知识解读整合,专题探究思考

[摘  要] “抛物线的简单几何性质”章节是高中数学圆锥曲线知识的关键部分，其探究过程可与椭圆、双曲线等进行类比，以明确核心概念. 在教学中，教师应当深入解析章节内容，明确教学策略，并将其分为四个环节进行规划. 研究者针对章节内容进行微专题的深入探究，并据此提出相应的教学建议.

[关键词] 抛物线;几何性质;数形结合;专题探究

作者简介：王惠清（1975—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获南通市高中数学优秀课评比一等奖，南通市学科带头人.

教学解读

“抛物线的简单几何性质”章节是高中数学圆锥曲线知识的关键部分，是掌握抛物线概念不可或缺的基础内容. 在教学中，教师应引导学生深入理解其性质，掌握数形结合思想方法. 在性质的探究过程中，重视培养学生的直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养，促进学生知识与能力的全方位提升.

本章节主要探讨抛物线的四个关键性质——范围、对称性、顶点和离心率，以及这些性质的应用. 之前学生已了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的性质，并掌握了探究方法. 建议本章节采用类比方法进行教学，通过“探究生成、过程引导”的方式，结合重点内容，分环节构建教学过程.

微专题探究

关于“抛物线的简单几何性质”的教学，建议采用微专题的方式，分为四个环节，引导学生感知概念、深化理解、灵活运用. 下面探究教学设计.

1. 教学环节一——情境设计，课堂引入

本环节采用引入关键点的方法进行教学. 在教学中，教师引导学生回顾先前对圆锥曲线的学习，并通过类比的方法确定研究方案;引导学生观察图象来确定抛物线的横、纵坐标的取值范围，进而明确其范围特性.

预设问题1：请大家类比椭圆、双曲线的几何性质的探究过程，思考“应研究抛物线y2=2px（p>0）的哪些几何性质？如何研究这些性质？”

预设问题2：观察图1所示的抛物线，你能确定该抛物线上的点的横、纵坐标的取值范围吗？

教学引导 引导学生回顾椭圆、双曲线的探究过程，确定抛物线需要探究的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率等）. 同时，确立数形结合思想方法，以便后续从“数”和“形”两个角度深入探究抛物线的性质.

引导学生仔细观察抛物线的图形，关注其上的点的横、纵坐标的取值范围，以及开口方向. 例如，上述抛物线的开口向右，其上的点的横坐标的取值范围为x≥0.

教学建议 课堂引入环节，旨在确定后续的研究内容和方法，注意引导学生类比其他圆锥曲线. 在确定抛物线上的点的横、纵坐标的取值范围时，重视数形结合思想方法. 首先，从“形”的角度出发，引导学生观察抛物线的特征和开口方向;接着，从“数”的角度入手，推导并确定其上的点的横、纵坐标的取值范围. 在完成课堂引入环节后，务必进行总结和概括，以形成“数形结合”分析的核心思路.

2. 教学环节二——观察分析，感知概念

本环节引导学生初步理解抛物线的性质和概念，初步探索其范围和对称性. 通过运用数形结合法，逐步引导学生深入探究和感知.

（1）“范围”的探究

预设问题1：观察图1所示的抛物线后，若从“数”的角度出发，结合抛物线的方程，应如何确定抛物线上的点的横坐标的取值范围呢？

预设问题2：对于抛物线y2=2px，是否可以直接确定其开口方向，以及其上的点的横、纵坐标的取值范围？

预设问题3：若p>0，当x的值增大时，抛物线y2=2px是否会向着开口方向一直无限延伸呢？

教学引导 首先，引导学生观察图1所示的抛物线，让学生初步了解并明确抛物线的几何特性. 接着，分析抛物线的方程，清晰地理解参数p的重要性，即其符号决定抛物线的开口方向以及它所处的象限. 此外，抛物线的开口方向决定其上的点的横、纵坐标的取值范围.

对于p>0的情形，引导学生结合抛物线图象来确定其性质，出现其开口方向与x轴的正方向相同;当x的值增大时，y的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

（2）“对称性”的探究

预设问题1：观察图2所示的抛物线，其有几条对称轴？是否具有对称中心？

预设问题2：如何从“数”的角度来说明抛物线y2=2px（p>0）的对称性？

教学引导 引导学生仔细观察图象，可以轻松地确定该抛物线关于x轴对称，但不具备中心对称的性质. 若从“数”的角度来讲解其关于x轴对称，则引导学生明晰在抛物线上任意取一点P（x，y），其关于x轴的对称点P′（x0，-y）也在抛物线上. 在教学中，可以引入具体的抛物线方程，引导学生进行验证.

教学建议 在探究抛物线的“范围”和“对称性”时，建议充分利用数形结合思想方法，引导学生从“数”和“形”两个角度进行分析和推导. 通过审视图象来确定抛物线的开口方向、分布、形状以及对称性，并结合其方程进行深入分析，以全面理解其性质.

