结构化教学助推学生数学思维的迭代发展

摘  要：如何发展学生的核心素养，让学生学会用数学思维方式观察思考，是当前教育者迫切需要解决的问题。新课标对课程内容组织的要求是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。数学结构化教学就是将教学内容进行结构化重组，让学生自主构建知识网络，提升各种能力；推动学生数学思维广度、深度和敏度的迭代发展，让学生的数学核心素养培育真正落地。

关键词：结构化教学；数学思维；核心素养

如今，教育者已经意识到学生的思维发展是教学的主要目标之一，特别是数学教学已由“教知识”转变为“教学生学知识”。如何让学生学会用数学思维思考现实问题，落实学生的核心素养发展，是教育工作者当前迫切需要解决的问题。

一、数与计算结构化教学，让思维广度拓展

教师用传统“教知识”的方法，并不能保证学生对知识的理解和应用，也不能保证学生迁移能力的形成、思维发展。教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体。在教学中，教师要重视对教学内容的整体分析，构建知识结构体系，设计结构化教学模式，带动学生在结构化教学中有效组织知识，建立知识之间的联系，促进学生在新情境下的迁移学习，让学生在学知识的同时提升学习能力、锻炼数学思维。

在教学“两位数乘一位数的笔算乘法”时，教师对两位数乘一位数笔算乘法教学内容进行整体分析，就是要了解它的“前世”“今生”和“来世”。它的“前世”，即已有知识基础是什么，是两位数的笔算加法和一位数的笔算乘法。也就是学生已经掌握了两位数加法笔算方法和一位数乘法的笔算乘法，并认识了万以内的数。本节课的“今生”就是让学生掌握两位数乘一位数的笔算（不进位）乘法。教师要思考的是，这节课的“来世”又有哪些知识，包括两位数乘一位（进位）乘法，多位数乘一位数的乘法，多位数的笔算乘法……

有了以上对教学内容的整体分析，对课前的复习回顾环节，教师可以让学生笔算３６＋９和３×４，唤起学生对笔算竖式书写方式和笔算乘法进位方法的记忆。认识数意义是数运算的基础，数运算是对数意义地再应用。课堂情境中，教师引导学生探究１２×３的算法和算理，让学生利用对数的认识和加法经验，结合摆小棒，用口算的方法先算１０×３＝３０，再算２×３＝６，最后算３０＋６＝３６。即十位上的“１”表示１个十，它与３相乘得到３个十，个位上的“２”表示２个一，它与３相乘表示６个一，３个十和６个一相加，得到３６。在此基础上，学生尝试用笔算的方法计算时，会用竖式写出计算的过程，并能很快理解笔算每一步骤所表示的含义。有了两位数乘一位数的“今生”经验，学生对它的“来世”——多位数乘一位数的乘法也就迎刃而解了。笔算乘法的思维方法经过一步步拓展，让学生实现了自主认知的过程。

从笔算加法到笔算乘法、从一位数的笔算乘法到两位数乘一位数笔算乘法、再到多位数乘一位数，从不进位乘法到进位乘法、到两位数乘两位数、再到多位数的乘法……这种结构化学习使学生实现旧知识向新知识的正向迁移，形成纵向脉络，在实现知识迭代认知的过程中，数学思维方法也得到了迭代拓展。学生运用结构化思维，能够在知识之间建立联系，找到概念之间的逻辑关系，实现对知识的抽象和概括，进而更加深刻地理解和把握知识。教师通过结构化教学，能够帮助学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养。

二、等积变形结构化教学，让思维深度延伸

结构化教学不仅可以是知识的结构化，还可以是学科思想方法的结构化。比如，小学数学的图形与几何知识被分散在各个年级中，学生每个学期都在学。如果在教学中，教师没有结构化教学思维，那么学生学的知识也是零散的，学生的学习能力和数学思维得不到体系化发展。如何将这些看似零散的知识统领起来，帮助学生建构系统的知识结构，从而促进学生的学习走向深度，数学思维得到迭代延伸呢？教师就要全面分析知识的前后联系及它的本质特征，创设结构化学习条件，推动学生在结构化教学设计中主动建构知识与思维方法、有效发展核心素养。

