命题分析探索,解题过程指导

[摘  要] 开展解题探究，需要解析问题，分析命题，回归教材知识考点，并通过思维引导的方式指导学生解析问题，明确解题的重点. 文章对一道模考题进行深度探究，探索命题考向，指导解题过程，以期对师生的教学备考有所帮助.

[关键词] 抛物线;几何;教学;数形结合

“解析问题，分析命题，回归教材，教学探索”是中考备考阶段重要的环节，有助于强化学生的解题思维，提升学生的综合解题能力. 教师可选取具有代表性的中考真题或模考题，开展问题分析与教学指导.

问题呈现

问题  （2023年湖北十堰市统考压轴题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）连接OC，点Q是直线AC上不与A，B重合的点，若S=2S，请求出点Q的坐标.

（3）在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以A，H，C，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标;若不存在，请说明理由.

命题探索

本题是一道二次函数压轴题，综合性强，融合了抛物线、直线、三角形、菱形，题设三问，分别求抛物线的解析式、三角形面积关系解析、菱形存在性探究. 这是对学生知识、能力、思想方法等诸多方面的考查.

考题的后两问为核心之问，第（2）问设定关键点，构建两个三角形，给定两个三角形的面积关系;第（3）问则是设定动点，探究是否存在满足条件的菱形. 显然两问充分综合了函数与几何的核心知识考点，是一道优秀的模考题. 从问题的命制过程，可以管窥命题人对于本题所凝聚的心血与智慧.

优秀模考题，在构建与考查方式上可以凸显出公平公正、探索性强、解法开放等特点，同时对于教学具有导向与引领作用. 教学中，教师需要关注问题的命题特色，从知识本源出发来探索.

特点1：命题取向——回归教材

从整体来看，问题考查抛物线性质、三角形面积、菱形判定，这些都是源自教材的核心知识点. 只是在具体构建时命题人对其进行了整合改造，使得问题更为新颖、综合性强，但问题所涉及的图形是学生所熟知的. 上述以教材知识考点为基础，采用综合构建与深入挖掘的命题方式，使得问题回归教材，立意又高于教材，这是中考所提倡的，可作为解题教学的重要题材. 考题回归教材，也体现了对考生测评的公平性，能够引导师生重视教材中的基础知识，避免过于注重探究过难的问题.

特点2：考查过程——主线突出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确强调，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验等思维活动的过程，即学生在数学学习中，要注重开展思维活动，经历探究过程，培养数学思维能力. 学生思维能力的提升是一个长期的过程，需要师生共同努力.

本模考题先是以“抛物线与直线相交”知识点为载体进行构建的，后续研究三角形的面积关系，菱形存在性，即以“相交→三角形面积→特殊图形”为研究主线，设置问题情形，难度逐步加大. 学生在解决问题的过程中，需要经历分析思考、作图构建、推理转化等思维活动，可再现数学探究的思维过程，从而提升综合能力.

特点3：研究方法——数形结合

教师要指导学生掌握解析问题的一些基本方法，上述为典型的抛物线与几何综合的问题，涉及数形结合的思想方法. 从问题整体框架来看，题设条件与图形对应匹配，设定了抛物线与直线的相交关系、关键点的位置. 而后续设问的图形并未给出，需要学生自行补充完整. 学生在探究问题时，需要按照“读题审题—理解图形—完善图形—运用性质”的方案来解析问题，可经历用数形结合的方法解析问题的全过程，最终掌握函数与几何综合题的解析方法.

解题指导

在教学综合性压轴题时，教师要为学生提供一定的解题指导，串联问题条件，设定分步动作，培养学生的解题思维. 综合题的求解过程较为繁杂，教学中教师可以对其进行拆解，让学生理解每一步的具体含义，对于较为关键的步骤，则可以引导学生思考，明确关键点. 下面对上述模考题进行解题指导.

1. 待定系数求解析式

第（1）问求解抛物线的解析式，属于基础问题，其命题目的有两点：一是引导学生理解条件，读懂图形;二是考查待定系数方法. 教学中教师要让学生明晰求解特殊参数b和c的关键，以及把握抛物线上两点：A和C.

教学引导设置如下两个问题：

①求解抛物线的特征参数，需要采用什么方法？

②对于本题需要利用哪两个点，如何求解？

解题过程：采用待定系数法求解抛物线解析式.

第一步，明晰关键点坐标

根据题意可知，抛物线经过点 A（-4，0）和点C（2，6）.

第二步，点代入构建方程.

将点A和点C的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c中，则有8-4b+c=0

2+2b+c=6，可解得b=2

c=0，所以抛物线解析式为y=x2+2x.

解后思考：待定系数法是求解解析式的重要方法，可用于求解直线或曲线的特征参数，教学中教师要引导学生明晰“特征参数⇔点坐标”的对应关系，明晰构建方程是求解参数的重要途径.

