数学绘本：数学教育的一颗糖

摄影·白渺

胡玲玲的小儿子今年5岁。暑假期间，几乎每个上午，在小孩子精力最足的时候，她都会拿出数学绘本和他做游戏。最近在读的一本叫作《鼓鼓和蛋蛋的梦想》，鼓鼓是一只狼，蛋蛋是牧羊女，表面上是一个“狼吃羊而不得”的故事，实际要表现“数的集合与分解”，也就是加减法。“蛋蛋有10只羊，鼓鼓跟她说，他要把10只羊抓走。蛋蛋说她要和羊群告别，让他第二天再来。蛋蛋再来时，她把羊群分成了5只和5只，告诉鼓鼓，她的羊是10只，但这里的羊是5只和5只，她把别人的羊带来了，不能把羊交给他了。鼓鼓看见两堆羊群，觉得确实如此，挠了挠头。”胡玲玲一边按绘本上的图画讲，一边观察儿子的反应。儿子看见分出来的两堆羊，自顾自数起来，她赶忙又从厨房拿来一把黄豆，引导儿子从数羊到数黄豆，小孩子数得不亦乐乎。

《鼓鼓和蛋蛋的梦想》不到30页，卡通人物五彩斑斓。它从韩国翻译过来，是一套36本的《数学绘本》丛书中的一本。那套丛书里，分类、测量、计算、统计等方面的知识一应俱全，俨然一套成体系的数学教材。书中却没有教材中的数学概念，也没有练习，只有童话书里出现的魔法和公主，以及从日常生活中提炼出的可爱图案。市面上的数学绘本都与此类似。即使不是成套的系列，也基本都是用具象的图画表现一些抽象的数学概念或相关的数学能力。相比故事绘本，它也有情节，不过更像是一个个带着问题的情景，往往要求孩子动手，不是做剪纸，就是对着图案指认，引导孩子边看边思索，解决绘本中提出的问题。

“随着剧情深入，鼓鼓明白5只和5只也是10只后，蛋蛋又把羊群分成7只和3只，那时孩子已经理解它们加在一起也是10只，就会笑鼓鼓又一次分不清。甚至有一次他坐在餐桌前，自言自语地说家里有6个人吃饭，而那时爷爷奶奶还在厨房，说明他已经能将数字6的概念和家人对应起来，是数感的飞跃，那正是小学一、二年级要求的能力。”胡玲玲对数学绘本潜移默化的作用十分欣喜。

她在成都做初中数学老师，从小儿子三四岁就开始做类似的游戏。她发现4岁到7岁的孩子最合适读数学绘本。因为按照发展心理学家皮亚杰的理论，2岁到7岁的孩子处于前运算阶段，能使用语言及符号等表征外在事物，但认识不到可逆性，以自我为中心，能思维但不合逻辑，不能见及事物的全面性，当孩子长到7岁以上，一般才会进入具体运算阶段，能理解和运算。而更进一步的研究显示，那是儿童学习的敏感期，三四岁之间，是空间和逻辑思维的敏感期，小孩热衷探索空间并不断地问“为什么”；4岁半至7岁是数学概念和逻辑的敏感期，对数字、数量、形状、顺序和关系都很敏感。在这个时期，数学绘本图画多、字少，很是吸引孩子。

而作为上世纪70年代末生人，胡玲玲与绝大多数中国家长一样，对儿时数学课本的印象，不过是零星用于举例的图画，与周围生活隔着十万八千里，甚至典型如“鸡兔同笼”的情景，也会让“较真”的孩子不明所以。虽然《鼓鼓和蛋蛋的梦想》在2009年就已有中文版，放眼全世界，日本“国宝级艺术家”安野光雅创作的《走进奇妙的数学世界》创作于上世纪80年代，而美国的《汉声图画书》自上世纪70年代初出版就风靡北美。这些数学绘本大都由数学教授或专业机构与插画师合作完成，有时会成为外国小学教材的一部分。但她在六七年前，给当时即将上小学的大儿子启蒙数学时，视野中也只有带图画的练习册，孩子只能在练习册限定的场景里勾勾画画。

