核心素养背景下基于“逻辑推理素养”发展的数学教学研究

[摘  要] 借助课堂教学培育学生的学科核心素养是当前教育教学的核心目标. 逻辑推理素养，作为核心素养的关键组成部分，对学生长期的可持续发展起着至关重要的作用. 如何应用不同的教学策略发展高中生的数学逻辑推理能力与素养呢？研究者从逻辑推理能力的培养出发，针对逻辑推理素养三个水平层次的培育方法展开例析.

[关键词] 逻辑推理;思维能力;水平层次

作者简介：陈佳佳（1981—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.

推理属于思维的一种基本形式，指由一个或多个已知前提推导出新结论的过程，包含从特殊到一般和从一般到特殊的推理. 从特殊到一般的推理方法以类比归纳为主，而从一般到特殊的推理方法则以演绎为主. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出逻辑推理素养的培养应建立在逻辑推理能力提升的基础之上，并且将数学逻辑推理素养根据学生的不同认知结构由浅入深地划分为三个水平层次，以适应他们各自的发展需求.

逻辑推理素养的培养措施

在学习基础知识和基本技能的过程中，学生会自然而然地培养出逻辑推理能力. 特别是在高中数学领域，由于其高度的抽象性，学生必须运用抽象逻辑思维进行思考和分析，这无形中促进了逻辑推理能力的增强. 相反，忽视基础知识和基本技能的学习，逻辑能力的发展便无从谈起. 因此，教师和学生都应充分重视基础知识的教学和学习，特别是对基本技能的掌握，这对于促进逻辑推理能力的发展至关重要.

基于逻辑推理能力提升的数学基础知识和基本技能的教学设计，可以利用多样化的情境或问题激发学生的思维，引导学生主动思考和探索问题，从而促进学生在不同程度上实现个人发展.

【教学片段1】

为了在教学“等差数列通项公式”时培养学生的逻辑推理素养，最有效的方法是采用逐步引导的策略，通过一系列层次分明的问题来辅助学生深入理解等差数列通项公式的内在本质. 通过这种方式，学生不仅能够掌握基础知识和基本技能，还能在这一过程中实现教学目标，促进其学习能力的提升.

问题1 分析下列几组数存在哪些共同点：①1，2，3，4，5，6，7;②2，5，8，11， 14，17;③5，10，15，20，25，30.

生1：每组的后一项数减掉前一项数得到的差均相等.

师：总结得不错，关于“2，5，8，11， 14，17”这组数，若按照其规律继续排列下去，第100项的数是多少？

生2：可以用字母符号来表示每个数，例如用a表示2，用a表示5，则a=3×1+2，以此类推，a=3×2+2，a=3×3+2，…，a=3×99+2=299.

师：逻辑清晰，分析得很好！根据生2的思维过程，我们应该如何确定这组数的第n项的数呢？

生3：根据生2的思维过程，容易得到第n项的数为a=d（n-1）+a.

师：有没有办法证明这个式子是否准确？

生4：基于等差数列的概念，可以发现a-a=d，a-a=d，…，a-a=d. 将上述等式的两侧分别相加，可得a-a=（n-1）d，即a=（n-1）d+a.

师：很好！是否有需要补充的？

生5：我认为还要对n=1进行验证.

师：如果a=3n+2是等差数列{a}的通项公式，那么这个数列的首项与公差分别是多少？第100项的数是多少？

生6：根据该数列的通项公式可知，第100项为a=3×100+2=302，首项为a=3×1+2=5，公差d=a-a=3.

从上述这一教学片段中可以看到教师如何通过一系列由浅入深的问题引导学生思考，使其朝着预期的方向发展. 在三个具体数列的启发下，学生逐步探索并发现了等差数列的规律. 他们借助问题构建的阶梯，逐层上升，最终领悟了等差数列的核心原理. 在这一教学片段中，教师提出的问题展现了从“具体到抽象”“特殊到一般”再到“一般到具体”的递进过程. 学生在这个过程中独立运用类比归纳法，提炼出了等差数列的通项公式，并在掌握该公式后，进一步应用它来分析等差数列的公差以及具体的项.

学生在问题循序渐进的指引下，不仅逐个解决了问题，超越了既有的认知界限，还掌握了基础知识和基本技能，明确了等差数列公差的来龙去脉，此为锻炼思维能力、认知能力的过程. 当然，这一过程还有效地培养了学生的逻辑推理能力，为提升学生的逻辑推理素养夯实了根基.

