做数学:培养学生高阶思维的有效途径

[摘  要] 做数学是以“做”为支架，让学生通过观察、假设、思考、实践等活动，发现数学规律、获得数学概念、应用数学知识的一种有效的数学学习方式，是为了探寻数学知识，检验数学结论或猜想，从而进行的实验操作或思维活动. 它改变了数学知识的形态，改进了学生学习的方式，促进了学生认知和情感的和谐发展，是培养学生高阶思维的学科实践. 文章以“三角尺拼角”为例，谈谈如何引导学生在做数学的过程中经历操作、观察、猜想、实践、归纳、验证、探究的学习历程，旨在激发学生的数学兴趣，培养学生的高阶思维，提升学生的数学素养.

[关键词] 做数学;高阶思维;三角尺拼角

缘起

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程实施教学建议中指出：数学教学应结合具体的教学内容，关注学生，使其在获得间接经验的同时，也能获得直接经验. 引导学生通过实践、思考、交流、探究等方式，能主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题、分析问题和解决问题的能力[1]. 对于“三角尺拼角”中蕴含的知识、方法，学生理解、掌握的知识与能力不够，需要在教师适时引导、同学合作交流的氛围中理性探究，方能掌握知识、关注本质、理解原理、形成能力.

在课堂教学中，教师要引导学生在操作中经历观察、抽象、建模的数学学习过程，通过“拼角”准确地画图、计算，探索出给定三角尺的角度和能拼出的角度之间的关系. GeoGebra的直观演示，裴蜀定理的理性证明，能增强学生解决数学问题的能力，能培养学生的高阶思维.

课堂回放

1. 拼角、叠角、画角，训练高阶思维的广度

课例以“三角尺拼角”入手，引导学生在已有知识体系的框架下初步探究角的和差关系，逐步深入理解拼角的本质;让学生动手做数学，在“做”中思考，在“做”中积淀;引导学生在观察、分析、抽象、推理、归纳的过程中训练高阶思维的广度.

【情境引入】

教学时，由国家宝藏《伏羲女娲图》引出“规”和“矩”，让学生感受数学工具的演变与发展过程，从而自然地过渡到直角三角尺. 教师提问学生对三角尺的认知，探究为何三角尺要设计成30°，45°，60°，90°的特殊角度. 课件展示三角尺中的直角与生活密切相关，而特殊角度来源于常见的等边三角形和正方形……直观的图片与数学文化知识，充分地调动了学生学习数学的兴趣，也让他们切实地感受到：数学源于生活、用于生活.

列举常见的数学工具：直尺、圆规、量角器、三角尺. 通过画19°，30°，15°角需要使用的数学工具，引出用一副三角尺进行特殊摆放，可以得到新的角度，自然揭题“三角尺拼角”.

设计意图  从敦煌壁画《伏羲女娲图》开始，通过图片展示，引出数学工具，用问题驱动教学，引领学生的兴趣探究，渗透用数学的眼光看待世界的思想.

【三角尺拼角】

活动一：拼一拼，摆一摆.

（1）一副三角尺任意摆放，还可以得到哪些新的角度？

15°，75°，105°，120°，135°，150°，180°（学生上台摆放）.

（2）学生通过“图形拼叠”与“数字加减”间的关系，初步感悟数形结合思想.

（3）将能拼出的角度从小到大排列，发现规律.

（4）发现所拼的角都是15°角的整数倍，引导学生发现少了一个165°的角.

设计意图  让学生在拼图这类做数学的过程中，温习角的相关概念，认识并理解角与角的“和差”关系，初步感受数形结合思想. 学生利用三角尺得到新的角度，发现这些角度都是15°的整数倍，这里既有“形”的构建，又有“数”的探究. 数学实验的关键在于联结“经验”和“思维”，实现建立在经验直观之上的抽象[2]，这些都是培养高层次思维能力的基本要素.

活动二：画一画，叠一叠.

（1）用一副三角尺画出165°的角.（如图1所示）

（2）用一副三角尺摆出165°的角.（如图2所示）

（3）小结：通过加减运算可以得到的数，拼叠操作也一定可以得到这样的角.

设计意图  通过做数学，学生经历了观察、分析、验证等探究活动，变整体化学习为个性化学习. 在“拼一拼”“叠一叠”的实践操作中，学生初步体会到了拼角能拼出来的角，就是角度通过加减运算所能得到的角. 通过做数学，学生了解了“数”与“形”之间的转换.

