变式助力高中数学教学的研究

变式教学是指为了满足实际教学需求，教师有计划、有目的地合理转化命题的一种教学方式. 这种“转化”是指更换命题中的非本质特征，如条件、结论、问题内容或形式等，学生在对问题的探究中深刻掌握问题的本质属性. 数学概念、定理、思想方法等具有恒定的本质特征，在教学中，教师可以通过变式教学法的应用，让学生从不同角度去认识、分析并掌握知识的内涵.

研究的必要性

1. 新课标的要求

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称“新课标”）强调：数学教学是师生进行双边互动与交流的过程，是教学相长的过程. 在此过程中，应将学生作为课堂的主体，并在现代教育理论的指导下，引导学生积极地参与到教学中来.

变式作为师生互动、学生探究的重要方式，是促进学生个体发展不可或缺的教学手段. 良好的变式教学，不仅能促进师生的互动与交流，还能深化教师对教材的理解，帮助学生更好地掌握“四基”与“四能”，为发展学生的“三会”能力奠定基础.

2. 适应高考的需求

数学教学以发展学生的数学核心素养为教学目标，目标的完成情况在高考中体现. 纵观近些年的高考试题，虽说难度适中，但题目越来越灵活、新颖，整个命题导向已经从“知识立意”转化为“能力立意”，对学生的思维水平、应变能力等要求也越来越高.

剖析高考试题，一般都是以考查学生对知识的掌握程度、数学思想方法的应用、逻辑推理能力为主，试题对知识的灵活性、综合性、应用性与探究性的要求越来越高. 显然，“题海战术”无法解决新时代的高考题，想要在高考中有所突破，必须在日常教学中注重知识的建构. 变式能够增强学生的求异思维，促进学生创新意识与应变能力的发展.

3. 提高教学效率

变式的广泛应用，不仅让学生脱离“题海战术”的压力，还满足当下素质教育的需求，为学生营造一种和谐、民主、宽松的学习环境. 以抽象的数学概念与定理为例，这些内容对学生而言确实难以理解，而变式的应用则将这些内容变得更加具体、形象，便于学生记忆；再如一些复杂的问题，变式的应用可将其转化为一般性的问题去研究，通过变式引申的方式渗透多种数学思想方法. 由此可见，变式的介入显著提高教学效率.

变式助力数学教学的具体措施

1. 变式助力情境创设，激发学习热情

情境是开展数学教学的有效策略，尤其是课堂的起始环节，良好的情境不仅能快速吸引学生的注意力，让学生投身于知识的研究，还能为整个课堂奠定良好的情感基调，让学生产生舒适的学习体验，为提高教学效率奠定基础.

与学生认知匹配或与学生生活息息相关的情境，往往能有效激发学生的学习热情，激发学生学习的内驱力，让学生自发投入到知识的探究中去. 实践发现，将变式、情境有机地结合在一起，能将一些生涩、抽象的数学知识直观地呈现在学生面前，让学生从直观感知中增强对知识的理解程度.

案例1 “指数函数”的教学.

指数函数这部分内容相对抽象，若带领学生从字面上去理解其内涵，学生只能凭借机械性记忆去掌握它，难以对这部分内容产生深刻、形象的认识. 为了增强学生对指数函数的画面感，提升学生的直观想象素养，笔者基于常规情境，应用变式操作情境引发学生思考.

常规情境：细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……第x次分裂成y个细胞，请写出细胞个数y与分裂次数x的关系式.

这是一个文字情境，部分学生写关系式时感到困难，为了进一步深化学生对指数函数关系式的认识，笔者基于这个常规情境提出变式操作，以启发学生思考.

变式操作：请大家取出事先准备好的纸片，现在我们将手中的纸片平均撕成两份，再将这两张纸片重叠在一起后撕成两份. 将撕下的纸片重叠、对折后又撕成两份，周而复始重复这个操作活动.

思考：如果纸片的厚度是0.15毫米，那么第4次撕纸重叠后，纸片在一起的厚度是多少？第8次撕纸重叠后，纸片在一起的厚度是多少？第10次、第32次撕纸重叠后，纸片在一起的厚度分别又是多少呢？能否探寻出各个数据之间的关系？能否写出某种函数关系式？

随着操作活动的实施与问题的思考，不仅激起了学生探索这部分知识的欲望，还让学生在动手动脑中积极观察并分析，为探索指数函数奠定了基础. 在这个情境下，无须笔者过多指导，学生就能自主探寻出部分问题的答案.

从这个教学片段不难看出，创设与教学内容有关的情境，可以从很大程度上发挥变式教学的价值. 学生在与自己认知、生活相贴近的情境中感知、体验、领悟相应的数学知识，能获得自主探索、自主分析的能力.

2. 变式助力概念教学，促进知识建构

概念是数学的基础，其内涵与外延是统一且不可分割的两方面. 为了深化学生对概念内涵与外延的掌握程度，教师可通过多样化的变式，引导学生积极、主动地参与到概念的形成过程中来，让学生在变式训练中深刻认识概念、应用概念，促进分析能力的发展.

艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学生对于学习材料的记忆存在一定的遗忘规律. 这就要求学生在学完某一部分知识后，通过一定量的变式训练及时巩固，为概念的灵活应用奠定基础. 同时，概念作为数学这座大厦的基石，在教学中具有无可替代的重要作用，变式助力概念教学，能够帮助学生建构完整的知识体系.

