一个数学家如何思考“适者生存”

该表扬谁？

2024年1月2日，北京一所创新教育学校的六年级教室里，41岁的罗博深开始了他的即兴课堂。这位卡内基梅隆大学数学系终身教授、美国前奥数队总教练热衷挑战和创新。一如往常，没有任何课前准备。他计划现场向学生们收集问题，由此拓展为一堂40分钟的集体头脑风暴。

可邀请发出，一时无人响应。罗博深并不意外，这不是他首次到访中国学校。新的对策很快提出，“如果真的没有问题，我想玩个游戏。”这个班有二十来名学生，罗博深用粉笔写下9个数字，分别是1到9，随后将学生平分为两组。游戏规定，每组交替选择一个数，每个数只能选一次。若一组选择的数字组合中有3个之和为15，则该组获胜。

气氛很快活跃起来。一开始，大家选择数字还比较随意，而当组合里的数字逐渐增多，双方的应对策略便从积极争取己方胜利转为被动地封堵对方。游戏以平局告终。

第二回合，小组间的讨论愈发热烈，很多人都在写写画画，在选数时也更犹豫了，希望尽早争取那些胜算更大的数字。可由于需要考虑的情况很多，加上没有太明确的策略，游戏推进得很缓慢。最终，双方依然在彼此的封堵中战平。

孩子们嚷着“再来一局”，但课堂时间有限，罗博深不得不暂停。游戏是跳板，他希望展示一种不一样的思考和解决问题的方式。白板上出现了一个九宫格。在罗博深的引导下，孩子们很快填满了表格，使得每行、每列及对角线的和均为15。这样便获得了一个自动选数的工具。游戏策略一目了然。

开课前的几分钟，罗博深一直在浏览走廊里的各种教学主题展。在无法掌握不同国家不同学校的数学学习进度和教学风格的情况下，他会靠这种方式来获取信息，高效且直观。上述游戏的灵感正是源自墙壁上张贴的数独练习。

“我很喜欢这个游戏，因为它需要大家聚在一起，一直思前想后。如果具备数学思维，游戏过程中那些繁复的计算完全可以简化。数学可以帮助你成为一个善于分析和解决问题的人，这会给你的生活带来很多便利。”罗博深总结道。

游戏的揭秘环节在高低起伏的“哦”声中结束，没人意识到课堂已接近尾声。还余下几分钟，罗博深再度尝试收集问题。这次，几乎是话音刚落，问题就来了。一名男生好奇“开根号”的概念。这是六年级课程尚未涉及的内容。

“啊？根号是什么东西？”一个女生大声问道。

“一个数乘以它自己，如果把得到的积开根号，就等于这个数。比如2×2=4，那√4=2。”

那个女生一下反应过来，“那√9就是3！”

“对！”罗博深迅速回应道。

“我太聪明了吧！”女孩眼里闪着光。

进一步，罗博深开始解释“根号”在日常生活中的运用，“比如知道一个正方形的面积，我们就可以通过开根号来求它的边长。又或者大家分东西，每人持有的数量相同，且这个数量和人数一样，也可以开根号。”接着，他抛出新的疑问，“如果这个数很大，我们该怎么开根号呢？假设一个正方形的面积是324，我们要怎么计算边长？”

“16。”教室靠后的位置轻轻飘过一个声音，来自一个慕名前来旁听的低年级学生。开课前，送他来的老师曾给授课班的班主任打过招呼：这个孩子正在学习奥数。

“你怎么知道？”几个邻座的男生嘀咕着，投来艳羡的目光。而讲台附近，罗博深未曾停留，仍在引导大家继续思考。

课后，该校组织了数学教学交流活动。在回答关于“课堂如何培养学生数学思维”的问题时，罗博深主动提及了他刚才对两种回答的不同反应。

“那个脱口而出答案的孩子确实很厉害，但作为老师，我们需要鼓励的不是那些能以最快速度给出答案的人，这样的学生或许只是一个超前学习者，我们不能因此判断他是不是真的喜欢思考陌生的问题。如果我听到他的答案，立马称赞‘真棒，你是最聪明的！’容易给孩子和家长带来一种错觉，他们会认为最好提前学，这样上课时好像什么问题都会答，老师就会夸我。我不希望其他学生那么快地听到答案，我希望大家都能享受思考的过程。我更愿意鼓励那位女生是因为，当她接触到一个全新的知识后，她主动提出了一个新的问题，并且自己解决了那个问题。”