（一）等面积结构化教学，让数学思维横向延伸

小学五年级的学生基本掌握了各种图形的面积计算和体积计算（圆和圆柱除外）。但是五年级的学生经常被图形的面积和体积题目弄得晕头转向，错误百出。分析题目的类型不难发现，这些题目无非面积变形和体积变形。如何围绕“等积变形”这一核心内容开展深度探究学习，需要教师将“等面积”和“等体积”在“变形”中进行结构化学习引导，让学生发现它们之间的联系，建立起系统的知识结构，掌握几何思维方法。

学生认识了长方体，需要解决生活中的问题。例如，通风管问题考查的是长方体的侧面积计算。长方体的侧面计算有两种思路，常规是分别算出相邻两个面大小，再乘以２；另一种思路是根据长方体的展开图（长方形）计算方法“长×宽”得到“底面周长×高”。教学到这里似乎已完成任务，但学生只学习了长方体的侧面积计算，如果题目稍做变化，学生又会无从下手。学生出错的主要原因是所学的知识没有得到系统梳理，思维没有横向发展。

为此，在课中，教师可以分给每位学生至少３张Ａ４纸，鼓励学生折（围）出不同的柱体。在任务的驱动下，学生的思维得到激发，很快折出长方体（两个面是正方形）和圆柱体。此时，教师询问这两个柱状体的侧面积怎么求，学生通过刚才动手折（围）的过程不难发现，这两个柱状体的侧面积就是求Ａ４纸的面积，也就是“底面周长×高”。但是，只能折（围）这两个柱状体吗？在前面经验的基础上，学生折出了三棱柱、六棱柱……直观的几何图形帮助学生理解了不管怎么变，这些柱体侧面展开都可以是一个长方形，都是“等底等高”的图形，都可以用“底面周长×高”进行计算。圆柱体是学生六年级才需要学习的，但教师通过这样的活动，可以轻松帮助学生得到圆柱体侧面积的计算方法。这样一个折（围）的动作，让学生直观看到了柱状体侧面积的变化与它的本质所在。这让看似有难度的学习变得有趣，让看似这个阶段无法解决的问题都被轻松解决。基于此，学生对“等底等高”的运用又有了新的认识，能够从“平面图形”转化到“立体图形”，在解决问题的过程中，又可以将“立体图形”转化为“平面图形”。这让学生的学习从“多”走向“一”，让学生的数学思维方法得到迭代发展且对知识总的理解不断走向深入。

（二）等体积结构化教学，让数学思维纵向延伸

等面积变形抓住了图形的“等底等高”这一本质特征。那么，“在等体积的变形中，对“等底等高”，又如何进行结构化学习呢？同样的Ａ４纸张，小组学生将所有纸叠加在一起，又会得到什么图形呢？关于高或矮的长方体，怎么计算它的体积呢”，学生都会用“长×宽×高”或“底面积×高”。这里的底面积是指长方形Ａ４纸的面积大小。此时，教师引导学生想象并通过课件演示，将全班学生手中的Ａ４纸叠加在一起，也能得到长方体图形，它的体积同样可以用“底面积×高”计算得到。

为了进一步发展学生的数学思维，教师让学生拿出与长方形同样面积的三角形、圆形、梯形、五边形……试想将每个图形叠加在一起，会得到怎样的立体图形，它们的体积又如何计算。同理，学生依然可以推导出由三角形、四边形、五边形、圆形叠加起来的三棱柱、四棱柱（长方体）、五棱柱、圆柱……也可以用“底面积×高”来计算它们的体积。在此基础上，教师引导学生大胆猜测：“什么样的图形可以用‘底面积×高’来计算它的体积”，随着思维方法的不断运用，微积分概念也随之渗透，学生能够自主发现、自主归纳，完成“等积变形”的知识建构。