2. 面积模型转化求点

第（2）问给定了两三角形的面积关系，求解点Q的坐标，属于与面积相关的问题，难度适中，对学生的解析能力要求较高. 命题目的有三点：一考查三角形面积模型;二是考查转化思维;三是考查数形结合思想方法. 教学中教师要引导学生观察分析核心条件——S=2S，根据点坐标确定△OAC的面积可求，从而使学生明晰解题的关键思路：构建△OAQ的面积模型，建立方程求坐标参数.

教学引导设置如下三个问题：

①观察分析核心条件：S=2S，哪个三角形的面积可求？可以得出什么结论？

②结合点坐标的具体情况，如何构建△OAQ的面积模型？

③如何求解点Q的坐标？

解题过程：先转化分析面积关系条件，再构建三角形面积，最后列方程求点坐标.

第一步，转化核心条件

根据条件可知点A（-4，0）和C（2，6），显然△OAC的面积可求，即S=×4×6=12，所以△OAQ的面积为S=2S=24.

第二步，构建面积模型

点O和A均位于x轴上，且坐标已知，可将△OAQ视为是以OA为底，点Q为顶点的三角形，则其面积可以表示为S=·OA·h（其中h表示点Q到x轴的距离）.

第三步，设定点Q坐标.

设定点Q的坐标，已知点Q在直线AC上，根据点A和点C的坐标，采用待定系数法可求出AC的解析式为y=x+4，故可设点Q（m，m+4）.

第四步，构建方程求解

结合点Q的坐标，可知△OAQ的面积可以表示为S=×4×m+4=24，从而可解得m=8或m=-16. 当m=8时，点Q（8，12）;当m=-16时，点Q（-16，-12）. 分析可知，两点均满足条件.

解后思考：上述展示了与面积关系相关的求点问题的解析转化思路，解后需要引导学生关注三点：

一是注意分析面积关系条件，可采用直接简化或间接转化的方法;

二是重视面积模型的构建方法，明确图形的底和高;

三是注意审视结论，上述解出了两个点，应讨论是否均满足条件，同时从图形视角思考，显然点Q可以位于x轴的上方，也可以位于x轴的下方.

3. 分类讨论构建模型

第（3）问是菱形存在性问题，设定了动点，讨论满足条件的点N. 由于具体模型未定，教学中教师要指导学生采用分类讨论的思维方法，分别构建模型，结合菱形的判定方法来开展. 本问主要考查两点：一是分类讨论、数形结合建模的思维方法;二是菱形存在的性质定理. 在实际探究时，教师要引导学生明确分类的标准，即菱形的对角线，这也是后续讨论的基础.

教学引导设置如下三个问题：

①整体上采用何种策略和思维方法？

②观察图形，若AHCN为菱形，则可能存在几种情形？根据菱形的对角线情形可分几种讨论模型？

③建模讨论中明确菱形成立使用了何种性质定理？

解题过程：采用“假设—验证”的策略，同时结合分类讨论与数形结合建模的思维方法来构建解题过程.

第一步，假设成立，明确讨论模型

假设存在一点N，使以A，H，C，N为顶点的四边形是菱形. 分三种情形：①以AC为菱形的对角线;②以AH为菱形的对角线;③以AN为菱形的对角线.

第二步，分别建模，构建菱形求解.

分三种情形建模讨论，求解点N的坐标.

情形①：以AC为菱形的对角线，如图2所示，由条件可求得点B（0，4），所以OA=OB=4，则∠BAO=45°，故∠NAO=90°，所以菱形AHCN为正方形，所以AH=AN=NC=6，所以点N的坐标为（-4，6）.

情形②：以AH为菱形的对角线，如图3所示，则点C和点N关于x轴对称，易得点N的坐标为（2，-6）.

情形③：以AN为菱形的对角线，如图4所示（可细分为两种情形），结合点A和点C的坐标可知，AC==6，结合性质定理可知CN=AC=6，点N的坐标分别为（2+6，6）和（2-6，6）.

第三步，综合模型，确定最终结论.

综上可知，满足条件的点N有四个，分别为（-4，6），（2，-6），（2+6，6）和（2-6，6）.

解后思考：对于存在性问题，采用“先假设，后验证”的策略;对于不确定的模型问题，采用分类讨论、数形结合的思想方法. 对于上述菱形存在求点坐标问题，教师要引导学生明晰每一情形讨论所借用的性质定理：①菱形对角线平分顶角;②菱形的对称性;③菱形的边长相等.

写在最后

命题分析、过程引导、解后思考是解题教学的重要环节，教学每个环节时教师要明晰核心，引导学生充分认识问题，掌握构建方法，深刻领悟方法精髓，以此发展学生的数学思维. 教师要深度剖析典型问题，提炼解析策略与思维方法，并引导学生后续适度拓展.