“原来这也是数学”，是数学绘本带给她最直接的震撼。虽是专业人士，数学原本给她的印象不过是做题，自己对数学的兴趣，仅仅源于解题好带来的自信，与此相对的，则是解题不好的学生对一系列概念的不明所以，伴随着对数学的恐惧。但在数学绘本里，胡玲玲看到，有些绘本介绍“什么是数”时，没有论述，书页之间用图画缓慢地过渡，先是画出枝头上的5只鸟，自然而然地鸟飞走了，又来了5只另外的动物，一页接着一页，孩子慢慢明白，这些图画的共同之处是5。“连《鼓鼓和蛋蛋的梦想》也能扩展出更多的游戏，剧情中鼓鼓和蛋蛋最终成为朋友，帮助成就彼此的梦想，鼓鼓的梦想是出书，蛋蛋的梦想是四处旅行，于是他们一起做了一本书，然后到世界各地去卖。剧情发展到这一步，家长可以‘顺理成章’地带着孩子自己做一本‘书’，比如把羊群分成更多堆，当作给孩子的练习。”

如今像胡玲玲这样痴迷数学绘本的家长不在少数。2012年前从深圳开始推行“阅读推广人”培育计划，培训各行各业的人在业余时间，向公众传播阅读理念，提升青少年儿童的阅读兴趣和阅读能力，随后由阅读推广人组建公益组织陆续在全国兴起，走进社区、为家长、孩子办讲座。在这过程中，绘本走入家长的视野，2014年前后绘本开始在中国掀起热潮，一年出版千余种，又过了四五年，绘本中的数学绘本品类逐步走进家长的视野。玲玲便是成都的阅读推广人，她从2017年接触数学绘本，2018年在成都的社区里开展儿童读书会，带领孩子读数学绘本，一年多以前，又不定期开展成人读书会，一边带着自己的孩子读数学绘本、了解孩子的反馈，一边把经验传授给其他家长，每次参与的家长有数百人。

而在上海，从中科院脑高级功能研究专业毕业的大陆老师从2017年开始在线下为家长开课，教授家长教育幼儿阶段和小学阶段的孩子。数学绘本是她会运用的一大手段，如今她录课给家长看，相当一部分课程，也是教家长如何带读。仅她一人，至今培训过的家长就已过万，她每天活跃在各个家长群中，看家长们“比拼”孩子读过的数学绘本。

像胡玲玲一样，她十分重视学龄前后的孩子的数学启蒙，会为即将上小学的孩子做一个二分法的测试，看孩子能不能把物体分成“是什么”和“不是什么”两类，检验孩子是否具备分类能力，因为那是学习小学数学时重要的逻辑支撑。“家长辅导数学不够全面，一般都偏向认识数和运算上，不太会启发孩子几何直观的能力，还有像分类等数理逻辑。数学绘本对家长已是一个很好的辅助，甚至一、二年级的孩子，家长仍可以在课后用数学绘本带孩子巩固知识。”

大陆老师口中的“数”“运算”“几何直观”，都是义务教育的课程标准中涉及的教学内容。虽然幼儿园到小学低年龄段，孩子更易于接受图画和动手的形式，但究竟用绘本的形式呈现数学概念，为何就能够提高数学能力？那还要从数学概念本身说起。从直观到抽象

胡玲玲曾在面向家长的讲座上抛出一道初二下学期最普通的计算题“x-1/x-2=m/x-2，已知解是非负数，求m的取值范围”，她问家长解出这道题需要掌握多少概念。当她说，如此简单的一道题背后，需要理解“方程”“分式方程”“整式方程”“整式方程的解”“分式方程的解”“不等式组的解”6个数学概念时，家长们都深感震撼。她希望家长了解的是，数学学科体系是靠环环相扣的数学概念搭建起来的，一道题对错的背后，真正需要考验的是学生对于数学概念的理解。

