基于高考真题的高三微专题教学设计

［摘  要］ 近年高考解析几何解答题多以椭圆、抛物线为背景命题，大量的高考真题使得教师在复习备考中有充分的资源进行变式教学. 以抛物线为例，阿基米德三角形的性质是解析几何中的热门话题，其以几何性质为背景，综合运用解析几何与函数导数知识，充分体现高考“四翼”考查要求，对阿基米德三角形的性质作进一步的研究对于提高学生对抛物线几何性质的认识以及培养他们数学美学意识是必要的、有益的.

［关键词］ 阿基米德三角形；题组教学；变式教学

在高三的圆锥曲线专题教学中，很多教师以“教辅资料”为主，整个教学过程中缺少对题目素材的深入理解和重构，缺少从这类例题的讲解上提出新的问题与思考，缺少从学生的角度、以高考试题为导向的探究式教学［1］. 近年高考解析几何解答题多以椭圆、抛物线为背景命题，大量的高考真题使得教师在复习备考中有充分的资源进行选择和重组，减少对“教辅资料”的依赖，基于高考真题，组织有主题性、启发性、思想性的题目［2］，开展题组教学或变式教学.

以抛物线为例，阿基米德三角形具有深厚的背景和丰富的内涵，高考命题者对此图形青睐有加．阿基米德三角形的性质既是命题者的热点素材（在高考试题中屡见不鲜），也是解析几何中的热门话题［3］. 由抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫阿基米德三角形，这条弦称为阿基米德三角形的底边. 抛物线和它的一条弦所围成的图形的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的三分之二，正是这一性质的发现使得阿基米德三角形闻名于世. 基于阿基米德三角形性质的丰富性，以此为情境可以提出求解抛物线方程、切线方程、轨迹方程、弦长、面积等问题. 帮助学生构建熟悉的数学情境，积累必备的数学活动经验，对阿基米德三角形的性质作进一步的研究对于提高学生对抛物线几何性质的认识以及培养他们数学美学意识是必要的、有益的［4］.

创设情境，建立模式

在高三复习课上，以典型问题为例解题，是对概念、定义、定理的继续学习，是对模式、技能、方法的继续熟练［5］. 高考试题具有较深的背景知识，但由于不了解试题背景，学生在解题过程中可能会面对解题思路不简洁、解题方法不优化等解题障碍，加强试题背景知识的学习不仅可以拓宽学生的解题思路、优化解法方法，还能加深学生对知识发生发展过程的理解，增强学习热情与信心． 阿基米德三角形作为典型问题的背景知识，应该由典型问题为情境，通过解题，引导学生建立范例，总结规律，识别模式.

问题1 （2021年高考全国乙卷理数第21题）已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4．

（1）求p；

（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

本题考查抛物线的标准方程、平面上一点与圆上一点的距离的最值、抛物线的切线、三角形的面积及最值，要求学生以几何性质为背景，综合运用解析几何与函数导数知识，体现了高考命题的基础性、综合性、应用性与创新性等“四翼”考查要求.

稍作变式，局部挑战

变式教学的基础是“熟悉”，学生在学习中遇到熟悉的东西，可以巩固所学知识，再次确认以前所学知识、方法的正确性和有效性. 这不仅是心理上的安慰，还是大脑认知的问题. 熟悉很重要，一般变式教学应设置新旧信息的比例，太简单就回到舒适区，不利于激发学生的学习动机；太难就到了恐慌区，使学生失去学习与迭代的基础. 理想状况是在主体知识、方法不变的情形下对问题稍作变式，保持问题的新鲜，形成局部的挑战.

问题1中的点P在圆上，转化为一元函数求三角形面积的最值；问题2中的点P在直线上，求目标函数的最值. 变式虽然从情境上做了改变，但所用的思想方法是相同的.

这样的推广和一般化体现了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中对核心素养水平划分的要求：能够将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题［6］.

