在探索中感悟规律　在交流中升华认知

[摘  要] 在探究一次函数图象和性质的过程中，教师以生为本，引导学生通过观察、操作、实验等实践活动自发地揭示蕴含其中的规律，总结并归纳一般结论，让学生体验自主探究的乐趣，从而有效地锻炼学生的思维. 另外，在教学中，数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，能让学生体验到数学的简洁美、严谨美，能有效地提升学生的学习品质.

[关键词] 规律;自主探究;学习品质

函数是初中数学的重要内容之一，是揭示事物变化规律的有效手段，其理论和应用涉及数学的各个分支，在初中数学教学中的地位和价值是不言而喻的. 函数既重要，又难学，是被公认的难以理解和掌握的内容之一. 所以，想让学生将函数及其相关内容学懂学透，单纯地靠教师被动讲授课本内容或直接陈述结论是不够的，教师还应带领学生去观察、去操作、去实验、去交流、去反思，让学生经历知识形成、发展与应用的过程，引导学生通过自主探究发现数学规律，总结数学结论，以此促进学生更深层次地理解数学，培养学生的自主学习能力，增强学生的创新意识.

下面笔者以“一次函数的图象”一课为例，在教学中带领学生通过多元探究感悟数学发现之美，培养学生的数学能力.

设计思路

本课从学生已有知识和经验出发，如函数概念、一次函数的表达式等，带领学生通过观察、实验、交流、反思等实践活动理解一次函数的性质. 同时，在实践活动中让学生感悟分类讨论、数形结合等思想方法，激发学生的数学探究积极性，提升学生的数学学习能力.

在本课教学中，教师主要通过以下四个环节展开教学：一是通过探索发现当k>0和k<0时，函数值y与自变量x之间存在怎样的变化规律;二是通过探索发现当k的值相等时，b的值对函数图象的影响;三是解决问题;四是总结评价.

课堂实录

1. 回顾旧知，引出主题

师：一次函数的表达式是什么？

生（齐）：y=kx+b（k≠0）.（教师板书）

师：很好. 它反映的是函数值y与自变量x之间的变化规律. 今天，我们就在此基础上深入地探究这种变化规律.

设计意图 通过简单的旧知回顾，教师直接引出今天的探究主题. 同时，教师引导学生关注函数值和自变量的变化规律，为接下来的性质探究埋下伏笔.

2. 探究1——发现k值的秘密

（1）从“数”的角度出发

师：通过刚刚的回顾我们知道，一次函数表达式中有一个限定条件，即k≠0. 对这一限定条件的理解，在之前的教学中我们已经重点分析过，这里就不再重复. 那么当k≠0时，k的值可以是什么呢？

生1：k>0或k<0.

师：很好，这样我们在探究一次项系数时就需要分类讨论了. 现在我们不妨先研究k>0时一次函数有何性质.

师：现给定一次函数y=2x+4，请在表1中填写对应的函数值. （教师用PPT给出表1）

（教师预留时间让学生按照表格给出的顺序填一填，2分钟后，学生已经全部填写完毕）

师：观察以上函数值，随着自变量x的值的增大，y的值是如何变化的？

生2：y的值也逐渐增大.

师：很好. 也就是说，对于一次函数y=2x+4，函数值y随自变量x的增大而增大. 那么是不是可以说所有k>0的一次函数都有这一性质呢？

生3：利用一个函数就推导出这个性质有些草率了，应该再列举一些一次函数进行验证.

师：很好，现在请每人自选一个k>0的一次函数，然后组内交流，看看你们有什么发现.

设计意图  教师从学生最熟悉的“数”出发，通过直观观察得到函数值y随自变量x变化的规律. 在以上教学中，教师先从特殊出发，通过对一次函数y=2x+4的探究，猜想一次函数的性质，然后进行一般性验证，其体现了从特殊到一般的处理方法. 同时，在验证猜想的过程中，学生虽然收获了成功的喜悦，但是也体会到了列表的烦琐和局限，这就为接下来从“形”的角度探究做了铺垫.

（2）从“形”的角度出发

师：通过列表、观察、猜想、验证，大家一致认为，对于一次函数y=kx+b，当k>0时，函数值y随自变量x的增大而增大. 观察表1不难发现，其数据有限，即使增加表格数量也难以呈现所有数值，那是否可以换一种形式来呈现函数呢？

生（齐）：可以用图象来呈现.

师：很好，接下来我们就从“形”的角度出发，借助一次函数的图象来研究一次函数的性质.

师：请大家先画出y=2x+4的图象.（教师让学生独立操作）

师：现在我们一起来用几何画板画一画，看看老师画的图象和你们画的是否一致.

生（齐）：一致.

师：请大家结合图象说一说应该如何表述刚才的性质.

生4：从左往右看，x的值在逐渐增大，y的值也在逐渐增大，图象上升.

接下来教师动画演示图象上一点A自左向右运动，相应的函数值逐渐增大，点A逐渐上升.

师：请大家自己列举一些一次函数，并画一画它们的图象，看看是否也有发现刚刚的性质.

学生继续绘制图象，很快便有了答案. 教师投影展示学生绘制的图象并互动交流.

师：大家观察一下，这些函数有何共同特征？

生5：当k>0时，函数图象自左向右看都是上升的.

师：由此可以得到什么结论？

生5：当k>0时，函数值y随自变量x的值的增大而增大.

