新课标背景下促进“四基”与“四能”发展的措施研究

［摘  要］ “四基”与“四能”的培养是义务教育阶段数学课程教学的基本要求. 文章基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》，以“直线与圆的位置关系”的教学为例，分别从“情境创设，发现问题”“揭露课题，引发探究”“概括抽象，理解新知”“数形结合，实现迁移”“例题训练，巩固新知”“回顾总结，设计作业”六个方面展开培养学生“四基”与“四能”的教学设计与教学分析.

［关键词］ “四基”；“四能”；新课标；教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下称“新课标”）再次强调数学教学要注重发展学生的“四基”“四能”. “四基”是指基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，“四能”是指通过义务教育阶段的教学，让学生自主发现数学学科与生活以及其他学科之间的联系，提高发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力. 这一目标凸显当代数学教育注重的是教学过程与能力的培养.

教学简录

1. 情境创设，发现问题

课堂伊始，教师借助PPT展示王维的《使至塞上》中所提及的长河落日图（如图1所示），引导学生感知诗中边塞的美丽景色.

师：大家都见过落日的美景，如图1所示，若将长河落日图转化成我们熟悉的数学几何图形，该怎么处理比较合适呢？

生1：若将图中的长河理解为一条直线，那么图中的落日则可视为一个圆.

师：很好！随着落日位置的变化，它们所转化成的几何图形之间的位置关系会发生怎样的变化？

设计意图 数学本就源于生活，将诗歌中的情境作为背景，一方面凸显数学学习的趣味性，另一方面有效激发学生的探索欲，让学生从这个情境中发现问题，并在教师的点拨下做好提出问题的准备. 当然，诗歌中的图有着丰富的意境，这对发展学生的数学美感具有重要意义，学生从图中主动发现并提出问题，增强直观想象能力的同时熟悉其他学科与数学、生活与数学之间的联系.

基于情境背景，学生自主操作几何画板，呈现出长河落日的动态变化图，即圆与直线的位置关系（如图2）.

师：观察图2，我们发现圆和直线之间具有几种位置关系？具体是怎么分类的？

设计意图 几何画板是重要的辅助工具，让学生亲自操作几何画板可深化学生的操作能力与探索兴趣，这也是促使学生主动发现并提出问题的基础.

2. 揭露课题，引发探究

探究活动1：要求学生在白纸上画一条直线，将一张圆形卡纸置于直线上方缓慢移动，探索直线和圆的不同位置关系.

探究活动2：将圆形卡纸固定在一张白纸上，并在这张白纸上画多条直线，观察圆形卡纸和不同直线之间存在怎样的位置关系.

基于活动要求，学生展开合作交流，随着探究活动的深入，学生自行分析圆和直线的位置关系，并展示成果.

师：通过以上探索，大家发现直线与圆之间存在几种不同的位置关系？分类标准是什么？

生2：存在三种不同的位置关系，根据公共点的个数来分类.

师：很好，那么不同的位置关系各具有几个公共点呢？

生3：分别有0，1，2个公共点.

师：若要为分类“起名字”，该怎么办？

设计意图 学生动手操作与合作交流有助于从不同的角度观察问题，让学生通过对活动经验的积累来分析与解决问题. 此环节中，逐层递进设问，进一步深化学生对直线和圆的位置关系的认识，让学生体会从感性到理性的认知变化过程.

3. 概括抽象，理解新知

基于以上探索，师生共同概括如下结论：如表1所示，直线与圆之间存在三种位置关系. 若两者之间不存在公共点，则直线与圆的关系为相离；若两者存在一个公共点，则两者的关系为相切，直线为切线，公共点为切点；若两者之间存在两个公共点，则表示直线与圆相交，这条直线就是圆的割线.

设计意图 通过对直线与圆位置关系的归纳，不仅渗透了分类讨论、数形结合等思想方法，还进一步强化了学生的问题意识，让学生学会从不同的角度用不同的方式来思考问题.

4. 数形结合，实现迁移

师：之前我们探索点和圆的位置关系时，借助的是圆心与点的距离与半径的关系，本节课咱们在判断直线和圆的位置关系时，是不是也可以借助这一类方法呢？

生4：或许可以转化成圆心与直线之间的距离来分析判断.

师：那该怎样描述圆心和直线之间的距离呢？

生5：过圆心作已知直线的垂线，根据垂线段最短原理可确定两者间的距离.

设计意图 类比“点和圆的位置关系”来探索“直线和圆的位置关系”，有效发展学生的数学合情推理能力，引导学生进一步认清知识的本质.

师：若O为圆心，r为半径，d为圆心O到直线l的距离，那么在直线和圆的不同位置关系中，r与d之间存在怎样的联系呢？

生6：当直线与圆相离时，d>r；当直线与圆相切时，d=r；当直线与圆相交时，d<r.

经过师生、生生积极互动，共同总结出判断直线与圆的位置关系的结论：如图3所示，直线与圆相离⇔d>r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相交⇔d<r.

设计意图 此环节中，位置关系与数量关系的互相转化不仅揭露数形结合思想的重要性，还充分体现分类讨论与类比思想方法，为帮助学生更好地感知图形位置关系奠定基础，有效发展学生的直观想象与数学抽象能力.

5. 例题训练，巩固新知

例题 已知圆的直径D=13（厘米），圆心与直线的距离d分别为4.5厘米、6.5厘米、8厘米，请分别判断圆与直线之间具有怎样的位置关系，分别有几个公共点.

变式1 已知圆的直径D=13，一条直线与该圆存在两个公共点，那么该直线与圆心的距离的范围是多少？

变式2 在Rt△ABC中，已知∠A是直角，AC=5 cm，AB=12 cm，若以点A为圆心画圆，请根据圆的以下半径判断与BC所在直线的位置关系：①r=5 cm；②r=2 cm；③r=60/13cm.

设计意图 从低起点的基础题出发，借助变式逐渐深化问题的难度，可发散学生的思维，让学生对圆心与直线的距离和位置关系产生深刻理解，以增强学生分析问题与解决问题的能力.

6. 回顾总结，设计作业

师：说说你们在本节课中的收获，通过本节课的学习你知道直线与圆之间存在哪些位置关系了吗？如何判断它们之间的位置关系？本节课涉及哪些重要的数学思想方法？

在学生完成回顾与总结后，教师除了布置一些基础性的作业外，还特地根据学情安排了一个开放性问题，要求学生从生活实际中找一些存在直线和圆位置关系的实例，并对其位置关系进行判断，下节课分享交流.

设计意图 知识与数学思想方法的梳理是积累数学学习经验的重要途径. 开放性作业给学生留有充足的思考空间，对提升学生思维的发散性与创新意识具有重要作用.

教学思考

“四基”从本质上来说就是一个有机的整体，是教学活动的核心目标，亦是发展学生数学核心素养的基础. 本课借助学生所熟悉的古诗中的一个情境作为背景，有效激趣的同时也提升了学生发现问题与提出问题的能力；随着实操活动的开展，学生在“做数学”中逐渐提高了分析问题的能力. 最后的课堂总结与作业设计，让学生从根本上掌握了直线与圆位置关系的本质，知识的应用提升了学生解决问题的能力.

总之，在践行“新课标”理念时，需结合“四基”要求与学情特点来设计教学目标，关注教学过程，将知识的传授、能力的培养、数学思想方法的提炼以及经验的积累等有机地贯穿于教学的每一个环节，促进“四能”的发展，为核心素养的培养夯实基础.