不同水平层次的逻辑推理素养的培养策略

掌握基础知识和基本技能可促进逻辑推理能力的提升，为逻辑推理素养的构建奠定坚实的基础. 为了进一步巩固学生的知识体系并提升其学习能力，最有效的策略是持续利用问题引导教学. 这样可以激发不同能力层次的学生积极参与课堂活动，确保他们在学习过程中实现最大程度的成长. 不同年龄段和认知水平的学生拥有各自独特的学习背景，因此，他们所设定的素养目标也各不相同. 教师需要依据学生的个体特点来设计教学计划，并采用具有明确针对性的教学策略——“因材施教”，以确保真正意义上促进每位学生的持续成长.

1. 低等层次逻辑推理素养的培养策略

低等层次的逻辑推理素养一般以“水平一”来表示. 新课标要求该层次的学生应能在熟悉的情境中了解概念和定理，自主探索数学知识中的“数形”联系，对知识的逻辑结构有基本的理解，并能够清晰地进行表述. 此外，他们还应能运用所学知识解决实际问题. 该标准适用于大多数学生，只有当学生达到“水平一”的逻辑推理素养时，他们才能进入下一个阶段. 对于“水平一”的教学设计，可以从基础知识和大多数学生的认知经验入手，依据课程标准进行引导.

【教学片段2】

问题2 若S为等差数列{a}的前n项和，请论证S，S-S，S-S是否为等差数列.

生7：由于（S-S）-S=（S-S）-（S-S）=100d，因此可以确定S，S-S，S-S成等差数列.

师：基于这一论证，我们能否推导出一个更为普遍的结论呢？

生8：我猜想的是，在k∈N*的情况下，S，S-S，S-S成等差数列.

师：通过比较上述特殊情况，我们如何验证这一猜想呢？

生9：由于S=a+a+a+…+a，S-S=a+a+a+…+a，S-S=a+a+a+…+a，因此（S-S）-S=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）=kd+kd+kd+…+kd=k2d，（S-S）-（S-S）=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）=kd+kd+kd+…+kd=k2d.所以，（S-S）-S=（S-S）-（S-S）=k2d. 由此可确定S，S-S，S-S成等差数列.

分析上述教学片段，注意到教师只提出了简单的“小问题”，将整个探索过程完全交由学生自主完成，说明“小问题”功不可没. 在“小问题”的引导下，学生的思维逐步深入，并在教师的适时点拨下，运用类比法验证“S，S-S，S-S为等差数列”. 这种教学策略有效地推动了学生向前发展，通常需要在学生已经熟悉的情境中实施.

实践证明，这种教学方法非常适合那些逻辑推理能力尚处于初级发展阶段的学生. 通过问题的逐步推进，学生的逻辑思维素养将被引导朝着既定方向发展，从而达到“水平一”的层次.

2. 中等层次逻辑推理素养的培养策略

中等层次的逻辑推理素养被称为“水平二”，要达到该层次，学生必须主动从熟悉的情境中跳脱出来，深入到知识的“关联”之中. 在此基础上，学生需进一步理解并应用概念与定理，探索出相应的思路和结论，并能够清晰地进行论证. 为了达到“水平二”，学生需要掌握多角度思考问题的技巧，能够将已有的知识和经验与新知识连接起来，同时完善认知结构并构建网状的知识体系，为解决问题打下坚实的基础.

当学生达到“水平二”时，教师应为学生创造解决问题的机会和环境，允许他们在一定区域内独立观察和探究. 这样，学生能够更迅速、更精确地识别问题、提出问题，并运用他们构建的知识体系找到解决方案.

【教学片段3】

问题3 若等差数列{a}中，2n+m+p=2t+s+r，且n，m，p，t，s，r∈N*，则2a+a+a=2a+a+a. 与等差数列{a}进行类比，获得等比数列{b}的一个命题为：若2n+m+p=2t+s+r，且n，m，p，t，s，r∈N*，则______. 请求证.

师：从我们已有的认知结构中提取相关信息，分析哪些知识可以被借鉴或类比以解决这个问题.

生10：可将等差中项的内容与等比中项的内容进行比较分析.例如，若a，A，b为等差数列，则A=;若a，G，b为等比数列，则G2=ab.