师：很好，看来大家已经可以进行准确的表述了. 利用“数”进行分析时，我们不难发现数据不能全部列举出，所以具有一定的局限性，而借助“形”来进行探究时，没有“数”的辅助也难以看出函数值随自变量的值改变的细微变化，但通过“数”与“形”的结合，则既严谨又明了.

设计意图  从表格到图象，教师引导学生进行数形转换，体验利用图象解决问题的直观、简洁，体现了数学的简洁美.

（3）“数”与“形”齐上阵

师：前面我们从“数”和“形”两个角度对一次函数的性质进行猜想、验证，得到当k>0时一次函数的性质，接下来我们该研究什么呢？

生（齐）：研究当k<0时一次函数的性质.

师：很好，请大家先猜想一下性质会是怎样的.

生6：当k<0时，对于一次函数y=kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小.

师：很好，通过刚刚的活动我们得到了新的猜想，但是猜想不能作为最终的数学结论，那接下来我们需要做什么呢？

生（齐）：验证.

师：具体如何做呢？

生7：可以和探究k>0时一样，任选一个k<0的一次函数，先从“数”的角度出发列出表格，然后从“形”的角度出发画出图象，最后多角度分析，得到最终结论.

生8：一次函数的图象为一条直线，这样只要确定两个点的坐标就可以了.

师：生8说得非常好. 现在请大家各列举一个函数，动手画一画，并结合图象说一说自己的发现.

（教师让学生各自画图，然后互动交流）

师：请同学们根据自选的一次函数说一说自己的发现.

生9：对于函数y=-2x+2，从图象上看，自变量x逐渐增加时，函数值y逐渐减小.

师：我们用几何画板画出一次函数y=-2x+2的图象，看看是不是有同样的发现.（教师用几何画板进行演示）

接下来教师又点名让几个学生根据自选图形表述自己的发现，从而引导学生总结、归纳出当k<0时，一次函数的性质.

设计意图  该环节以学生的自主探究为主，教师让学生根据前面的探究经验，总结、归纳当k<0时一次函数的性质，至此既可以完善学生的认知，又能锻炼学生的语言表达能力，还能提高学生的自主学习能力.

（4）巩固运用，深化理解

练习（略）.

设计意图  在此环节，教师借助具体应用帮助学生加深对一次函数性质的理解，并根据学生反馈进行一些针对性的指导，以此让学生掌握一次函数的性质.

3. 探究2——发现b值的秘密

师：若在同一平面直角坐标系中绘制出两个不同的一次函数图象，两图象会有怎样的位置关系？

生（齐）：相交或平行.

师：很好，从“形”的角度来看，可以得到以上两种位置关系，那从“数”的角度出发，两个一次函数表达式是否也存在某种特殊的关系呢？（教师鼓励学生思考、猜测、交流）

师：带着刚刚的问题，请同学们在同一平面直角坐标系中画出以下3个函数的图象（教师用PPT给出函数）

①y=2x;②y=2x+4;③y=2x-4.

（学生独自画图，教师投影三个函数的图象，并用几何画板画出它们的图象）

师：观察以上图象，它们具有怎样的位置关系？

生（齐）：三条直线互相平行.

师：观察函数①的图象，你有什么发现？

生10：该函数的图象经过原点.

师：很好，这个函数是我们之前学过的正比例函数，那么是不是所有的正比例函数都经过原点呢？

生11：是的，因为对于正比例函数y=kx（k≠0），当x=0时，y=0，所以所有正比例函数的图象都经过原点.

师：很好，观察函数②和函数③的表达式，它们有什么特殊的地方吗？

生12：这两个函数的一次项系数k相同.

师：很好，现在我们来验证一下以上三条直线是否平行.（教师引导学生通过平移进行验证）

师：刚刚我们通过平移直线y=2x，发现其与y=2x+4和y=2x-4重合，从而验证了三条直线是平行的. 对于平移变换，大家并不陌生，那谁来说一说平移变换的两个要素是什么？

生（齐）：方向和距离.

师：很好，请大家思考一下如何平移y=2x的图象得到y=2x+4和y=2x-4的图象呢？（生沉思）

生13：y=2x的图象沿y轴向上平移4个单位长度后可以得到y=2x+4的图象;y=2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后可以得到y=2x-4的图象.

师：很好. 那如何平移y=2x的图象可以得到y=2x+7和y=2x-6的图象呢？

生14：把y=2x的图象沿y轴向上平移7个单位长度后可得y=2x+7的图象;沿y轴向下平移6个单位长度后可得y=2x-6的图象.

师：很好. 那么对于一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，可以由y=kx（k≠0）的图象通过怎样的平移得到呢？（生沉思）

生15：这个需要分类讨论. 若b>0，则把y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上平移b个长度单位;若b<0，则把y=kx（k≠0）的图象沿y轴向下平移b个长度单位.（教师进一步利用规范语言进行表述并板书）

设计意图  由两直线的位置关系诱发学生思考表达式中的特殊关系，引导学生通过由特殊到一般的转化得到一次函数的又一性质，让学生体验探究数学的乐趣.

4. 解决问题，深化理解

师：刚刚我们借助一次函数的图象探索了一次函数的性质，现在我们来看看能不能灵活运用一次函数的性质解决问题.（教师用PPT给出如下例题）

例题：已知一次函数y=2x+4.

（1）当x=3.5时，y=______.

（2）当y=-2时，x=______.

（3）当x为何值时，y>0，y=0，y<0？