来实现分子间动量、动能的交换。

可见，气体分子的碰撞频率和平均自由程、分子数密度和平均速率有关。所以从宏观统计角度来看，在我们的模拟过程中让分子的每一个自由程（步长）为相同的常数，并不影响宏观统计效果。

2.过程

2.1分子运动区域：盒子的整个区域范围为横坐标X(-100-100)，纵坐标Y(0-100)，开始在横坐标X为0-100，纵坐标Y为0-100的区域（即盒子的右半部）均匀分布1000个气体分子（二维平面上运动），如图2，小黑点代表气体分子。

2.2随机的运动：通过随机数产生函数给出每个气体分子发生碰撞后随机的运动方向，这样模拟的气体分子就运动了起来。

2.3同一步长：取分子碰撞后每一个自由程的长为一定值1，即当分子运动了长度1的距离都与其他的分子发生碰撞并改变运动方向。

2.4边界条件：分子间和分子与气壁的碰撞是完全弹性的，这是用来限定一些分子运动到区域边界时需要服从的情况。

2.5对于每个分子都如此重复着无规则的扩散运动。

三、结果和讨论

1.单个粒子的随机运动

我们抽去挡板时计时开始，跟踪了一个确定的气体分子的一段运动路线，记录了其50步的运动情况，可以知道对于单个分子的运动，它的运动是没有任何规律可言，只是在永不停息的做着无规则的随机热运动。

2.气体熵和无序性的关系

经过对气体分子扩散运动初态和达到稳定态后的对比。可以看到当挡板抽去以后，气体分子向盒子左半部扩散，最终达到一个在整个盒内均匀分布的平衡态。微观上，均匀分布是一种无序状态，非均匀分布是一种有序状态，气体分子的扩散，就是分子从在盒子右半部的有序状态的分布向均匀分布到整个盒子的无序状态的变化。

由统计热力学我们知道系统处于某一宏观态的熵与该宏观态的热力学概率W的对数成正比，即波尔兹曼关系

S=KlnW （4）

其中K为波尔兹曼常量。我们来计算一下整个扩散过程中气体的熵随时间变化的情况，计算结果如图3，单位是bit[3]。

由图3可以看到，随着气体从盒子右半部不断地充满整个盒子的过程中，气体的熵值不断增大，最后趋于一个稳定的值。在气体扩散趋于稳定后，我们跟踪了盒子中任意两个确定的气体分子，分别记录了50步，可看到它们在整个盒内仍是到处无规则地乱窜，但就所有气体分子整体而言，盒子单位区域内的分子密度却不会再变化了，即分子是动态分布均匀的。

随着时间的变化，气体分子从有序的初态到无序的末态，而熵值此时不断增大，最终趋于稳定的最大值。可见，熵可以被看作是孤立系统无序度的一种量度，并且孤立系统的自发过程，总是向着熵增大的方向进行。

3.结论

本文通过蒙特卡罗方法在计算机上模拟孤立系统中理想气体的自由扩散运动，并跟踪了气体粒子的运动，把熵和系统无序程度的联系展现了出来。更清楚地认识到不可逆过程就是由混乱程度小的宏观态向混乱程度大的宏观态方向进行，即一个孤立系统内的自发过程，总是由热力学概率小的宏观态向热力学概率大的宏观态的方向进行。

参考文献：

[1]杨晓荣,陈素丽.对理想气体方程pV=Nk_BT的讨论.大学物理2008年08期.

[2]马琰铭,固氢掺锂体系压致效应的量子路径积分蒙特卡罗研究,吉林大学博士毕业论文.

[3]薛万华,理想气体等温混合Gibbs熵佯谬简论,宁德师专学报(自然科学版) 1994年02期