基于Matlab 给定任意图的可靠性多项式分析

摘要：文章研究了基于Matlab的任意图可靠性多项式计算问题。图的可靠性多项式是一种数学工具，用于计算图的连通性、最短路径可靠性等不同可靠性度量。文章首先介绍了图论的基本概念和图的可靠性多项式定义，然后利用Mat⁃lab编程实现了对任意图可靠性多项式的计算，并据此判断图的可靠性。最后，通过具体案例研究，验证了该方法在不同图形结构和参数配置下的有效性和准确性，并探讨了该方法的局限性和未来可能的改进方向。

关键词：任意图可靠性多项式；Matlab编程；有效性和准确性；图的连通性

中图分类号：TP311 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2025）05-0048-03 开放科学（资源服务） 标识码（OSID） ：

0 引言

研究背景：在图论中，研究图的可靠性多项式有助于评估在给定节点或边失效的情况下，整个图的连接性和可靠性。可靠性理论是应用数学的一个分支，专注于评估和优化系统在各种失效情况下的性能和可靠性。在网络分析中，可靠性多项式用于计算或估算系统或网络在面对不同失效情况时的可靠性指标。Mat⁃lab提供了强大的工具箱，用于图论和可靠性分析，这些工具可帮助研究者建模复杂的网络结构，并利用可靠性多项式分析网络在不同条件下的表现。对于给定的无向图G=（V，E），其中V是节点集合，E是边集合，可靠性多项式R（G;p）是关于失效概率p的多项式，描述了在给定失效概率下，图G的连接性和可达性。例如，对于网络中节点或边具有独立失效概率p的情况，可靠性多项式可用于计算或估算不同失效概率下网络仍保持连通或满足特定要求的概率。研究图的可靠性多项式不仅是理论探索，也是实际系统设计和优化的重要工具，尤其在大规模网络和复杂系统中。

研究目的：可靠性多项式可用于评估系统在面对节点或边失效时的连接性和可达性。通过计算可靠性多项式，可评估给定图网络的可靠性。对于工程设计师和系统优化者来说，了解网络可靠性是设计和改进网络结构的关键。通过分析可靠性多项式，可识别影响系统可靠性的关键节点或边，从而进行有效网络设计和优化。Matlab在研究和计算可靠性多项式时具有显著优势：具备强大的数学计算功能，能处理复杂的数值和符号计算，适用于推导和求解多项式表达式；提供了专门用于图论和可靠性分析的工具箱，简化了图的建模和可靠性分析过程；是一种灵活的编程环境，研究者可轻松编写自定义脚本和函数来扩展分析功能，适应不同研究和应用需求。本文旨在利用新方法判断图网络的可靠性，探讨如何利用可靠性多项式生成对应的可靠性特征值来分析任意给定图的可靠性，以及在此过程中应用Matlab的方法和技术。

研究方法：本文巧妙运用Matlab的数学计算功能和编程工具，通过给定任意图的邻接矩阵构造对应的可靠性多项式，生成可靠性特征值，并通过分析特征值来确定图网络的可靠性。若可靠性特征值全为非零整数，则图网络可靠；若存在一个或多个特征值为0，则图网络不可靠。通过本文研究，读者将深入理解可靠性多项式的工作原理，并学会如何利用现代计算工具（如Matlab） 从实际数据中提取有价值的信息。

1 相关方法概述

在判断任意图可靠性的过程中，图的可靠性直接影响最终判断的准确性。为提高图的可靠性判断准确性，须进行一系列预处理操作。通过图的邻接矩阵，在Matlab的坐标区生成对应图形。经过预处理，可准确观察图的连通性和各顶点的度，有助于后续生成对应图的可靠性多项式、通过多项式生成特征值、判断图是否可靠。

求可靠性多项式的特征值是判断图可靠性过程中的关键步骤。设简单图G=（V（G），E（G）），其中V（G）代表图G的顶点集，E（G）代表图G的边集，|V（G）|为图G 的顶点数，|E（G）|为图G的边数。设A（G）=[aij]是给定任意图的邻接矩阵，其中aij=1当且仅当顶点Vi 和Vj 相邻，否则aij=0。记邻接矩阵A（G）的特征多项式为P（A（G），λ）=det（λI-A（G））=|λI-A（G）|，其中I为单位矩阵。生成对应特征多项式后，可清晰看到各项系数，为求特征值提供方便。

在求取特征值方面，有多种算法能精确求取特征值。线性代数方法论通过观察对应图的邻接矩阵来分析其特征值情况，而文献[1]则通过观察图的邻接矩阵是块对称矩阵来求取对应特征多项式的特征值。文献[2]提供了非回溯矩阵中心性的可靠性研究，对本文求取可靠性特征值有所帮助。

在判断图是否可靠方面，网络可靠性能力是评价网络性能的重要指标。通常采用的方法是求取给定任意无向图的最小割（MC） 集来判断图的可靠性。文献[3]提供了一种高速、简单的求取最小割的算法。MC在图论中也有其他应用，在计算机视觉和图像处理中，最小割算法广泛用于图像分割。图像可看作加权图，其中像素点相邻的权重表示它们的相似性。求取一个图的最小割能准确判断图的可靠性。文献[4] 的Matlab编程技巧对本文利用Matlab编程展示可靠性结果有所帮助。文献[5]利用Matlab编程进行总体设计框架展示，对本文具有重要意义。