在卡内基梅隆大学，罗博深教授的课程之一是普特南数学竞赛（注：北美地区最权威的大学生数学竞赛）。与这堂小学公开课类似，他会准备一两道竞赛题，然后引导班级讨论，“每个学生的思考都会决定课堂走向，‘意料之外’是最有趣的，而非只有老师单向输出，教授一些思维的套路。”

该模式能顺利运转，前提是学生们不惮于分享那些“还没通的思路（half big idea）”。这与老师在课堂细微处传递出的教学理念息息相关。“学生们提出任何解题想法，我都会写到黑板上。如果思路有问题，我也不会立即指出。我会等到其他同学对此存疑时，才带着大家一起分析。即便错了，大家也不会笑话那个敢于提出新思路的同学。因为我们需要这些想法让头脑动起来。”罗博深认为，这种教学方法的好处在于，学生不再只是被动地记住解题步骤，而是在不断提出和检验新想法的过程中，理解不同方法的原理和误区。

不过，要在中国践行这套理念，不仅要求教师自身提高对数学的理解深度和由此而来的应变水平，也考验着在既有的教育选拔机制下，以老师为终端之一的社会系统，要如何应对应试化和功利化的教育价值导向，如何处理教育评价和目标错位带来的压力。即便在北京这所以创新教育理念闻名的学校，老师们也有诸多无法摆脱的束缚。许多问题如鲠在喉。答案并非不明确，问题却仍在各种掣肘中被无视和固化。

在场的一位老师分享起自己不久前在咖啡馆的见闻。当时，她隔壁桌的一个小学生有道数学题不会做，家长反复讲了好几遍，孩子就是不明白。这位数学老师上前帮助，得知孩子在北京一所知名小学上五年级。“我问他面积到底是什么意思？乘法的本质含义是什么？他答不上来。他算过很多道面积题，但从未真正理解。这就是我们数学教育的一种普遍现状。”

“基因彩票”？

那么，又该如何衡量一位“数学神童”的教育建议在大众层面的可借鉴性呢？

这次中国行，罗博深另一个最常被问到的问题，便是如何看待天赋在数学学习中的作用。对很多焦虑的家长而言，天赋差异是最后一味苦涩的心理安慰剂。

从任何角度评价，罗家都称得上是对“基因彩票”的完美诠释。罗博深的父亲曾是新加坡高考状元，移居美国后在威斯康星大学麦迪逊分校任统计学专业教授，母亲毕业于新加坡大学（新加坡国立大学前身）数学系，移民美国前是新加坡一所高中的数学老师。罗博深高中时曾参加国际数学奥林匹克竞赛并摘下银牌。他的弟弟和妹妹学生时代也在全美奥数竞赛中成绩斐然，如今分别在哈佛和剑桥任教授。

罗博深并不认为“天赋”能解释一切。某种程度上，那位在咖啡厅里遭遇“灵魂发问”的五年级学生所陷入的数学学习困境，他并不陌生。

上世纪80年代，威斯康星州的华人数量还很少。担心无法适应移民生活，未来或许需要回到实行教育分流制度的新加坡，母亲很早就开始了对罗博深的数学启蒙。最初，他学习数学的方法很传统，就是“看例子然后做练习”。虽然并不排斥，但每次完成母亲布置的练习册后，他总有如释重负的感觉。

他还记得自己四年级的一段时间，有一个题型始终无法攻克。“我自认为学会了那个方法，但我并不真正理解为什么要那么做，所以当我想要套用那个方法解决一些似曾相识的题目时，总会犯错。”

