整体构建 提升思维 发展素养

[摘  要] 以“分式章起始课”教学为例，在单元整体数学的视角下，以学论教，依标而教，教师要教结构、教关系、教方法，使学生厘清“为何学”“学什么”“怎么学”，构建新生内容的知识、思想和方法体系，形成数学研究对象的系统思维路径，发展学生的数学核心素养.

[关键词] 整体;思维;数学素养;章起始课

《义务教育数学课程标准（2022年版）》建议整体把握教学内容，注重教学内容的结构化，指出：“改变过于注重以课时为单位教学设计，整体设计，分步实施，促进学生对教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养. ”[1]在新课程改革背景下，单元整体教学已成为数学教育教学关注的重要方向，数学教师需要深入挖掘数学知识关联，科学构建教学内容的知识、思想和方法体系，引导学生完善数学认知结构，形成数学研究对象的系统思维路径，发展学生的数学核心素养. 笔者以苏科版教材八年级下册第10章“分式章起始课”教学为例进行探索，现将教学过程与思考整理如下，以飨读者.

教前思考

1. 单元架构，统领整章教学

单元架构的梳理定位于整体，价值在于统领，通过理脉络、搭框架、绘蓝图对全章顶层设计和统筹布局，有助于学生站在整体高度认识本单元知识间的关联. 基于学生已有知识经验和认知水平，可以按照“大概念→基本问题→衍生内容→课时安排”的逻辑思想进行统整，揭示主要知识点之间的关联，促进结构化的理解，对教学内容实现宏观把握. 整个单元共计划10课时，具体单元整体教学内容如下（如图1）.

2. 整体建构，优化认知结构

章起始课的教学从知识内容的整合、思想方法的渗透、学习活动的开展等角度均站在整体高度，将教学内容结构化，有利于学生将数学知识结构内化为良好的认知结构. 如“分式章起始课”教学，让学生明晰：（1）“为何学”：解决实际问题时会产生两个数（式）相除（不能整除）的运算，回顾与展望数系和代数式系的扩充历程，上联下延，感受学习分式的必要性和数学知识的整体性. （2）“学什么”：通过观察若干个不能整除的式子，归纳这一类代数式的共同特征，抽象出分式，通过对分数、整式内容的类比，展望分式内容框架. （3）“怎么学”： 分式的概念是在数与数的运算的基础上，用字母表示数后建立起来的，分式的运算依赖分数的运算，也是分数运算的一般化. 把分数的学习经验类比迁移到分式的学习，研究问题的方式相通，思想方法也一脉相承.

教学设计

板块1  为何学——数眼审视世界，发现研究对象

问题1：从小学到现在，数系经历了一个怎样的扩张过程？初中阶段学习了用字母表示数后，就有了代数式，我们已学习了哪些类型的代数式？类比学习数的扩张过程，请你试着展望代数式的扩张方向.

问题2：京沪铁路是我国南北走向的大动脉之一，是我国客货运较繁忙、增长潜力较大的铁路干线，全长1462 km，客车的速度是货车的2倍，若从上海到北京货车比客车多用6 h，你能尝试用方程描述其中的数量关系吗？

追问：如何表示货车、客车从上海到北京需要多长时间？

设计意图 问题1从数学内部回顾对已学习数系的扩张过程，通过把数抽象为字母，类比展望代数式的扩张方向，由数到式，感受数式通性，依据数学知识发展的逻辑必然性提出问题，符合学生的认知规律，激发学生探究的欲望. 问题2以生活中京沪铁路为背景，学生通过自主探究形成用字母表示数的意识，进而用代数式分别描述货车、客车从上海到北京所需的时间，体会学习分式是源于解决实际问题的需要，感受学习分式的必要性，点燃思维火花.