2. 探究、论证、归纳，提升高阶思维的深度

高阶思维和任何一种技能一样，需要不断地锻炼. 观察事物：接受事物的一切信息;分析论证：深入思考，多角度实践;归纳总结：得出猜想、实践、论证后的成果. 学生在不断的“输入”“思考”“实践”“输出”循环往复中，能提升高阶思维的深度.

【模板画角】

活动三：画一画，论一论.

（1）任意设计2个模板画出1°的角.

（2）指定2个17°、19°的模板画出1°的角.

设计意图  拼角的关键是如何运用所给两个数字进行运算. 活动3能实现数形结合思想的逐步渗透，体现了“做中想”“想中做”“边做边想”“边想边做”的深度学习理念. 这一环节主要是发展学生的建构能力，需要学生将17°，19°角的模板通过拼或叠，最终建构出1°的角，而建构能力也是高阶思维能力的一个重要组成部分，由此能提高学生的高阶思维能力.

（3）分组讨论：任意给定的两个模板，求可以画出的最小角.

第一组：3°和 7°;

第二组：5°和 20°;

第三组：14°和 21°;

第四组：16°和 24°.

设计意图  在前面数与形的经验的积累下，学生能快速地找出各组所能拼成的最小角. 然后通过四组数据，归纳出结论：

对整数角m，n进行有限次拼叠操作，一定可以得到m，n的最大公因数d的整数倍的角.

这个结论也对接下来的活动产生了推动作用. 在从特殊到一般的思考过程中，教师引领学生发现规律，并用文字表述出来，从而揭示问题的本质，发展学生解决问题的能力. “学习的最高境界在于运用”，解决问题则是高阶思维的高位形式.

（4）利用1个19°的模板画出1°的角.

生：19×19°=361°，361°-360°=1°.

师：（小结）为什么1个19°的模板也能画出1°的角？

生：19°是显性角度，360°是隐性角度，这个问题可以等价于求19和360的最大公因数.

生：只要有一个角，就可以利用它的一条边画出直线，得到180°的平角，所以这个问题也等价于求19和180的最大公因数1.

【GeoGebra演示】

GeoGebra动态演示，能让学生直观感受利用19°画1°的过程，深入理解能画所有整数角的原因. 学生通过观看19°和360°角的多次拼叠过程，让自己的猜想、推理得以论证（如图3和图4所示）.

师：如果想利用一个角度模板m画出任意角度，m需要满足什么条件？

生：m和360的最大公因数是1.

师：把刚才走的每一步由直线变成曲线在圆内跳动，就可以得到我们熟悉的图形——繁花曲线（如图5和图6所示）.

设计意图  GeoGebra多角度动态的拼叠展示，能让学生直观地感受到“19°角是如何拼出1°角的”“为什么可以拼出任意的整数角”“怎样的角在经过反复地拼叠操作后，可以拼出1°的角”“普通的角度折叠如何演变成广泛运用于人民币中的繁花曲线图象”……这里的思维跳跃很大，也是从形到数的归纳理解的提升，从中学生感受到了数学来源于生活，又服务于生活.

【内化升华】

实践论证，数与形是可以相互转化的. 教师尝试提升结论，从“形”的角度到“数”的角度的概括：

[

对整数角m，n进行有限次拼叠操作，一定可以得到m，n最大公因数d的整数倍的角.

⇩

对整数m，n进行有限次加减运算，一定可以得到m，n最大公因数d的整数倍的数. ]

这个从“形”到“数”的性质的升华，正是高等数学中数论里很重要的裴蜀定理，是十八世纪法国数学家艾蒂安·裴蜀所创. 这样的教学，能让学生感受到高等数学也不是那么遥远，只要用心探究，大胆猜想，小心验证，就一定有所收获. 而这一定理，待学生学习了二元一次方程，还可以表述成：“关于x，y的二元一次方程mx+ny=kd（k为整数），一定有整数解. ”把m，n看成角度模板，其最大公因数为d，x和y则表示有限次的加减运算序数.

最后以经典的“韩信走马分油问题”结尾，既论证了结论，又让学生感受到数学知识从实践中来，到实践中去，加深了学生对这个定理的理解，还让学生对做数学的兴趣更加浓厚了.

思考

本次做数学通过问题驱动法引领学生经历拼角、叠角、画角、探究、论证、归纳的过程，问题由简单到复杂，内容从具体到抽象，教学思路清晰明了，教学设计环环紧扣，知识螺旋递进，思维拾级而上，而这一切，做数学功不可没.