案例2 “抛物线”的教学.

当学生对抛物线的概念有所了解后，笔者呈现以下经典问题，引发学生思考.

问题：已知点A（a，3）为抛物线y2=2px上的一点，其焦点到准线的距离为4，分别求p与a的值.

这是一道典型的与抛物线定义相关的问题，学生通过公式的应用，很快就获得了问题的答案. 为了深化学生对抛物线定义的理解，笔者改变这个问题如下：

变式1：已知“动点A到直线x+4=0的距离”与“动点A到点P（2，0）的距离”之差为2，求点A的轨迹.

这个问题虽然超越了抛物线概念描述的范畴，但隶属于抛物线概念的外延部分，能够深化学生对抛物线定义的理解. 当学生顺利探寻出本题的答案后，笔者再一次进行拓展，设计了如下问题.

变式2：已知点A为抛物线x2=4y上的一个动点，且点P的坐标为（6，4），求“点A到点P的距离”与“点A到x轴的距离”之和的最小值.

显然，变式2的难度比变式1大，学生的思维随着问题难度的增大而进一步深化与发展，更深层次地理解抛物线的内涵与外延. 由此可以看出，变式对促进学生建构新知具有重要意义.

3. 变式助力问题呈现，实现有效探究

符合学生需求的教学方式往往能顺利激起学生的“愤”“悱”状态，让学生在认知冲突中拓宽对知识的认识，有新的发现，获得举一反三的能力.

长期以来，我国的数学课堂教学受传统教学模式的影响，教师一直以高位者自居，并以“灌输式的讲授”作为主要的教学模式. 随着时代的发展，这种“注入式”教学模式已经被摈弃，取而代之的是师生互动、以生为本、教学相长的教学模式. 这种教学模式主张将问题展示在学生面前，以引发学生产生探究欲望.

案例3 “等差数列”的教学.

授课时，笔者提出这样一个题干：“已知a1为一个无穷等差数列的首项，该数列的公差为d.”要求学生根据这个题干编拟问题，并自主解决. 学生经合作交流，编拟了如下三个典型的变式问题.

（1）将这个等差数列的前m项去掉，剩下的项所组成的数列还是等差数列吗？若是，其首项与公差分别是什么？

（2）将这个等差数列中的所有偶数项去掉，剩下的奇数项组成一个新的数列，那么这个新数列是不是等差数列？若是，其首项与公差分别是什么？

（3）将这个等差数列中项数为7的倍数的项取出来组成新的数列，这个新数列是不是等差数列？若是，其首项与公差分别是什么？

对等差数列概念的理解是本节课的教学重点与难点，鼓励学生自主根据题干信息编拟变式问题，进一步深化了学生对等差数列的理解. 随着变式问题的形成，不仅从根本上使学生掌握了等差数列的内涵，还进一步发展了学生的创新意识. 事实证明，每一个问题的变化，都能有效开阔学生的视野，促进学生思维的发展.

4. 变式助力解题教学，推动思维发展

波利亚认为：掌握数学就意味着会解题. 问题的变化主要体现在问题条件、结论或情境的变化上，引导学生从不同角度去思考问题，让学生通过自主探究，掌握相应的知识、数学思想方法和解题技巧，强化解题能力，从而有效促进思维的发展.

实践发现，变式助力解题教学，不仅能够开发学生的智力，促进学生创新意识的形成，还能让学生形成解决实际问题的能力.

解题作为数学教学的重要组成部分，在课堂中占有举足轻重的地位. 究竟怎样将一道题的教学价值发挥到极致呢？引导学生探索、分析、研究典型例题能健全学生的知识体系，提升学生的解题能力. 解题过程实则为知识的增长过程，投入恰当的例题是检验学生学习成效、促进学生思维发展的必经之路.

一些师生常将一些经典数学试题作为研究对象，试图探寻出更多、更便捷的解题思路或方法. 这种探索过程实则为提升学生数学思维能力的过程，变式的应用能进一步引申经典例题，让学生从真正意义上摆脱思维定式的影响，获得独立自主的解题能力与数学思想方法.

案例4 “三角函数”的解题教学.

三角函数相关问题涉及的三角公式比较多，其解决方法自然也比较多，常见的有凑角法、对偶法、降幂法、方程法、换元法、平方法、讨论法等. 为了引导学生深刻掌握不同的解题方法，笔者设计了一些变式题，鼓励学生应用不同方法来解决各个变式题，从真正意义上灵活学生的思维，提升学生的解题能力.

数学对人类思维能力的提升与塑造具有无可替代的作用，而解题教学又是数学教学的重中之重，因此借助变式提升解题教学实效性是发展学生思维能力的关键措施. 而发展学生的思维能力，不仅仅是新课标的要求，更是每一位教师肩负的责任和义务.

实践证明，高中知识庞杂且多变，公式定理比比皆是，试题灵活多样，想要从真正意义上促进学生可持续发展，还得从解题与发展学生的思维能力着手. 让学生通过解一道题，获得解一类题的能力，达到透过现象看本质的目的. 变式教学不仅可以帮助学生达到这一目的，还能实现深度学习，培养学生思维的深刻性、灵活性和开放性.

凡益之道，与时偕行. 变式教学是发展学生数学学科核心素养的重要途径，也是助推学生各项能力发展的关键. 一线数学教师应重视变式教学在课堂中的应用，注重对学生创新意识、思维能力、数学思想方法等的培养，促进学生全面发展.