重视基本图形教学,破解“舍近求远”难题

[摘  要] “舍近求远”是几何推理中的常见现象，研究者结合一道例题的教学阐述了该现象的成因及破解策略，并给出三点启示：认识基本图形的性质要循序渐进，认识基本图形要文符同行，解法比对要凸显基本图形的优势.

[关键词] 基本图形;推理能力;案例分析

“舍近求远”是学生在解决数学问题时舍弃便捷解法，“走弯路”“走远路”现象的统称. 在几何证明题中，此类解题现象尤为常见. 面对此类问题，有学生能紧贴题目设计者的意图，用关键知识或技能探索思路，获得解题“近路”，给出预期的、没有多余步骤的解题过程;也有学生不能清晰识别题目意图，用“低级”的知识或技能分析和解决问题，关键知识或技能的解题缺位导致他们给出了正确但步骤略多的解题过程. 我们的几何教学该如何破解这一常见难题呢？本文拟结合一道例题的教学分析谈谈减少学生几何推理“舍近求远”的教学策略，供大家参考.

一道例题的教学及分析

1. 例题

如图，在△ABC，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F，求证：∠F+∠FEC=2∠A.

2. 教学背景分析

本题被编排在人教版初中数学“11.2与三角形有关的角”的练习课中，学生在课前已经学习了“三角形的内角和等于180°”“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”等关键知识，对与这些关键知识相关的几何图形也已有了一定的认识. 选用本题目作为训练与讲评的例题，意在帮助学生巩固三角形的外角的性质，提升学生用三角形外角性质进行推理或计算，解决数学问题的能力.

3. 学生的证明方法及分析

（1）证明方法

方法1   因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠F+∠FEC+∠ACB=180°，所以∠A+∠ABC=∠F+∠FEC.

因为∠A=∠ABC，所以∠F+∠FEC=2∠A.

方法2  因为∠FEC=∠A+∠ADE，所以∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE.

因为∠ADE=∠BDF，所以∠F+∠FEC=∠F+∠BDF+∠A.

因为∠ABC=∠F+∠FDB，∠A=∠ABC，所以∠F+∠FEC=2∠A.

方法3  如图2，延长BC到M，则∠ACM=∠A+∠ABC=∠F+∠FEC.

因为∠A=∠ABC，所以∠F+∠FEC=∠ACM=2∠A.

（2）证法分析

由于例题的难度不大，方法较多，全班学生均给出了正确的推理过程，其给出的证明方法主要有上面的三种. 其中，给出方法1的学生最多，有30人，给出方法3的学生仅3人，余下15名学生给出了方法2. 很明显，在这三种方法中，最简单的是方法3. 这一方法直接利用三角形外角的性质，通过构造两个三角形的公共外角，形成等量关系，推出结论. 其解题的顺畅与否取决于学生能否通过延长BC构造外角，利用∠ACM将∠F+∠FEC与∠A联系起来. 而另外两种方法也想到了要转化，只不过走的路略微远了些.

方法1是利用三角形的内角间的关系进行的转化，能给出这种解法说明学生对“三角形的三个内角和为180°”是有较深的认知的. 事实上这也不奇怪，学生在小学就已对“三角形的三个内角和为180°”有了一个较为全面的认知，从探索到应用，从验证到计算，几乎每个学生都有着十分丰富的经历. 加之到了初中后，对这一结论的证明让他们对“三角形的三个内角和为180°”的认识进一步加深. 所以，由∠F+∠FEC自然而然地想到∠F+∠FEC+∠ACB=180°，是较为合理的. 至于进一步利用等式性质进行转化，等量代换进行等值转换，也是进一步获取结论的需要，整个过程十分自然，大多数学生给出此过程也在情理之中.

方法2，用此法的学生对“三角形的外角等于与它不相邻两个外角的和”是有了较深的认知的. 学生借助两个不同三角形的外角的数量关系，得到了“∠FEC=∠A+∠ADE，∠ABC=∠F+∠FDB”两个与三角形的外角相关的结论，再利用“对顶角相等”及题中的条件得出了所要证明的结论. 这个过程中，学生基于对原图的仔细观察，将要证明的结论合理分解，依据图形生长结论，充分运用近期所学的关键知识.

暂不论三种方法的繁简，它们都能顺利证得结论，这就说明学生对近期所学的图形及其相关结论是有较为清醒的认识的. 但之所以不同的学生给出了三种差异明显的方法，还是因为大多数学生对三角形内角及其性质的应用停留在表层. “有形才有思”，“无形则无法思”，在不出现射线CM的情况下，想要让学生自己主动构图，形成基本图形是很难的. 这或许是方法3出现人数很少的根本原因.