模式识别，扩展认知

在建立了阿基米德三角形的题根之后，学生就容易将这个“概念”作为一个体系进行掌握，头脑中有了认知模式与认知结构. 模式识别有利于学生“提取原型”和“积累范例”. 所谓“原型”，就是阿基米德三角形的相关知识、研究方法；所谓“范例”，就是能够不断地将新旧知识进行连接，从而扩展认知边界.

问题4将阿基米德三角形的性质3转换为逆命题作为第（1）问，并且在第（2）中构造四边形求面积. 有了对阿基米德三角形性质的总结，学生很容易识别题型模式，并在此基础上，发挥创造力，应对挑战. 所谓创造，就是“想法的连接”，如原命题和逆命题的转换，再如将四边形分割为两个三角形求面积，这就是创造. 学生拥有了模式识别的自觉，才能对熟悉和意外有更高的敏感度.

调整参数，过程变式

模式识别，完成“标准动作”当然是基础，但还远远不够.对于学习能力的激发，有挑战的任务也是非常有效的刺激物. 学习效果主要取决于学生对知识和技能的提取练习，而变式训练的策略就是在熟悉的基础上制造意外，不断调整题目中的条件和目标，让知识网络中的各个参数随着训练不断变化，设计有难度的“非标准动作”，让学生做判断和反馈. 熟悉加上意外，将新学的知识和以前所学的知识建立连接，才能使知识和技能不断增长.

问题5 （2005年高考江西卷理数第22题）设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x－y－2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程；

（2）证明∠PFA=∠PFB.

由阿基米德三角形的性质3可知，AB过抛物线内定点，过A，B的切线交于点P，则点P的轨迹为定直线. 问题5的第（1）问也是轨迹问题，求轨迹是解析几何的主要问题之一，常用方法有参数法、相关点法等，虽然情境新，但方法与问题1类似.第（2）问结合平面向量，以向量的夹角公式证明∠PFA=∠PFB，锻炼学生综合应用知识的能力.

问题6 （2022年宝鸡二模第20题）已知曲线C上任一点到点F（3，0）的距离比它到直线x=－5的距离小2，经过点F（3，0）的直线l与曲线C交于A，B两点.

（1）求曲线C的方程.

（2）若曲线在点A，B处的切线交于点P，求△PAB面积的最小值.

解析 （1）由条件知曲线C上任一点到点F（3，0）的距离与它到直线x=－3的距离相等，所以曲线C：y2=12x.

所以，对于C：y2=12x，△PAB面积的最小值为36.

学生学习数学，每一个新知识都是建立在旧知识基础上的，心理学家把学生可能面对的学习内容分成三个区：舒适区、学习区和恐慌区.舒适区的内容对学生来说太容易，学生能够模仿学过的数学方法解决简单问题；恐慌区的内容太难，要求学生能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题.课堂教学最好在两者间的学习区里进行. 变式教学的意义在于着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发展其潜能，在教师的引导和帮助下脱离舒适区，进入学习区刻意练习. 最佳的学习策略是“这个内容必须是一只脚站在熟悉，一只脚站在新鲜、未知和新颖的东西上”，这就是“熟悉+意外”“模式+变式”的教学策略. 题组教学通过举一反三，丰富学生的学习体验，进一步深化学生对相关知识点理解，熟练解析法的运用技能. 以此策略进行题组教学，引导学生不断学习新方法、熟练新技能、拓宽学习区，促进学生获得“四基”，提高“四能”.

参考文献：

［1］ 周威. 解题教学中数学抽象素养的“问题提出”视角——以圆锥曲线专题的解题教学为例［J］. 中国数学教育，2020（Z4）：34-37.

［2］ 喻平. 复习课应该怎么上——对贲友林老师《平面图形的面积总复习》一课的赏析［J］. 教育视界，2020（17）：36-38.

［3］ 王雪尧. 一道高考平面解析几何试题的思考与探究［J］.  数学之友，2022，36（17）：87-88+91.

［4］ 邵明志，陈克勤． 高考试题中的阿基米德三角形［J］. 数学通报，2008，47（09）：39-42+46．

［5］ 刘美良. 基于教材的高三微专题教学设计与反思——以“椭圆的对称性”为例［J］. 中国数学教育，2022（22）：49-54.

［6］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.