板块2 学什么——研究对象特征，生成分式概念

问题3：已知整式x3和x3+xy，你能用这两个整式进行哪些运算？

追问1：你能写出运算的结果吗？

追问2：观察以上问题中得到的代数式、、、、、2x3+xy、-xy、x6+x4y、，你能尝试对这些代数式进行分类吗？

追问3：你能对、、、、这类代数式起个名字吗？你能给分式下个定义吗？

设计意图 通过开放的设问，从数学内部的运算视角，让学生体会整式不仅可以进行加减法和乘法运算，也可以把两个整式相除，有利于完善学生的知识结构，明晰分式正是源于两个整式相除（不能整除）的运算. 学生观察、比较以上问题中得到的代数式，感知整数相除与整式相除的异同，基于数式融合从特殊到一般，为自然生成分式概念寻找生长点，通过数学抽象逐步呈现出分式的基本形态，明晰这一类代数式的特征. 师生交流后归纳出分式的概念，形成如图3所示的结构图.

问题4：回忆已经学过分数、整式的哪些内容，类比思考，对于分式可能要学习哪些内容？试展望分式的研究路线图.

设计意图 分式内容是分数知识的迁移与升华，也与整式内容对立与统一，基于分数与分式相同的结构，唤醒学生对学习分数、整式时的内容的回忆，以此帮助学生构思本章将要研究的内容. 师生交流后从整体上搭建分式的研究框架——“定义→性质→运算→应用”（如图4），从而解决“学什么”.

板块3 怎么学——求同唤醒经验，类比建构方法

问题5：从以上问题得到的分式中挑几个，提出几个待研究的问题并尝试解决.

设计意图 设置开放性问题，对比分数学习内容，学生提出一些关于分式的值、运算等问题，研究分母的取值范围，得出分式有意义的条件. 引导学生比较分数与分式在运算对象及运算意义上的联系与区别，归纳出分数与分式运算符号的意义是相同的，只是运算对象用字母代替了数，分式运算的本质就是分数运算的一般化，启迪学生把分数运算的经验和方法迁移、抽象到分式学习中，用联系的、发展的眼光看问题，激活思维，为“怎么学”做好铺垫.

问题6：回忆分数的基本性质是什么？分式是否具有与分数类似的性质？

观察与思考：取M个长为b m、宽为a m、面积为10 m2的矩形，按如图5所示拼成大的矩形，你能用不同的式子表示b吗？你有什么发现？

追问：把长为a m、宽为b m、面积为10 m2的矩形按如图6所示的方法平均分成N个小矩形，你能用等式描述b的不变性吗？

设计意图 分数与分式具有相同的结构特征，通过类比与猜想可得分式也具有与分数相同的性质，但这种“经验式”的猜想并不能让人信服. 设置将矩形拼接与分割的数学活动，利用几何图形表示数量关系，以数学实验为手段帮助学生验证猜想的合理性，以形助数，深化思维，有利于提升学生的几何直观、运算能力、推理能力和创新意识.

问题7：本节课你学习了哪些知识？是用什么方法研究分式的？接下来我们将学习什么内容？

设计意图 编筐窝篓，全在收口. 通过小结梳理借助框架图把不同阶段的学习内容联系起来，同时对后续学习内容及学习方法进行展望与畅想，形成分式学习的单元认知结构（如图7），有利于完善学生认知体系. 经历数式通性、类比学习，总结研究分式的思考路径，激发了学生的学习动机，提升了学生思维的深刻性.

教学反思

只有理解数学、理解教材、理解教学，才能整体谋划教学环节，科学合理地整体建构单元知识框架，探寻一般研究路径，实现学生情感真升华、思维真提升、素养真发展的目标.

1. 重视整体教学设计，知识内容结构化

数学知识、学习方法之间往往有潜在的联系，新知学习时，需让学生建立起将要学习知识与已学知识之间的关联，找到新知的“生长点”与“延伸点”，将新知纳入已有知识体系中，结构化后构成有机整体，进而形成合理的思维链. 教学设计时可通过类比、“数学导游图”、知识“生长树”等方式整体建构知识框架，使学生对所学内容的系统结构做到心中有“图”，形成良好的认知结构，进而在后续研究新的问题时有章可循，自然“触发”认知结构中的某个节点，整体联动思考问题.

