专科院校数学建模融于高等数学教学的改革探索

［摘           要］  随着计算机的发展应用和对数学建模的广泛关注，数学建模在专科院校教学实践中已经得以运用，但是专科院校学生基础薄弱，各专科院校基本上是以开设数学建模课或者展开数学建模竞赛的方式适用数学建模，融入课堂教学较少，且在教材方面都是单独设置一章介绍软件的使用。对此，从数学建模融于高等数学教学的可行性方面展开了实践教学，采用RGF双向考核方式实现数学建模与高等数学教学的深度融合，为进一步提高专科院校应用数学建模的能力奠定良好的基础。

［关    键   词］  数学建模；RGF双向考核；可行性

［中图分类号］  G712                    ［文献标志码］  A                  ［文章编号］  2096-0603（2024）05-0161-04

一、数学建模的背景和概念

（一）背景

数学是各学科发展的基础，我国一直重视数学学科能力和素养的培养。数学建模活动正式列入高中的必修内容，是数学课程发展史上的第一次，表明数学建模的重要性。在专科院校也开设了数学建模课程，但是仅作为一门课教学，实践数学建模应用于高等数学的尝试还没有大规模展开，至少没有像高中一样列入必修内容。2021年7月12日-18日，四年一度的第14届国际数学教育大会（ICME-14）首次在中国举办。法国数学家、2010年菲尔兹奖获得者赛德里克·维拉尼（Cédric Villani）受邀在会上做题为“社会中的数学（Mathematics in the Society）”的全体大会报告，其强调了算法转型时代下数学学科对社会的责任，突出了数学在各个方面的应用价值。数学建模作为各领域运用数学的基本手段，不仅成为信息时代下专业人才的必备技能，更是数学教育领域不可或缺的教学内容，这一研究主题在近50年来一直备受关注，尤其是在过去的10年里，全球范围内，无论是国际测评研究与大型会议，还是各国政策文件或课程标准，对数学建模的重视程度都一直在持续增长。

在专科院校开展数学建模课程的学校较少，但是它在培养学生吃苦耐劳、锻炼学生思维、提高学生收集整理文献资料、培养学生解决问题、提高学生信息技术应用、培养团队合作等方面都是有利的。

（二）概念

李明振认为，数学建模就是为了解决实际问题而运用数学方法，从关系复杂的实际问题中找出规律，然后用数字、图形、符号和公式来表述，再利用数学方法和计算机处理，其结果对于人们进行定量结果的分析、决策、预测和控制起着关键作用，这一过程简化了实际问题，实际问题的简化解决过程就是数学建模。

1996年，Werner Blum和Kaiser提出数学建模过程是由数学化、求解、解释和验证、理想化四个阶段组成的，并且这四个阶段应是循环的，如图1所示：

以现实世界中发现的问题为原型建立起相应的模型，然后把模型数学抽象化，即把现实问题理想化或简化后，运用数学工具表达、建立数学模型，运用数学方法得到具体的数学模型，然后把得到的数学模型代入现实模型中，在相应情境下进行分析验证和解释，检验所得的结果是否符合相应情境，最后将结果理想化。

2003年，Blombhoj和Jensen提出数学建模过程的六个阶段，如图2所示：

图中采用双向箭头，说明建模流程可以不按照预先规定的步骤逐步进行，而是可向后进行，或返回上一步骤，因此该数学建模过程不是一个线性过程，而是需要建模者根据题目的具体要求执行相应的步骤。

二、专科院校高等数学课教学的现状与特点

（一）高等数学学科学习轻理论重练习

高等数学学科的结构逻辑性强，内容抽象晦涩难懂，其概念、定理、性质、推论等比较繁多，对于数学基础薄弱的专科学生而言，简直就如天书一般。而高等数学教学应培养学生发现、提出、分析以及解决问题的能力，这一功能在这里没有用武之地，更不要说理论与实际有机结合了。目前，大部分专科院校对数学学科教学的基本要求是“必须”与“够用”，于是，专科院校的课程设置与教学要求方面更加轻理论、重实践，教师在授课时更偏重理论—巩固—练习等纯机械化的学习。