直到五年级的一天，父亲给罗博深出了几道“很奇怪”的题目。当他发现连母亲都需要坐下来思考很久、需要与他一起讨论怎么解题时，“就觉得很好玩。”这是和以往“刷练习册”截然不同的解题体验。

自那以后，罗博深的数学训练转向初中数学竞赛题。这些题目常常需要思考半个多小时。每当他做题时，母亲都会跟他一起讨论，就像一个团队。如果实在没有头绪，母亲会参考答案给些提示，“那些提示不足以完全解决问题，但可以让我再想多一些。”

这些需要更深思考的“奇怪”题目让罗博深真正体会到数学的乐趣。“很多孩子做数学题靠的是记忆力。小时候背乘法口诀、三角形面积公式，稍大些背一元二次方程求根公式，到了高中，三角函数的公式能写满一张纸。如果一直靠背诵来学习数学，会越来越倦怠和吃力。相反，如果一个孩子从启蒙阶段就愿意一直尝试那些需要深度思考的题，而且每隔几秒或几分钟能有新的发现，会有益得多。”

这种思维训练方法在罗博深的三个子女身上得到了延续。孩子们的数学启蒙老师同样由他们的母亲担任，而罗博深从未一对一地教授过自己的孩子。这并非所谓“全职太太”的家庭分工使然，而是他不希望自己“国家奥数队总教练”的身份给初学数学的孩子带来压力。

罗博深的妻子Debbie毕业于加州理工学院地球物理专业，此前没有奥数经验，但她很注重在家营造一种思考数学的氛围。从大女儿Vivian一年级起，每天放学后Debbie都会陪着她花至少一个小时研究数学，就像当年罗博深的母亲陪着他一样。

Vivian曾向外滩教育回忆，自己刚开始解题时，也觉得数学好难，不太能体会到数学的魅力。Debbie会尝试各种办法，乐趣先行。比如刚接触“阶乘”时，讲到“4×3×2×1”，母亲并不急于让她计算结果，而是构建了四个小动物排队的场景来解释排序。随着时间推移，从与母亲探讨，再到独立解题，Vivian对数学的兴趣越来越浓。2019年，12岁的她获得了美国中学生数学竞赛MATHCOUNTS的州冠军，成为该竞赛史上首位女性州冠军获得者。

“来自父母的陪伴是很重要的。陪伴不是坐在旁边监督她，要求一道题反复做20遍，甚至不是简单地教，而是能让孩子时刻感觉到，虽然她面对的是很难的问题，但你会一直陪在左右，和她一起思考。尤其对于低年级的孩子，他们会需要更多的爱和支持。”罗博深认为，这正是优质的数学启蒙教育很难大规模展开的原因。

“努力其实根本是因为好玩，但很多孩子是被长久压抑的。如果父母太焦虑，没有正确的引导方式，也不具备深入思考问题的耐心和能力，反而一直逼着孩子刷题，或者粗暴地将孩子推给同样缺乏正确理念和方法的教育机构或老师，就会导致孩子体会不到思维锻炼的快乐。自己付出了很多，与同学的差距却越来越大，当然会厌烦数学。”罗博深说。

美国心理学教授凯瑟琳·佩奇·哈登在《基因彩票》中写道，“智力、好奇心、积极性、自律，这些并不是作为一个人的神经系统的‘固有’或‘天生’的属性在真空中出现的。相反，它们是随着时间的推移而发展的，是儿童与他们生活中的人们之间相互作用的一部分。”

基因无法后天改变，但每颗种子都有不同的特质。如何尽力为种子提供一个有肥沃士壤、明媚阳光和充足水分的花园，让每株植物都有机会自由生长到属于它自己的最大高度，才是父母存在的意义。

黑洞和星星

2023年夏天，罗博深完成了新一轮全美巡讲——78个城市、112场演讲。为此，他有时需要睡在服务站一辆租来的车里。然而，一旦登上讲台，举起话筒，他便精力充沛得像个“吃了‘彩虹糖’的四年级学生”——《华尔街日报》记者曾这样形容。