落实“四翼”考查要求助力创新人才选拔

[摘  要] 2024年高考数学新课标卷依托高考评价体系，创新试卷结构设计，深化基础性考查，突出思维能力考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，继续在反套路、反机械刷题上下功夫，创新人才选拔，引导教师转变教学重点，从解题技巧总结转向学科核心素养培养.

[关键词] 2024年高考;新课标卷;命题风格;试题评析

高考评价体系中的“四翼”考查要求立足素质教育应达成的内容表现与形式表现，是高考对素质教育进行评价的基本维度[1]. 2024年高考数学新课标Ⅰ卷和Ⅱ卷继续在反套路、反机械刷题上下功夫，强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求. 命题可归纳为三个“坚持”：坚持素养导向，紧扣时代发展，设置真实的问题情境，引导学生将知识学习与实践应用相结合，在解决实际问题的过程中发展核心素养;坚持考教衔接，依据新课标设计命题内容，注重考查学生对基础知识、基本技能、基本思想方法的理解和掌握，打牢发展的根基;坚持面向未来，聚焦高校人才选拔要求，加强思维品质考查，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，服务拔尖创新人才自主培养.

试卷整体风格的变化

（1）从卷面风格来看，新课标卷试题从往年的22道减至今年的19道，其中多选题、填空题和解答题各减少1题. 在考试时间不变的情况下，减少试题数量是强化思维考查的必要措施. 数学高考一直强调“多想一点，少算一点”的理念，减少试题数量能够增加学生思考时间，考查学生的思考方式和过程，让思维能力较强的学生展现素养，发挥潜力，脱颖而出.

（2）从考点布局来看，由于试题数量减少了，因此考查的知识内容的覆盖面受到了一定影响. 新课标卷打破了以往的命题模式，灵活、科学地确定试题内容和顺序，不受限于对某些具体知识内容的考查. 灵活改变试题顺序有助于打破机械应试套路，以及教学中僵化、刻板的训练模式，防止猜题押题，消除应试教育的弊端. 如新课标Ⅱ卷，函数题曾作为压轴题，现调整为解答题的第2题;概率与统计题加大了能力考查力度，安排在解答题的倒数第2题.又如新课标Ⅰ卷，将解析几何题安排在解答题的第2题，数列知识则结合新情境安排在压轴题的位置.

（3）从命题意图来看，《深化新时代教育评价改革总体方案》对中高考命题提出了明确要求：改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和机械刷题现象. 也就是说，高考命题必须更灵活，去模式化. 新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况，提高了最后两道压轴题的分值，创新能力考查策略，提升了压轴题的思维量，突出理性思维和科学探究，把考查重点放在学生的思维品质和综合应用能力上，不断完善人才选拔标准和方式方法，服务高校招生和人才培养改革.

试题呈现特点的变化

1. 强化基础性要求，注重学习过程

基础性包括学科内容的基本性和通用性，深化基础性就是加强对基本概念、基本原理、基本思想方法的考查，引导学生重视基础，将所学的知识、思想方法内化为能力和素养[2]. 新课标卷命题遵循教育规律，注重考查学生对基础知识、基本技能、基本思想方法的理解，强调在理解的基础上融会贯通、灵活应用，避免死记硬背，引导中学教学回归课标和课堂，重视概念教学，夯实学生学习基础，把教学重点从解题技巧总结转向学科核心素养培养.

例1 （新课标Ⅰ卷第12题）设双曲线C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，过F作平行于y轴的直线交C于A，B两点. 若FA=13，AB=10，则C的离心率为________.

评析 由双曲线的定义可知，2a=AF-AF=13-5=8. 又由勾股定理可知，2c=FF==12. 所以离心率e==. 应用双曲线的定义和性质求解，可以避免较为复杂的坐标计算，从而有效地减少计算量，节省考试时间.

例2 （新课标Ⅱ卷第8题）设函数f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，则a2+b2的最小值为（    ）

A. B. C. D. 1

评析 此题的函数模型简单、基本，要求学生推断两个参数平方和的最小值. 由f（x）≥0可知，ln（x+b）与（x+a）始终同号. 当ln（x+b）=0时，考虑x+a=0，所以1-b=-a，即b=1+a. 所以a2+b2=a2+（a+1）2=2a++≥，当且仅当a= -，b=时取等号. 通过分析函数的单调性和函数的零点直接得到答案，不需要求导，不需要分类讨论. 用创新设计考查学生真实的数学能力，而非刷题和训练的技巧.

例3 （新课标Ⅰ卷第16题）已知A（0，3）和P3，为椭圆C：+=1（a>b>0）上两点.

（1）求C的离心率;

（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.

评析 易求得椭圆C：+=1. 因为S=×3×3=，所以S△ABP=2S△AOP. 由椭圆的对称性可设D（0，-3），连接PD，延长PO交椭圆C于点E，连接AE，则E-3，-，从而S△ADP=2S△AOP=9，S△AEP=2S△AOP=9，即当点B在点D和E时，△ABP的面积为9.

因为AP=，所以椭圆C上点B到直线AP的距离为. 所以满足题意的点B最多只有两个（点D和点E）. 因为k=，所以直线PD的方程为y=x-3，即3x-2y-6=0. 因为k=，直线PE的方程为y=x，即x-2y=0. 所以直线l的方程为3x-2y-6=0和x-2y=0.