2 总体设计方案

本文中，给定任意图的可靠性系统总体设计包括用户注册登录、修改用户相关信息（包括用户名和密码） 、任意图可靠性判断、特殊图可靠性判断以及空图可靠性判断。首先，在注册界面，系统会在数据库中完成用户注册，包括用户名和登录密码的录入。随后，用户进入登录界面，输入注册时的用户名和正确密码完成登录，进入主界面。若注册密码过于简单，用户可进入修改密码界面重新设定密码。本文对密码设置进行了相关限制，密码不能为空，长度必须大于6位，且不能为连续数字。进入系统主界面后，用户可输入图的邻接矩阵生成图形，系统根据输入的图形生成对应的特征多项式，并计算特征值。通过判断特征值的情况，输出可靠性系数。如果可靠性系数为1，则说明输入的图是可靠的；若可靠性系数为0，则说明输入的图是不可靠的。总体流程如图1所示，该过程采用Matlab 2023a软件实现，并在Windows 11系统环境下完成。

2.1 注册登录

进入Matlab注册界面，用户输入想要注册的用户名和密码。注册成功后，进入登录界面，用户可在此界面修改用户名和密码，也可直接进行登录操作。在注册时，用户名和密码的设置须满足一定条件，如密码长度不能低于6位，用户名不能为连续数字等。注册成功后，点击登录按钮即可跳转到登录界面进行登录。

在登录界面，用户须正确输入注册时的用户名和密码，点击登录按钮后，系统会提示登录成功并跳转到主界面。同时，用户在登录操作时，密码须满足长度限制条件，不能为空且长度不能低于6位。若用户输入连续数字作为密码，将无法完成登录，系统会提示登录失败并停留在登录界面。

2.2 修改用户信息

在Matlab修改密码界面，系统首先会获取用户的用户名。用户须两次输入新密码以确认一致性，若两次输入不一致，系统会提示错误。密码设置须满足长度限制，不能为空且长度不能低于6位，否则会提示密码长度须大于6位，并要求两次密码保持一致。修改成功后，系统会提示修改密码成功，点击右下方的退出按钮会跳转至登录页面，此时用户须重新输入更改后的密码进行登录。

2.3 任意图可靠性判断

输入图形的节点矩阵和邻接矩阵，点击“生成图形”按钮会生成相应的图形，并通过输入的邻接矩阵生成对应的特征多项式和计算对应的特征多项式的特征值以及计算对应的可靠性系数，在输出系统中输出特征多项式的系数、矩阵特征多项式的值、可靠性系数的大小，通过对可靠性特征值的判断来确定一个图网络的可靠性，完成对可靠性特征值的判断后生成可靠性系数，如果可靠性系数为1，说明此图网络是可靠的，如果可靠性系数为0，说明此图网络是不可靠的。

2.4 完全图的可靠性判断

输入完全图的节点矩阵、邻接矩阵，点击“生成图形”按钮会生成对应完全图的图形，图形生成后会通过对图形网络拓扑的分析生成其特征多项式的系数、特征多项式的值、可靠性系数，通过对可靠性特征值的判断来确定一个图网络的可靠性，完成对可靠性特征值的判断后生成可靠性系数，如果可靠性系数为1，说明此完全图是可靠的，如果可靠性系数为0，说明此完全图是不可靠的。

2.5 空图的可靠性判断

输入空图的节点矩阵、邻接矩阵，点击“生成图形”按钮会生成对应空图的图形，图形生成后会通过对图形的计算得出其特征多项式的系数、特征多项式的值、可靠性系数，通过对可靠性特征值的判断来确定一个图网络的可靠性，完成对可靠性特征值的判断后生成可靠性系数，如果可靠性系数为1，说明此空图是可靠的，如果可靠性系数为0，说明此空图是不可靠的。

3 实验结果展示

本文的实验数据部分来源于Matlab 端，通过输入图的邻接矩阵生成对应的图形，然后对应生成相应的可靠性多项式系数和生成对应可靠性多项式的特征值，通过判断对应的特征值的情况来确定给定的图是否可靠。为了避免造成隐私信息泄露，本文在进行实验前对相应的实验数据进行了加密保护。由于输入的图的邻接矩阵不相同，所以得到的数据结果也不同，图形的可靠性也不同。因此，在实验开始之前，要先确定好图形的邻接矩阵，保证可靠性数据大小的统一。本文中所展示的数据仅用于此次实验，图2～图3分别展示了给定的顶点数为3的任意连通无向图可靠性判断、顶点数为4的完全图可靠性判断。

4 结束语

基于Matlab的给定任意图的可靠性多项式生成系统旨在生成给定任意图的可靠性特征多项式，并求出对应的特征值。可靠性特征多项式用于描述图中的连接可靠性。系统输入一个图的邻接矩阵，计算其相应的可靠性特征多项式，最后通过求特征多项式的特征值来判断网络拓扑结构的可靠性，分析无向图网络拓扑结构信息。在Matlab软件中实现了用户注册登录、修改用户相关信息（包括用户名和密码） 、给定任意图的可靠性判断、特殊图的可靠性判断、空图的可靠性判断等功能。通过判断特征值的情况来确定图形的可靠性。最后，通过实验验证了本文使用的方法能够准确、快速地判断给定任意图的可靠性情况。

参考文献：

[1] 伍亚魁，简芳洪.几个关联图的特征多项式和特征值[J].九江学院学报（自然科学版），2015，30（1）：50-52，71.

[2] 彭浩，钱程，赵丹丹，等.基于非回溯矩阵中心性的超图可靠性研究[J].网络与信息安全学报，2024，10（1）：22-32.

[3] 雷进军，张伯泉.查找无向图中所有最小割集的一种改进算法[J].现代计算机（专业版），2013，19（4）：31-34.

[4] 李红科，王庆春.基于Matlab的FIR数字滤波器设计[J].微型电脑应用，2024，40（5）：85-87，103.

[5] 张文俊，李小兰.基于Matlab的车牌识别系统设计与实现[J].电脑知识与技术，2024，20（15）：106-109.

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