4. 教后思考

三种证明方法紧贴学生的认知现状生长，都是正确的，笔者以为这对学生而言没有好坏之分，但“近”的证法如此难想到，而“远”的证明过程如此高频出现，不得不让笔者思考：怎样开展几何教学，才能让学生不走或少走弯路呢？

笔者以为，几何教学不能只是识图，还要学会构图、用图，在分析和解决问题时，要让学生基于图形展开丰富的联想，多想想：图中可能隐藏着什么结论？有没有基本图形（蕴含着大量固定结论的具有稳定结构的几何图形）？是否可以构造基本图形？通过基本图形能不能给问题解决带来便利？如此反复思考，学生才有逐步走上问题解决的快速通道的可能. 比如，解决文中例题时，当学生看到结论中的∠F+∠FEC和图形时，教师就可以引导他们思考：∠F和∠FEC是什么角？有没有构造出∠F+∠FEC的可能？从而引导学生去发现“延长FC”的构图思路，并形成便捷的证明方法3. 如果每一次几何教学，教师都能进行这样的引导，学生都能开展这样的深度思考，那“舍远求近”的解法也就会成为理所当然了.

教学启示

1. 认识基本图形的性质要循序渐进

任何一个新的几何图形及其相关结论的出现，都是建立在学生对已有知识的综合应用的基础上的. 因而，那些已有的知识不可避免地会对学生刚刚获得的新知产生这样或那样的影响，有些影响是正向的，有利于学生巩固与应用新知;有些影响是反向的，不利于学生巩固与应用新知. 本文中的“三角形内角和等于180°”和“三角形的外角等于不相邻的两个内角的和”这两个定理本身是继承与发展的关系，它们都是三角形的角的重要性质，其中，三角形的外角性质是由三角形的内角和定理推导得出的，在很多时候，用三角形的外角性质来解决问题会比用三角形内角和定理来得快一些，因而认识三角形的外角这一基本图形（如图3）的性质就应成为教学的重点. 但由于三角形内角和定理深深扎根于学生的知识结构中，用其解决与三角形有关的问题是学生的首选，如果没有长期反复用三角形的外角性质的应用体验，是很难消除三角形内角和定理对应用三角形外角性质探索便捷解题路径的干扰的. 教师有必要从学生认识外角开始就进行图文应用的逐步规划，让学生在反复解决相关问题的过程中，逐步体会三角形的外角性质在几何推理中的优越性，进而形成应用其解决问题的自觉意识.

2. 认识基本图形要文符同行

几何教学中，图形语言、文字语言、符号语言是学生认知的主要内容. 这三者在数学教学中往往是同步出现的，它们理所当然是课堂教学的组成部分. 因此，教师呈现图形的同时，要让学生在归纳图中结论时，从文本、符号两个角度分析，用文本陈述结论，用符号表示结论，并在反复比对中矫正，形成正确、规范的数学结论，获得文本、图形、符号之间的关联通道. 在后续应用交流中，让学生反复进行“图文符”的关联陈述，不仅能在单一图形中识别其蕴涵的结论，还能在复杂情境中抽象出基本图形，把这些图形中的结论应用到复杂问题的解决中去，培养学生“图文符”同用的自觉性. 以三角形的外角性质为例，教师不仅要让学生认知图形（如图3），还要让他们知晓对外角∠ACD性质的符号表述，即∠ACD=∠A+∠B. 在后续应用中，教师要反复强调图中存在的这些外角及其可以得到的角之间的数量关系. 在学生形成正确的解题思路的情况下，教师还要让三角形外角的性质以“图文符”三种形式反复出现，持续巩固对其的认识.

3. 解法比对要凸显基本图形的优势

一题多解是数学教学中的常见内容. 面对一题的多种不同解法，我们应该关注什么？笔者觉得要凸出解法中基本图形的优势. 虽然，不同解法的步骤不一定相同，所有的知识也未必相同，但求解过程中，知识的提取、思路的获得、过程的书写等方面都一定存在着优劣差异，因而教学中，必要的解法比对会让学生明晰不同解法的优势所在，为学生后面选用便捷解法解决问题积累经验. 以本文中的例题解法为例，方法1易想好用;方法2，用到了三角形的外角这一基本图形的性质，虽然过程有些烦琐，但学生在复杂图形中发现三角形的外角并用好其性质应是值得肯定的，这对提升学生的分析问题和解决问题的能力是有好处的;方法3的优势很明显，一条辅助线的添加，形成了两个三角形的同一个外角，巧妙地把两个三角形中的内角串联起来，形成了非常简捷的解题过程，这也是例题设计者所期望的方法. 对于方法3中基本图形的应用，教师应引导学生加以重点探讨，让学生对三角形外角这一基本图形的认知再上一个新的台阶.

写在最后

几何推理虽有“远”“近”之分，但对于数学教学，正确的路径应无“远”“近”之分. 教师在关注便捷解法的同时，要关注烦琐解法，从这些解法中剖析学生呈现解法的原因，在明确现有知识应用的基础上去找寻便捷解法，充分体现知识的应用价值，不断提升学生分析问题、解决问题的能力，更为学生提升数学核心素养夯实基础. 本文结合一道例题解法的“远”“近”分析谈了笔者对几何图形教学的一些认识，不当之处在所难免，敬请各位同行专家批评指正.