这样的教学过程让学生形成了结构化意识。学生只有在“变”与“不变”中找到“等积变形”的本质特征，才能灵活应用相关知识。从“等底等高”的侧面积，用“底面周长×高”计算的二维图形，到“等底等高”的立体图形用“底面积×高”计算的三维图形，它们之间变的是“底”。“底”从一维变成了二维，学生的数学思维也在这“变”与“不变”中迭代伸展。这种结构化的学习，将数学知识进行了横向与纵向的延伸与拓展，学生的数学思维在迭代中不断深入，数学学习也走向深度。

三、生活化结构化教学，让思维的敏度强化

如何让学生用数学的眼光观察世界，用数学思维思考现实世界呢？学生数学的学习离不开生活，因此加强数学与学生生活的联系是必然的。结构化学习的前提是学习的生活化，教师要根据学生的学习需求、学习任务来挖掘数学教材内容，将教学内容置于学生熟悉的生活环境中，让学生的数学知识变得趣味化，才能发散小学生的数学思维、有效提高学生的数学学习效果。

（一）生活化结构化例题教学，让数学思维更灵动

例如，对二年级数学上册的乘加乘减，教师将例题生活化：“小明和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一起去动物园，成人门票每人８元，儿童每人４元，请问小明一家需花多少钱”，这样熟悉的生活场景可以调动学生解决问题的兴趣，同时再现了人物与门票间的抽象过程，直观显示出题目的含义，为学生开展列式计算提供了空间，也帮助学生理解了算式的含义。学生能够在画图过程中得到不同的解决思路：“８×４＋４”“８×５－４”“４×９”，从而让自身的数学思维灵动起来。

（二）生活化结构化练习教学，让数学思维更敏捷

教师将练习生活化：“小明一家五口人在动物园内要划船，每条小船８元，可坐３人，每条大船１０元，可坐４人，有几种选择方案？哪种选择比较省钱”，对此，学生先要思考几种选择方案：２条小船、２条大船、１大１小，分别算出８×２＝１６、１０×２＝２０、８＋１０＝１８，再进行比较，得出第一种方案比较省钱。这不仅是乘法计算问题，学生还需要从一家５口人出发，去思考大船和小船的乘坐人员如何与船数进行分配，在分配过程中，通过对比分析得出结论。可见，教师将练习置于生活情境中，能激发学生主动思考，使学生在解决问题的过程中调动生活经验，处理所遇到的一个个困难，数学思维也变得更加敏捷。

（三）生活化结构化应用教学，让数学思维更开阔

再如，针对六年级“北京五日游”的综合实践活动，学生不但要考虑五日游的安排及各种费用，还要考虑现实生活因素：每天乘坐的交通工具不同、景点不同，每个景点的门票不同等。这种问题将学生置于数学的实践应用中，学生通过数学整理、归纳、计算、分析等方式，解决了五日游的各种问题。在解决问题的过程中，学生不但需要用数学的眼光观察现实世界，更需要用数学的思维思考现实世界，在训练了数学各种能力的同时，数学的思维敏捷度也得到提高。

生活化结构化教学让学习发生在学生熟悉的生活情境和实践应用环境中，让学生通过生活的感性支撑和生活问题的实践解决，在分析与对比中引发思维的深度碰撞，推动了数学思维敏度的迭代发展。

结构化教学不是单一的“教知识”，而是教师根据数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，了解课程内容和教学内容的安排意图，在教学中对教学内容进行整体分析并进行结构化设计，引导学生从数学概念、原理及法则、思维方法之间的联系出发，建立起知识体系和思维结构。这样可以帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化数学知识体系，学生学会了用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成了科学的思维习惯，发展了核心素养。

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（责任编辑：张涵淋）