3. 教学环节三——抽象概念，形成概念

本环节引导学生深入探究抛物线的顶点和离心率，采用的方法依旧是数形结合思想方法. 通过让学生观察图象来探究抛物线的顶点，给出其定义，并帮助他们理解抛物线离心率的含义.

（1）“顶点”的探究

预设问题1：进一步观察图2所示的抛物线，其顶点是什么？

预设问题2：抛物线y2=2px（p>0）的顶点坐标是什么？p的取值是否会影响其顶点坐标的取值？

教学引导 引导学生观察抛物线，直观识别其顶点是坐标轴的原点. 随后，结合抛物线的方程，从“数”的角度验证其顶点为（0，0）.

（2）“离心率”的探究

预设问题：给定离心率的定义，即抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，用e表示.

思考：对于y2=2px（p>0），请根据离心率的定义求解该抛物线的离心率. 另外，离心率的值是否受参数p的影响？

教学引导 引导学生明晰离心率的定义，并鼓励他们根据定义自主计算抛物线的离心率. 重视计算过程，可以发现离心率e=1，显然这一结果与抛物线的特征参数p无关，因此不受其影响.

教学建议 在研究抛物线的顶点和离心率的性质时，同样采用数形结合思想方法，引导学生从多角度进行分析和判断，以推导出结论. 对于离心率知识，不主张直接讲解，而是鼓励学生通过推理计算，自主得到结论.

4. 教学环节四——知识应用，巩固强化

本环节引导学生将所学知识应用于解决实际问题，以加强和巩固对抛物线性质的理解. 建议在教学过程中详细讲解解题思路和方法，协助学生构建有效的解题策略，并积累宝贵的解题经验.

预设问题：如图3所示，斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

教学引导 根据抛物线的方程可得它的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1. 求线段AB的长，建议采用“设而不求”的方法.

设A（x，y），B（x，y），点A，B到准线的距离分别为d和d，由抛物线的定义可得AF=d=x+1，BF=d=x2+1，AB=AF+BF=x+x+2.

因为直线l的斜率为1，且过焦点F（1，0），所以直线l的方程为y=x-1. 联立直线与抛物线的方程，整理得x2-6x+1=0.由韦达定理可得x+x=6，则AB=x+x+2=8. 所以，线段AB的长是8.

教学建议 在探讨抛物线与直线的相交问题时，教学引导应注重思维过程的阐述，并渗透“设而不求”的简化计算技巧，以构建圆锥曲线综合题的求解策略. 求解完成后，可以进一步引导学生思考：若直线l不经过抛物线的焦点F，AB=x+x+2是否依然成立？

专题探究思考

对“抛物线的简单几何性质”的微专题探究，划分为四个环节，整个教学过程着重于思维方向的引领与解题步骤的搭建，并始终贯彻数形结合思想方法. 接下来，深入探讨教学方面的思考，并提出一些教学建议.

1. 注意章节解读

高中数学课程内容丰富，涉及大量重要的知识点与考核要点. 教师应当细致解读各章节内容，并系统梳理与整合知识点，这样才能设计出合理的教学步骤. 章节解读建议从以下三个维度展开：首先，阐释核心知识点，明确关键难点;其次，依据教学大纲，明确教学目标，涵盖知识掌握、方法运用以及核心素养的培养;最后，基于章节内容，设计相应的教学策略和教学环节. 环节设计遵循“情境引入—知识探索—应用强化”的步骤顺序，同时融入思想方法，注重提升学生的数学学科核心素养.

2. 注意数形结合

本章节是圆锥曲线知识体系的核心部分，其中数形结合是其核心思想和方法. 在抛物线的几何性质的教学中，这一点尤其需要得到强调. 教师应当在教学过程中融入数形结合思想方法，引导学生逐步探索并总结关键知识点. 例如，在探究抛物线的对称性时，首先观察图象，然后利用方程来确定其对称性;在推导抛物线的顶点时，通过观察图象可以发现顶点位于原点，随后再通过方程来精确验证. 通过数形结合的探究和分析方法，教师可以指导学生掌握解题的精髓，为后续学习打下坚实的基础.

3. 注意思维引导

在教授圆锥曲线相关知识时，教师应重视学生的思维过程，并注重引导其思考. 建议通过提问的方式设计教学环节，结合课程内容提出探索性问题，引导学生进行分析和思考，以得出结论. 在教学中，教师应尊重学生的观点，为他们提供足够的思考空间，使他们能够充分地进行探索和自主分析. 教师应在适当的时候给予指导，帮助学生进行总结和归纳. 如果课堂上出现了意见分歧，那么教师应鼓励学生共同分析和讨论，自主完成探讨和辨析，以加深学生对知识的理解.

写在最后

对于“抛物线的简单几何性质”这一章节的教学探究，建议深入分析并详细解读其内容，有效整合相关知识点，合理设计教学环节. 在教学中渗透数形结合思想方法，从“数”和“形”这两个角度探究核心知识. 教师应精心设计问题，引导学生思考，密切关注学生思维的发展变化，并协助他们归纳知识的性质，灵活应用所学，同时致力于培养学生的数学素养.