数学大厦的第一块砖，则是小学一年级数学首先要认识的数。

“在教写数字的时候，我在PPT上放了一些《DK玩出来的百科：玩转数学》中的内容，讲到人不是天生会用数字，有些非洲部落用身体的器官计数，一一对应到27，就数不下去了，后来人们反思，随着人口的增加，数量无法表达，大家用各种不同的东西对应数字，部落之间交流也会有麻烦，于是才有了数。然后我又展示不同文明对1、2、3、4、5的写法，我问他们有什么发现，他们会发觉古印度的数字符号与如今使用的阿拉伯数字长得最像。于是，我一方面在展示这些不同的数字符号时，告诉孩子们数字符号不是自然而然的，而是人为根据需要创造的；一方面也告诉他们一个知识点，如今的阿拉伯数字源于古印度，又被阿拉伯人传到欧洲，被‘以讹传讹’叫作‘阿拉伯数字’。”成都实验小学数学老师蒋雨琪是学校里系统使用数学绘本的先驱，她把认数字变成了一堂“历史课”。

蒋雨琪坦言，2010年至2014年在大学读书期间，她就发现随着课程改革的深入，老师被要求运用更多的教学材料，一线老师向他们分享教学经验，慢慢就从如何运用教材，转向如何开展综合实践活动，带着小孩在玩中学。而当她走上讲台，2017年她在学校开展数学社团，举办各式各样鼓励学生动手测量、绘画的数学实践活动，数学绘本也成为其中的一种手段。向孩子们展现数字的历史，主要为吸引孩子的注意力，因为幼儿园阶段，孩子都已对阿拉伯数字司空见惯。

而就像胡玲玲在讲座上提醒家长的一样，即使在小学课堂上，破解“理所当然”是她总要做的工作。因为心智早已成熟的家长，往往忘记像“数”“量”，乃至“加减乘除”的概念和它们对应的符号，实际都是建构的产物，反而将其视为自然而然。由此造成的结果，是家长超前教学，却收效甚微。

她遇到过一个极端的例子，一位家长曾打电话向她倾诉苦恼，小孩子入学前，她给孩子报班，学习了100以内的加法，那本是一年级下半学期才学的内容。暑假期间孩子学会了，却在开学一个月内都忘光了。

从认知行为研究与脑成像的研究上看，由大脑双侧顶叶区域支持的数学思维是人类天生的能力，幼儿时期的人类顶叶区域就有选择地加工实物的数量信息，尚在摇篮里的小孩子也能理解把俩玩具放在一起，比一个玩具多，伴随语言发展，幼儿在3岁左右会点数，数学的抽象能力就能被观察到。而根据中国教育部制定的2022年数学课程标准，小学生要获得运算能力，具备推理意识也确实需要后天大量训练。

但蒋雨琪分析，像100以内的加减法，小孩子一时的掌握，是像背课文一样的机械记忆，若能自如地运用，则需要理解加号的意思、数位的意思，并在此之上，了解满十进一的原理。而理解诸如“数”“数位”这样的概念，就是与掌握语文课本中“花”“草”“字”“词”之类可以直观的日常概念不同，它们需要一定程度的抽象，在家长看来的自然而然，对于孩子却要专门培养。运算行为本身，更需要逐步地理解。按照中国教育部制定的2022年数学课程标准，通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力是对初中生的要求。对于小学生，首先要具备数感、量感和符号意识，为形成完整的抽象能力打基础。而“明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系，能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题”，这样的运算能力则是贯穿义务教育阶段始终的目标。