师：将这两个知识点结合起来进行关联分析，值得表扬. 通过类比上述过程，大致可以推断出这个问题的结论是什么？

生11：我认为本题的结论大致为（2b）bmbp=（2b）bsbr或者（b）2bmbp=（b）2bsbr.

师：观察这两个式子的形式，似乎各有其合理性. 那么，针对本题，我们应该选择哪一个式子来填写呢？让我们进行分析并加以验证.

生12：若填写第一个式子，则（2b）bmbp=2bqn+m+p-3，（2b）bsbr=2bqt+s+r-3. 当2n+m+p=2t+s+r时，（2b）bmbp≠（2b）bsbr，与题意不相符. 若填写第二个式子，则（b）2bmbp=bq2n+m+p-4，（b）2bsbr=bq2t+s+r-4. 当2n+m+p=2t+s+r时，（b）2bmbp=（b）2bsbr，与题意相符. 综上所述，应填写第二个式子，即（b）2bmbp=（b）2bsbr.

在该教学片段中，教师未向学生提供明确的解题策略，而是促使学生利用他们已掌握的知识和经验，主动寻找相关知识点之间的联系，并在限定的范围内独立思考，以解决问题. 观察师生之间的互动，可以发现，每当学生主动提出假设时，教师都会鼓励他们从条件和结论两个方面进一步论证这些假设的准确性.

将学生限定在一个范围内进行自主探索和研究，不仅有助于学生理解知识之间的联系，还能激励他们自主构建一个完整的认知体系. 这样的过程能够培养学生的结构化思维，使他们获得融会贯通的学习能力，从而有效地促进学生发展逻辑推理素养“水平二”.

3. 高等层次逻辑推理素养的培养策略

此层次是逻辑推理素养的最高层次——水平三，要求学生在复杂且综合的情境背景下独立思考和探索问题，并提炼出高质量的数学问题. 在这一层次，学生应能够运用假设、判断与推理等方法自主解决一些综合程度高的复杂问题，或运用跨学科的知识来分析和解决一些实际问题. 在这一过程中，学生需要运用论证与推理的方法来思考和分析问题，这对他们的思维能力提出了较高的要求. 因此，这也是区分学力，选拔高阶人才的重要依据.

在日常教学中，若要提升学生的逻辑推理素养至更高层次，可以鼓励他们自主探索解决问题的知识和方法，并自行构建解题策略或过渡性假设以实施解答. 这种教学策略亦称作“引导式”教学法，是培养学生数学思维的有效途径之一.

【教学片段4】

问题4 若实数a，b，m满足a2+b2=m2，m≠0，的取值范围是什么？

师：在日常学习中，我们遇到的问题所待求解的未知数通常只有两个，然而本题却出现了三个未知数，该怎么办呢？

生13：我打算将该问题构建为含两个未知数的问题，以便求解.

师：很好，如何构建呢？

生14：结合题设条件得+=1. 假设=x，=y，即x2+y2=1，则==. 于是构建出了一个新问题：已知x2+y2=1，则的取值范围是什么？

师：非常好！这是化未知为已知的过程. 转化后的问题对我们来说非常熟悉. 还有其他的想法吗？

生15：我们通常应用求导或解基本不等式的方法来探究含有两个变量的问题. 然而，对于本题，采用这些传统方法可能导致求解过程变得异常复杂. 因此，我认为将本题转化为解析几何问题，可能简化求解过程.

师：哦？能否详细说明一下呢？

生15：已知x2+y2=1为圆O的方程，则点（2，0）与圆O上的点的连接线的斜率的取值范围是什么？

求解过程为：假设连接线的方程是y=k（x-2），即kx-y-2k=0. 根据d=r，可得=1，解得k=±. 所以，连接线的斜率k的取值范围是

-

，，即的取值范围是

-

，.

在上述教学片段中，教师未直接指导学生运用减元法解决问题，而是顺应学生的思维路径，引导他们将三个未知数简化为两个，鼓励学生依据自己的认知经验独立探索. 最终，学生利用解析几何的知识完成了问题的解答. 整个教学活动以学生的思维为主导，教师的角色更多是作为“观察者”，在关键时刻提供必要的引导. 这种开放式的教学方法能有效促进学生发展逻辑推理素养“水平三”.

综上所述，在培养学生的逻辑推理素养时，必须充分考虑学生的个体差异. 采用循序渐进的方法，“因地制宜、因材施教”地开展教学活动，不仅能够有效地促进学生个人能力的发展，而且有助于实现培养学生核心素养的长远目标.