（二）数学建模学科设置开设重结果轻过程

专科院校认识到高等数学学习要应用于实践，陆续引入数学建模课程，从题型讲解开始，目的是开阔学生视野、培养学生数学思维、提高学生数学科学素养、培养学生利用数学建模解决问题的能力。通过数学建模课程的学习，鼓励一部分学生参加全国大学生数学建模大赛，但由于学生基础薄弱、数学学习习惯不好，在建模效果上不是很好。

（三）学生对数学建模的热度情绪化

学生“数学基础薄弱”是硬伤，光有一腔热血，没有实力担当，最后只能兴趣缺失。随着建模大赛的开展，满腔的热情被无情的数学模型击得支离破碎，中途逃跑，畏难情绪接踵而至，自信心严重打击，学习动力停滞。

（四）课改的方向和标准简约化

在《中华人民共和国职业教育法》背景下，专科院校“读书高、慎职业”陈旧思想依然严重，现代独立招生考试制度发展滞后，现代企业制度调整下，企业生产与教育实训相互分离以及“双师型”教师队伍匮乏，课改的方向和标准转向于应用型，轻理论。专科院校在基本理论知识的讲解上偏废，学生更不明白这些应用的基础。

三、数学建模与高等数学课程融合教学改革的可行性

（一）于学生认知中适应

专科学生对问题有一定的思维理解能力，虽然数学基础薄弱，但是基本的原理通过讲解、观察、分析、归纳、整理、解决的思维模式是可以理解掌握的。通过案例与知识点的融合，案例要来源于生活，贴近生活，用学生自己的思维，构建对问题的理解，从而激发学生迫切解决问题的积极性。比如：随着高速公路的发展和个人汽车拥有量的增加，高速公路上交通事故量也随之增加，而在诸多交通事故中汽车追尾事故占到30%～60%，并且其造成的损失占高速公路交通事故损失的60%，因此如何预防追尾是一个十分重要的问题。

让学生体会：如果两个人都骑着电动车，行进中后面的人如何不追尾？学生会有很多的想法：离前面的人远一些；刹车到和前方车辆差不多的速度，反应及时一些；和前方车辆不要在同一条路线上行驶；上坡路上追尾的可能性小，车子刹车灵活一些；雨天的时候刹车会滑等。

接着，把天气是雨天的时候刹车会滑的因素简化，离前面的人远一些理解成与前车保持一定距离，刹车到和前方车辆差不多的速度表征为按照时间相等的话，速度和时间的乘积可以看成与前车的距离，也就是与前车保持一定的距离；反应及时一些是驾驶员的反应速度；和前方车辆不要在同一条路线上行驶固然可以，但是在高速上，大车如果到了小车道，会造成更大的危险，所有这个条件可以作为基本假设；上坡路上追尾的可能性小表征为路面问题，为了简化模型，我们以平路作为基本假设，车子刹车灵活一些，一般刹车系统不灵的车是不让上路的，也可以作为基本假设，天气是雨天的时候刹车会滑也可以作为模型简化的基本假设。

根据学生的发散思维，教师逐一对学生的想法进行归纳整理、简化，进而分成基本假设和基本变量两种，构造安全距离的因素建模。一步一步，引导思路，引发思考，让学生参与进来，学习函数，最后可以直观利用MATLAB软件教会大家画图。

（二）于实验中重燃对数学的兴趣

高等数学的实验教学可以通过软件，比如MATLAB，演示某些数学现象，比如极限的理解、连续的概念等，把高中固有的函数难的想法，破例重建。

比如函数的连续性问题，课本中比较函数的增量和自变量的增量的变化趋势讲解，学生认识不深刻，可以借助图形，比如y=sin（1/x），在x=0处是震荡间断点，属于第二类间断点。这个时候需要直观地看图象理解概念。