培养这些能力的训练却不仅是做题。当认知心理学分析3岁至7岁的孩子，心智上更倾向于图像与动手活动时，脑科学的研究提供了器官功能层面的解释。北京师范大学认知神经科学与学习国家重点实验室教授、国际数学认知与学习协会（IMCLS）理事周新林曾著文阐发，数学活动是多个脑区的共同作用，脑区间的功能连接强度与数学能力息息相关，甚至可以依此判断儿童学习数学的效果，因而数学教育也应同时涉及情景、符号和言语，“情境化的数学，是在具体的生活情境中解决数学问题，与推理、言语理解及情境记忆等都有密切的关系，其脑机制与额叶、颞叶、海马等区域有关，比起纯算式的问题，学生更容易回答有情境的数学问题；数学教育的符号化，则包括了数字数量加工、数学计算、符号加工推理等内容，当进行判断‘2，5，8，11，下一个是什么？’之类的数字归纳推理任务时，顶叶区域会被显著激活；言语则是对二者融合的调和，不论是数学应用题等情境化内容还是数字符号计算、推理等符号化内容的加工，都一定程度地激活了大脑言语加工脑区，激活了大脑中的语义网络。”

周新林在论文中介绍，学前数学主要涉及情境化数学和言语化数学，“做中学”是主要方法，而对于一、二年级的学生，适度的“做中学”也有必要。这恰是数学绘本的价值所在，它的故事场景大大拓展了小孩子身边所面对的数学情境，它“邀请”家长带着孩子探索，不提出抽象的数学概念，只是循循善诱地让孩子直观体验抽象的过程，积累领悟一个概念所需要的数学经验。可以作为小学教材的补充。

“比如《走进奇妙的数学世界》中有一部分介绍抽象的点，作者不断用点组合成各种各样的图案，最后告诉读者，一个东西可以用点来代表。”蒋雨琪说，“在学校使用数学绘本，因为要教概念，一般也会在解释新概念前，把带着孩子读过的数学绘本当作例子引入，把数学绘本中弱化的数学概念明确出来。甚至学生在二年级的时候会普遍对《走进奇妙的数学世界》中‘魔药’的章节感兴趣，那里有两种假想的药，分别让物体横向和纵向伸缩，将它们按照不同的比例混合，再涂抹在各种东西上，然后就出现了各种神奇的伸缩变换了，其实就是比例。当六年级教‘比例’时，我会直接把‘魔药’的章节拿出来，说要教他们一个二年级时就了解的概念。”

效果往往出乎意料。蒋雨琪记得，二年级时，她带孩子们用各种各样的图案认识长方形、正方形、平行四边形，突然有几个孩子问她，“长方形、正方形、平行四边形都是对边相等，它们的‘亲戚’？”她意识到，孩子们能够归纳并提出合理的假设，这已经是四年级才要求掌握的能力。

2021年全国推行“双减”政策后，一、二年级没有课后书面作业。蒋雨琪发现，学校里老师向她借电子版的数学绘本的情况越来越多，数学绘本恰可替代课后作业，做法与胡玲玲、大陆老师教家长的办法，大同小异。但无论是根据皮亚杰的理论，还是脑科学的研究，7岁以后，孩子更能实现直接运算，学生也主要面对课本，符号化数学和言语化数学的教学比重也更大。似乎数学绘本只是一个幼儿园到小学阶段过渡期的“拐杖”吗？

在蒋雨琪的教室里，她为数学绘本搭建了一直可以通向初中数学的阶梯。如今那里有500本绘本，每年还会更换，其中一部分是数学绘本，她根据绘本中文字的多寡，分成3个阶段。对于一、二年级的孩子，她会带着他们使用像《走进奇妙的数学世界》那样文字少的绘本，三、四年级后，教室里有像《DK玩出来的百科：玩转数学》《唤醒数学脑》那样的工具书和游戏书，孩子们可以随时拿起来看，逐渐形成数学知识体系，有些像“无穷大”的概念，甚至可以达到高中的水平；五、六年级时，则会有像《无穷的画廊——数学家如何思考无穷》之类涉及数学哲学的书，展现数学世界本身的美，她会推荐给有兴趣的孩子看。