此解法利用图形面积关系，源于对图形特征的“敏感”，平和中有新意，灵活中见潜力. 其他解法诸如设点B的坐标，以AP为底，点B到AP的距离为高表示△ABP的面积后解方程，计算量相对较大.

2. 彰显综合性要求，回归数学本质

在知识交汇点设问，考查知识间的内在联系，体现知识的综合性. 这种命题方式鼓励学生跨领域思考，建立知识点间的联系，建构完整的知识体系和网络结构，形成新的认识和解题思路，达到融会贯通和深度理解知识的目标.

例4 （新课标Ⅰ卷第5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ）

A. 2π B. 3π

C. 6π D. 9π

评析 由侧面积相等得2πr·=πr·，解得r=3，故圆锥的体积为V=πr2·=3π. 此题考查学生对高与母线概念的辨析，对圆柱与圆锥的侧面积公式的区分，以及对圆锥的体积公式的应用.

例5 （新课标Ⅱ卷第6题）设函数f（x）=a（x+1）2-1，g（x）=cosx+2ax（a为常数），当x∈（-1，1）时，曲线y=f（x）和y=g（x）恰有一个交点，则a=（    ）

A. -1 B. C. 1 D. 2

评析 设h（x）=f（x）-g（x），曲线y=f（x）和y=g（x）恰有一个交点等价于函数y=h（x）有唯一零点. 又h（x）=ax2+a-1-cosx为偶函数，所以h（0）=0，解得a=2. 此题综合考查幂函数和余弦函数的性质、函数零点的概念，以及数形结合思想，没有考查烦琐的函数求导计算，要求学生在深入理解知识的同时，实现知识的融会贯通，而非局限于解题技巧.

例6 （新课标Ⅱ卷第19题）已知双曲线C：x2-y2=m（m>0），点P（5，4）在C上，k为常数，0<k<1. 按照如下方式依次构造点P（n=2，3，…）：过点P作斜率为k的直线与C的左支交于点Q，令P为Q关于y轴的对称点，记P的坐标为（x，y）.

（1）若k=，求x，y;

（2）证明：数列{x-y}是公比为的等比数列;

（3）设S为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对于任意正整数n，S=S.

评析 此题融合解析几何和数列，分层设问，环环相扣. 三个小问利用基本方法可以大幅简化计算过程：第（2）问利用固定斜率直线与双曲线交点性质，可迅速得到结论;第（3）问可以将证明面积相等转化为证明两条直线平行.

（1）因为点P（5，4）在C上，所以m=x2-y2=52-42=9. 所以双曲线C：x2-y2=9. 又Q（-x，y），当k=时，有x-y=9，y-4=（-x-5），解得x=3y=0 或x=-5y=4（舍去）. 所以x=3，y=0.

（2）由题意得P（x，y），Q（-x，y），直线PnQn的斜率为k. 设Z=x-y，由x-y=9，x-y=9相减得=1. 又k=，所以y-y=-k（x+x），x-x=-k（y+y）.两式相减得Z-Z=k（Z+Z），所以=. 故数列x-y是公比为的等比数列.

（3）要证S=S，即证S=S，只需证PP∥PP.设=q，由（2）可知x-y=qn-1，x+y=9·，所以x=qn-1+9·，y=·-qn-1.PP的斜率k===1-=1-=1-.

PnPn+3的斜率k′===1-=1-=1-.

所以k=k′，故PP∥PP.

3. 注重应用性要求，实现学科育人

试题突出素养导向，紧扣时代发展，设置真实的问题情境，引导学生将知识学习与实践应用相结合，在解决实际问题的过程中发展核心素养. 数学从“解题”到“解决问题”的转变已经成为当前数学教育的一个重要趋势.这种转变不仅有助于学生更好地理解和掌握数学知识，还能培养他们实践能力和创新精神.

例7 （新课标Ⅱ卷第14题）在下图（图3）的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法;在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________.

评析 每行和每列均恰有一个方格被选中，共有4×3×2×1=24种选法. 要使4个数之和最大，先看十位上的数，其和一定是10+20+30+40=100，再选个位上最大的数，其和为5+3+3+1=12，所以4个数之和的最大值是112.此题考查排列组合，是推理型分割问题，思维量大，体现多思少算，区分度佳.

例8 （新课标Ⅰ卷第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8. 两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________.

评析 表格或树状图是分析排列组合问题常用的工具. 问题等价于从图4①中的16个方格中任取4个，4个方格既不同行也不同列，求“1”的个数大于等于2的概率. 为了表述方便，现重新编号（如图4②所示）.

①3个“1”的情况：C-B-A，1种.

②2个“1”的情况：C-B-A，1种;C-A-B/B，2种;C-A-B，1种;A-B-C/C，2种;A-B-C/C，2种;A-B-C/C，2种;A-B-C，1种.

合计共12种情况，所以甲的总得分不小于2的概率为P==.

本题考查学生的理性思维和探究能力，套路和模板失效，死记硬背不再适应高考新要求.

4. 突出创新性要求，助力人才选拔

试题强调创新，设计新颖情境和设问方式，加强基本能力考查，提升解答题思维量，强调理性思维和数学探究，考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力，要求学生融合知识、经验、方法，并迁移转化运用，为全面发展奠定基础.