本课例中通过回顾数系扩张，对代数式的扩张进行展望，对比分数，抽象出分式“形式+条件”的本质，类比分数、整式的知识框架结构，规划出分式的研究内容框架. 上联下延，洞悉知识的起源，展望新的研究方向，整体把握知识的来龙去脉，知识关联使新知自然发生，符合学生的认知规律，逐步扩大学生的认知领域.

2. 重视数学活动体验，方法形成过程化

章建跃博士曾说：“变化的是研究对象，不变的是研究路径和方法，使学生在‘重复’使用基本套路的过程中，领悟数学思想方法，学会思考，学会解决问题. ”教学设计时教师要为学生构建目标明确、逻辑连贯、过程清晰的学习路径，使学生能更加积极、主动地参与学习，学会自主探索新知，形成良好的“经验型”思维习惯，这也是科学研究的“基本之道”，是“使学生学会思考”的关键[2]，能有效提高学生的学习效率和内驱力，提升数学核心素养.

问题6中利用分数与分式在结构上的同源性，类比分数猜想分式的基本性质，但由于分数与分式形式上的差异性，这种猜想未必可靠. 教师并未“权威性”地给出结论，而是又设计了将矩形拼接与分割的学习活动，利用几何图形表示数量关系，通过“形”的变化观察“数”的规律，帮助学生验证猜想的合理性. 教师不惜时、不惜力，通过创设观察、猜想、计算、推理、验证、迁移运用等学习活动让学生经历“完整化”的学习过程，其探索过程虽烦琐，但学生渴求验证理性结论的欲望却更强烈了，激发了学生学习的兴趣. 形成的数学学习的“套路”和基本活动经验也被纳入学生原有的认知结构中，优化思维方式，在今后解决类似问题时将得到自然激发.

3. 重视核心素养表现，思维提升可视化

以提升核心素养为导向的教学，“怎么教”比“教什么”更重要，知识是显性的、具体的，是发展能力的基础，掌握“四基”“四能”既是落实素养目标提升的前提，也是数学素养目标在日常教学中的具体化[3]. 将核心素养提升落实在“四基”“四能”的学习中，通过设置有效的数学活动，提供能引发学生真实思考的情境与问题，让学生在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中学会观察、思考与表达，让知识生成和思维生长可视化，提升数学核心素养.

本节课的新课引入环节先从数学内部让学生回忆数的扩张过程，并展望得出代数式内容的扩张方向，帮助学生形成结构化认知，使学生的思考有方向，进而形成科学的思维习惯. 思维的生长主要依赖于具体问题的解决，在分式性质的探究环节，通过观察与猜想、分析与综合、归纳与演绎等培养思维的基本方法，以问题促思考，培养学生的应用意识和创新意识，使学生养成有条理的思维品质. 在课堂小结环节，把不同阶段的学习内容联系起来，从知识、思想方法、研究路径等角度使学生的数学认知在更高层次上进行了重构，形成上位认知，实现了思维进阶. 这样的学习活动其实是数学核心素养目标在本节内容课堂教学中的具体化，也是本节课的出发点与归宿，能促进学生真正进行主动的、有意义的学习，理解和领悟知识生成、方法获得、思维创造的过程，引领学生进行课堂以外的自觉探究，埋下了探索的种子，让学生的思维提升有了生命力.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]刘乃志，江守福，安志军. “整体数学”教学研究与实践探索——以“分式”教学为例[J]. 中国数学教育，2021（23）：18-22.

[3]李树平. 立足整体 关注逻辑 提升素养——“同底数幂的乘法”章起始课教学设计与反思[J].中学数学月刊，2024（1）：23-26.