1. 做数学，让课堂教学突出重点、突破难点

新课改要求学生从被动接受式学习向主动探索型学习转变，倡导乐于参与、勤于探究、勇于实践. 在课堂教学中，重点如何突出，难点如何突破？假如教师适当借助一定的数学实验活动，定能既加强学生的基础性学力，又能提高学生的发展性学力和创造性学力，从而培养学生终身学习的能力.

要拼出15°，75°，105°，120°，135°，150°，180°的角，借助三角尺，学生能轻易地完成，但他们却被如何拼出165°的角给难住了. 在教师的适时引导下，学生动手操作，探究发现，在“形”的拼、叠下，在“数”的加、减中，难点迎刃而解.

做数学，活动目的明确了，主题切入点找准了，理解数学，理解教学，理解学生，教学设计化繁为简，不停留在表面，并进行融会贯通，定能让课堂活泼灵动，充满智慧.

2. 做数学，让学生学会发现、善于归纳

做数学，追求的是理解、发现和创造，其并不聚焦于教师的教学行为，而是聚焦于学生的学习品质. 学生在实验情境中的“做中学”，对问题发现、解决、引申、变换等过程的实验模拟和探索，促进了高阶思维的深刻性和归纳性.

在小组探究这一环节，学生通过仔细观察、合作探究、大胆猜测、小心求证，归纳出“对任何整数角m，n和它们的最大公因数d，一定可以通过角m，n进行有限次的拼叠操作，得到任意d的整数倍的角”这一结论. 绚烂的繁花曲线，直观而精彩的GeoGebra演示，让学生们的课堂不只是教室，而是进入到一个更广阔的世界——在学习初等数学的同时，却渗透了高等数学的内容. 从“角”的发现到“数”的定理，这是质的飞跃.

俗话说“眼过千遍，不如手过一遍”，数学课堂不应让学生生搬硬套公式、定理，而要注重知识的生成过程，教师应想方设法为学生提供素材，让学生通过实际操作去探索、去发现、去猜想、去验证、去证明、去解决问题，教师要鼓励学生通过合作探究获取知识，理解知识的本质，从而进行深度学习，培养高阶思维.

3. 做数学，让数学内涵始于生活、用于生活

知识是发现的对象、实验的基础、方法的载体. 学生在学习数学的过程中，往往需要利用已有的知识和方法，通过观察、实验、分析、归纳，发现数学特征，揭示数学本质. 但义务教育阶段的学生却是通过“课堂听、反复记、重复练”来学习数学，缺乏对数学知识本源的理解，缺少对数学思想方法的感悟，对数学学习也普遍缺乏热情.

数学是研究数量关系和空间形式的科学，而数量关系大多来源于生活，所以教师在教学时不应只关注成绩单上的分数，更重要的是要教会学生用数学的眼光看待生活，用数学的思维思考问题，用数学的语言表达情感.

数学文化，古今中外，源远流长. 从古代的矩到现代的尺，从华夏的“韩信走马分油”到国外的“裴蜀定理”……通过做数学，学生由“听”数学变为做数学，由“被动接受”变为“主动探究”;通过做数学，学生获得如何探究、如何发现的方法感悟，实现了接受式、思辨式学习向探究式、体验式学习的转变;通过做数学，学生经历了动手操作、用眼观察、提出猜想、验证结论等环节，充分体验到了“知识是什么”“知识从何而来”“知识向何而去”的完整数学学习过程，获得了如何探究、如何发现的方法论感悟，实现了被动学习方式向体验式、探究式学习方式的转变[3].

学生在做数学中体验到了发现的乐趣，感悟到了数学的真谛，发展了数学思维和智慧，提高了数学能力，培养了高阶思维，全面发展了核心素养. 这也是我们数学教育者永远的追求.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]林松. 关于数学实验的理性思考与实践[J]. 数学教学通讯，2019（32）：5-6+29.

[3]董林伟. “做数学”：中小学生适合教育的实践构建[J]. 教育研究与评论，2021（03）：16-21.

基金项目：苏州市教育科学“十四五”规划2022年度立项课题“初中数学‘做’中学体系的构建研究”（2022/LX/02/166/09），江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题“指向核心素养的初中数学混合式教学实践研究”（22A11SXSZ295），苏州工业园区基础教育前瞻性教学改革实验项目“基于STEAM理念的初中数学综合与实践教学设计研究”.

作者简介：王凌逸（1997—），二级教师，李明树名师工作坊成员，主要从事数学教学与研究工作.