同时，MATLAB上教会学生画图象的代码：

x=-2*pi ∶ 0.01 ∶ 2*pi；

>> y=sin（1./x）；

>> plot（x，y）；

讲到可去间断点的时候，可以让学生自己用MATLAB编写y=sin（x）/x的图象代码。

代码实现对比改正：

x=-2*pi ∶ 0.01 ∶ 2*pi；

>> y=sin（1./x）./x；

>> plot（x，y）；

可以从图上看到，在x=0这个点是间断点，但是如果给这个点附一个值y=1，那么这条曲线就是一条连续曲线，这个间断点就是可去间断点。

比如：讲到函数的极限时候，对于第一重要极限可以通过图形的变化趋势动态看趋近的态势。

函数y=sin（x）/x以0为目标，分别从0-和0+两个方向趋于0的态势，得出极限值为1的结论。

引导学生对第二重要极限类比这个方法，观察态势。代码对比纠正如下：

>> x=0.2 ∶ 0.01 ∶ 10000;

>> comet（x，（1+1./x）.^x）

从上图可见（1+x）^x在x趋于很大的正数时候，函数值一直接近于某个值。

再比如：求解定积分时，明确了求解定积分的几何意义以后，可以从函数图象观察，求函数dx，可以先通过画的图象如下：

图形可以让学生更好地理解数学知识，可以通过软件演示或者验证一些结论，激发学生的学习兴趣，在建模过程中迈出了愿意学习数学的第一步。让学生感到数学不是那么枯燥乏味，而是需要自己不断发现，自己也可以慢慢做到的过程。

（三）于考核中促积极主动

一直以来，数学考核都是平时考核30%+期末考核70%，对于平时的过程性考核主要集中于考勤、平时表现和作业的检查，有时候学生有应付的情形出现，没有真正做到全过程性考核，而期末考试多数以闭卷为主，有的专科院校采取开卷形式，目的是测试学生的知识掌握程度。与贯彻落实“三全育人”成效方面多少有些不足。“三全育人”要求形成“全员育人、全程育人、全方位育人”的格局，目的在掌握数学理论知识的基础上，探索出知识全面、能力全面（重视学生的动手能力和实践能力）和品德全面的人才培养之路。

我们可以构建多元角度对学生和教师的RGF双向考核（见表）。

A.一R：

平时性考核（regular assessment）：考勤+作业+课堂表现，各占10%。考勤主要考察学生的出勤情况，占最基本的分数。从教师角度看，考察教师的受欢迎程度。作业主要考查学生的完成情况，作业的设置多以完成的完整度看学生的思维全过程性。从教师角度看，主要看讲解过程的完整性。课堂表现考查学生在完成任务阶段时的主动积极程度。从教师角度看，要看设置任务的难易程度。

B.二G：

分组实验报告考核（Group experiment report assess-ment）：在学习过程中涉及实验教学，那么实验报告的填写和完成从一定程度上反映各小组的协调合作能力，占到40%。实验报告中，有对实验的求解过程，有团队的分工过程，有心得、对自己的评价和对组内成员的评价撰写（有利于促进自我反思改进和听取小组其他成员对自己的考核和评价），同时，从实验报告中，教师可以了解学生学习的动态，另外考核教师在实验教学方面的成效。

C.三F：

期末考核（Final exam assessment）：占到30%，分为前半学期和后半学期。前半学期以理论掌握为主，期末考核以开卷为主，以软件操作完成数学课程的考核。后半学期以论文为主，以建模大赛为背景，小组合作形式完成为主。

在高职教育中实施数学建模融入教学的尝试，是在摸索中前行的过程，需要教师挖掘教材，搭配好相应的案例，自身了解软件，全方位调动学生学习的积极性和主动性开展实施好课程教学。

参考文献：

［1］顾丽娜.数学建模在高职数学课程中的教学改革与探索［J］.科技风，2023（26）：120-122.

［2］宁波大学数学与统计学院数学建模教研室.数学建模案例集锦［M］.北京：机械工业出版社，2022.

［3］李瑞，但炜.数学建模思想在高等数学教学中的探究［J］.高教学刊，2023，9（11）：112-115.

［4］.朱浩楠，王素，袁野，等.数学建模：教学设计与案例［M］.北京：中国人民大学出版社，2022.

［5］翟步祥.高职院校数学建模“赛、教、做”一体教学模式改革［J］.南通职业大学学报，2022，36（4）：26-29.

［6］朱善良，韩玉群，邢建民，等.数学建模活动促进教学与科研融合的研究与实践［J］.数学建模及其应用，2021，10（4）：38-42.

◎编辑 鲁翠红