基于“三个理解”的教学探索与思考

[摘  要] 什么是有效教学？此为一个仁者见仁、智者见智的问题. 章建跃提出：“理解数学、理解学生、理解教学是践行有效教学的基石. ”该理念经过多年的实践，取得了不错的成效. 文章以“直线与圆的位置关系”教学为例，从复习导入、位置判断、拓展探索三个方面展开研究.

[关键词] 三个理解;教学;思维

作者简介：李榕（1976—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作. 闽侯县骨干教师，闽侯县学科工作室成员，曾获福州市教师技能大赛三等奖.

章建跃认为：理解数学、理解学生、理解教学（简称“三个理解”）是践行有效教学的基石. 华罗庚认为：读书是由薄到厚，再由厚到薄的过程. 如何在“三个理解”的基础上将繁杂的知识梳理成条理清晰的知识架构，帮助学生构建完整的知识体系呢？笔者以“直线与圆的位置关系”教学为例，在充分理解数学、理解教学、理解学生的基础上展开研究.

教学分析

学生对“直线与圆的位置关系”并不陌生，因为在初中阶段已经有所接触，对利用圆心到直线的距离来判断“相切、相离、相交”的位置关系也有深刻的理解. 既然已经掌握了它们的位置关系，高中阶段为什么还要探索呢？具体探索什么内容呢？这是每个学生都会产生的疑惑.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称新课标）对这部分内容的要求为：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 从新课标要求来看，高中阶段更突出方程思想，即要求学生能灵活应用代数法解决几何类的问题. 想要实现这一目标，数形结合思想的应用必不可少，因此本节课需要从“‘数’的严谨性”和“‘形’的直观性”两个维度出发，探索直线与圆的位置关系，即通过对d，r大小关系以及方程组的分析来明确它们之间的位置关系.

教学过程设计

1. 旧知回顾

师：大家在初中阶段已经接触过直线与圆位置关系的相关内容，它们之间存在哪些位置关系？

生（众）：相切、相离与相交.

师：不错，现在请大家回顾所学内容，完善表格（用PPT展示空表）.

选择学生完成得较为规范的表格进行投影展示（见表1）.

师：看来大家对“直线与圆的位置关系”掌握得不错. 本节课我们从新的角度来探索它们之间的位置关系（板书教学主题）.

设计意图 教材采用贴近生活的实际素材作为教学导入，旨在让学生深刻体会到数学与日常生活的紧密联系. 鉴于学生已具备本节课内容的扎实认知基础，借助情境引入新知可能引发学生的理解困惑，并且存在由于学生固有思维模式导致的知识负迁移风险. 因此，本研究决定采用“旧知回顾”的方法作为教学导入.

基于上述思考，教师以建构主义理论为导向，通过回顾旧知，激发学生的记忆，使新知教学植根于学生已有的认知经验之上. 这样，新旧知识之间的衔接就显得格外自然和和谐. 同时，学生基于自身现有的认知水平开始学习，可得到“这部分内容不难，我能学好”的积极心理暗示. 因此，通过回顾旧知来导入新课程的方法，是帮助学生树立学习信心，促进深度学习发生的关键.

2. 位置判断

师：在明确直线与圆的方程的背景下，可否根据我们的认知经验对直线与圆的位置关系进行判断？

生1：能. 先获得圆心到直线的距离d，然后将d值与圆的半径长短进行比较分析：如果d值大于半径r，那么两者间的位置关系为相离;如果d值小于半径r，那么两者间的位置关系为相交;如果d值等于半径r，那么两者间的位置关系为相切.

师：该怎么获得d值呢？

生2：可以通过应用点到直线的距离公式来获得.

师：很好！现在请根据点到直线的距离公式来探索这个问题：如图1所示，已知圆C：x2-2y+y2-4=0与直线l：3x-6+y=0，圆C与直线l之间存在怎样的位置关系？

生3：根据题设条件可知x2+（y-1）2=5为圆C的标准方程，因此该圆半径r=，圆心为C（0，1）. 设d为圆心到直线的距离，结合距离公式易得d==<. 由此确定直线与圆的位置关系为相交，存在的公共点有两个.

师：很好！是否还有其他判断方法？

（学生沉默）

师：还记得在初中阶段，我们是如何分析直线与抛物线交点个数的？

生4：噢！我明白了！可以通过联立方程x2-2y+y2-4=0与3x+y-6=0，即消除方程中的y，得x2-3x+2=0，则Δ=（-3）2-4×2×1=1>0. 据此，我们可以断定直线l与圆C相交，存在两个交点.

师：分析得很清晰. 既然大家都明确了直线l与圆C存在两个交点，那么这两个交点的坐标是什么呢？

生5：方程x2-3x+2=0的根为x=1，x=2，由此可确定两个交点的坐标是（1，3）与（2，0）.

师：回答得很完整，看来大家已经掌握了处理这类问题的策略. 现在，让我们尝试概括判断直线与圆位置关系的具体步骤.

学生通过合作交流，提出如下流程：①明确圆心坐标与圆半径r;②分析圆心到直线的距离d;③根据d与r的大小关系判定位置关系.

教师对学生总结的流程给予肯定，并指导学生将该流程以思维导图的形式进行整理和展示，以便清晰易懂. 教师择取完整且视觉效果较好的导图进行展示（见图2）.

师：总结得非常完整，是否还存在其他判断方法？

生6：还可以借助代数法进行判断，具体流程为：先将直线方程直接代入圆方程，得到一个一元二次方程，然后计算这个方程的判别式值，从而确定直线与圆的位置关系. 即若Δ=0，则直线与圆相切;若Δ<0，则直线与圆相离;若Δ>0，则直线与圆相交.