蒋雨琪丝毫不担心超纲，因为虽然数学概念环环相扣，但数学经验却不分先后，它能将复杂的概念，让低年级的学生体验。比如在安野光雅创作的“美术数学”系列的《三只小猪》中，作者将苏格拉底化作大灰狼，毕达哥拉斯化作青蛙，苏格拉底的妻子要他俩抓5个房间里的3只小猪。绘本用41页的篇幅，逐步将思考方式和所有的210种情况一一用图画和少量文字呈现。最后在后记中说，这是关于排列组合的绘本，相关的知识一般出现在高中的“概率和统计”课上，而绘本的目的是，“不断调换小猪的位置，刚开始的排列方式很容易就忘记，所以最后最好能够统观全局一次……可是不仅仅是看绘本，小猪进入房间的各种方式也可以直接实际演练一下。一边假设自己就是小猪，一边按照顺序把所有可能的情况都排列一下，很自然地就能掌握排列和组合的基本观点和知识。又不是在参加数学考试，根本不用在意分数什么的，所以可以悠闲地享受这个过程，等待有关排列组合的观点慢慢地在脑海中自然涌现”。

“就像当年高二的时候学排列组合，老师知道我们都是从小学‘奥数’上来的，对我们说，‘今天讲的东西是你们小学四年级学过的’。”高思教育的小学数学老师、高思学校竞赛课本执行主编曹文雯虽然小时候没有接触过数学绘本，但对它给学生带来的体验一清二楚。她从小就走的“奥数”道路，一路读到北大物理学院，学习天文，毕业后仍对趣味数学心心念念，喜欢小孩子的她进入教育机构，从事培训数学竞赛，至今15年。最近两年，她发现习惯使用绘本教育孩子的家长，也对让孩子用数学绘本提升能力感兴趣，她在作培训时，遇到内容太枯燥，也会带着学生共读数学绘本，或是跟学生一起动手制作。

曹文雯知道，小学奥数原本是将复杂的概念下放到低年级，甚至像排列组合的问题，在教学大纲中是“搭配”中会简单涉及的，但书本上只有一页，讲两件衣服配三条裤子，更难的情况就是超纲，反倒是数学绘本能把这些知识“拾”起来，“小学生对这些概念的了解，不要求运算，而是感受”。

类似的体验，能一遍遍将抽象的数学概念、原理拉回到贴近现实的场景。这能避免曹文雯在小学六年级就看到的情况，数学已经在学生心里退化成符号之间的“打架”——当她提到要学分数，学生哀号着不想学，她说，“没事儿，没事儿，咱们学‘1/2+1/2’，‘一半加一半’”。

而将数学概念、原理与实际问题结合，更重要的意义在于形成提出问题、解决问题的能力。在小学阶段，只有数学具备这样的潜力。“以前学数学是为了培养技术工人，孩子只要学会程式化的运算就可以，算得越快越好，但现在社会发展迅速，20年后的职业，现在的人难以想象，所以要培养学习新知，解决新问题的能力和技巧。”曹文雯说，数学乃至所有理科的特点，都是由一系列抽象的概念搭建起来的大厦，抽象、分类、归纳的过程，最终都是为了解决问题。

义务教育数学课程标准中，对此有明确的界定，数学课程的目的是要培养学生的核心素养，像抽象能力、几何直观、空间观念等数学眼光，是为了能够形成对数学的好奇心与想象力，主动参与数学探究活动；运算、推理能力等数学思维，则是为了用数学方法，分析、解决数学问题和实际问题，乃至形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神；而数据意识、模型意识之类的数学语言，其目的是为了能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题，会用数据的分析结果解释、预测不确定现象，形成合理的判断或决策。

这与安野光雅创作《走进奇妙的数学世界》，将艺术与数学概念结合时的初衷若合符契。他说，“数学”一词对应的英文mathematics，词源并没有数学的意思，也不局限于数量和图形，而更接近于求知和思考方法的意思。蒋雨琪已有所体会。她记得，当教孩子钱的单位时，孩子们受数字符号发展历史的启发，向她抛出一个很难在数学课上出现的问题：“为什么‘一元钱’的单位是‘元’，但一元钱硬币上写的却是‘圆’？”

（参考文献：周新林，《脑科学启发幼儿数学教育》《脑科学为数学教育提供依据》；感谢马翔、黄锐等人对本文的帮助，实习生石震方、张阡煜对本文亦有贡献）