师：总结得不错，若以导图的方式展示，可怎么设计？

学生采用图2的设计方法，构建出图3.

设计意图 课堂初始阶段，教师带领学生通过列表的方式系统回顾直线与圆之间的三种位置关系，为课堂教学做好铺垫. 学生通过旧知的回顾与整理，自然而然地联想到借助“点到直线的距离公式”获得圆心到直线的距离d，此为解决实际问题的核心知识.

基于“三个理解”的角度，理解学生并非单纯地去分析学生在本节课需要学什么内容，更重要的是了解学生已经掌握了什么内容，怎样帮助他们实现新旧知识的连接，等等. 实践证明，厘清学生的认知经验与教学内容之间的关系，可为课堂教学提供明确的思路，教师通过客观的分析才能从真正意义上理解教学，即课堂上需要教的内容是什么，该怎么教，教到什么程度，等等.

基于“三个理解”的视域设计此环节的教学，促使学生从几何法的角度分析与整理解题流程，过渡到用代数法探索直线与圆的位置关系. 这种方法与思想的迁移，可进一步发展学生的学力，凸显“三个理解”理念给教学带来的便利.

3. 拓展探索

师：现在请大家借助直线与圆的位置关系分析以下变式问题：

若点A（2，0）为直线l上一点，圆C：x2+y2-2y=4.

（1）过点A的直线与圆C之间存在几种位置关系？

（2）如果确定直线l与圆C相交所截取的弦长AB=，那么直线l的方程是什么？

（3）假设直线l与圆C相切，那么直线l的方程又是什么？

生7：关于问题（1），我认为过点A的直线与圆C之间存在相交与相切两种关系.

师：能否详细说明一下？

生7：由于点A（2，0）位于直线l上，因此……（过程略）

由于该生基础比较薄弱，因此当他顺利说完整个思路后，教师对他表示了充分的肯定和鼓励，赞扬他思路清晰、表达流畅，并希望他能继续保持这一优点.

生8：关于问题（2），由于x2+（y-1）2=5为圆C的标准方程，点C（0，1）为圆心，设y=k（x-2）为直线l的方程，即kx-2k-y=0，因此圆心到直线l的距离d=. 结合图形易知

=r2-d2，即

=5-. 经化简，得3k2+8k=3，解得k=或k=-3. 因此，直线l的方程是x-3y-2=0或3x+y-6=0.

师：有不同意见吗？

生9：他回答得还不够全面，漏掉了直线l的斜率不存在的情况，即若直线l的斜率不存在，其方程是x=2，则它与圆C的交点为A（2，0）与B（2，2）. 鉴于AB=2与题意不相符，因此舍去. 若直线l的斜率存在，解法与生8的一样.

师：非常棒！在解决这类问题时，一定不能遗漏斜率是否存在的讨论. 现在，让我们共同探讨问题（3），谁愿意分享解题思路呢？

生10：若直线l的斜率不存在，与题意不相符，舍去. 若直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-2），即kx-2k-y=0，则圆心到直线l的距离d=. 因为直线l与圆C相切，所以d=r，即=. 经化简，得k2+4-4k=0，解得k=2. 因此，直线l的方程为2x-y-4=0.

设计意图 提出变式问题的目的在于深化学生对直线与圆位置关系的理解. 随着问题的深入拓展，学生的思维得以进一步深化，这为解决后续相关综合性问题以及发展学生核心素养奠定了坚实的基础.

几点思考

1. 理解教学，厘清探索思路

“代数法探索图形的几何性质”是解析几何的本质，“数形结合”是揭露这一本质的关键思想. 在教学解析几何时，教师应引导学生经历如下过程：①将几何问题代数化，通过代数方法探索其内在联系;②深入分析和处理代数问题;③研究代数结论在几何问题解决中的应用.

在理解教学的基础上将上述流程与思想渗透于整个教学环节，具体措施为：从几何的角度揭示直线与圆的位置关系—通过比较d与r的大小或利用方程的判别式进行代数化探究—得出具有几何意义的代数结论. 这不仅明确了课堂教学的思路，也为教学设计提供了可靠的依据.

2. 理解学生，增强学习体验

学生是学习的主体，是课堂的主人. 教师应当在理解学生的基础上设计教学活动，并在理解教材的基础上整合教学资源. 教师应依据学生的实际认知经验，将教材中规范而静态的内容和素材转化为更易于学生接受的形式，从而促进学生更有效地构建新知. 在本节课中，教师深入理解学生的需求，精心整合教材内容，并根据学生的个性特点设计教学活动. 通过周密的课堂策划，引导学生亲自参与知识的构建过程，从而激发积极的学习体验，并自然而然地掌握新知.

3. 理解数学，提升教学成效

理解数学是指教师结合学生的实际认知水平、教学环境等有针对性地设计教学活动，将一些重要的思想方法渗透于教学过程中，促使学生在思维的辨析中不断提高认知水平，发展核心素养. 在本节课中，学生通过回顾旧知，自然而然地将思维过渡到对实际问题的探索中，并基于数形结合的视角去探索直线与圆的位置关系，从而顺利提炼出问题背后所蕴含的思想方法，充分体会了“将几何问题代数化”的价值与意义.

总之，“三个理解”理念指导下的高中数学教学，可引导学生从多个角度进行实践和思考，激发他们去探索、去感受、去理解，亲身体验知识的创造过程，从而不断提升数学思维，提炼数学思想方法，实现知识的“再创造”，真正意义上培养核心素养.