视场角限制下的攻击时间和角度三维矢量制导律设计

摘 要：为了提高导弹精确打击目标的能力， 控制攻击时间和攻击角度三维制导问题在实际应用中具有重要的意义。 针对这一问题， 本文基于三维矢量制导模型提出了一种视场角约束下的攻击时间和攻击角度控制律。 首先， 通过将平面矢量制导律扩展至三维空间， 提出了一种三维矢量攻击角度约束制导律； 其次， 在上述制导指令的拦截分量中引入剩余时间偏置项， 设计了一种在视场角约束下的三维矢量制导律， 并进行了稳定性分析。 保证导弹能在视场角约束的条件下， 以期望的攻击时间和角度击中目标， 并且误差均小于0.01； 最后， 通过数值模拟验证了所设计制导律的正确性和有效性。

关键词：导弹； 矢量制导律； 视场角限制； 攻击时间约束； 攻击角度约束； 耦合非线性

中图分类号：TJ760； V249.1

文献标识码：    A

文章编号：1673-5048（2024）04-0049-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2023.0228

0 引  言

随着现代防御技术的快速发展， 传统比例导引律的有效性有所降低。 面对这一挑战， 越来越多的约束条件被引入到导引律的设计当中， 例如约束攻击角度和攻击时间。 攻击角度约束可以通过攻击弱点来增加对目标的破坏力， 而攻击时间约束可以通过齐射攻击来提高对反导系统的生存能力。 近年来， 随着捷联式导引头的广泛应用， 由于导引头探测视野有限， 在制导过程中还需要考虑到视场角的约束问题。 在过去几十年里， 针对多约束情况下的末端制导律展开了广泛的研究活动。

在这项研究的背景下， 文献中提出的解决攻击方向控制问题的方法可以分为两个类别， 即二维和三维方法。 二维方法的目标是实现特定的攻击角度， 而三维方法的目标是在空间中获得特定的攻击矢量。 攻击角约束制导律IACG（Impact Angle Constrained Guidance）的开创性工作可以追溯到文献［1］为再入飞行器设计了一种角度控制导引律。 在文献［2］中， 为了满足攻击角度的约束， 在传统比例导引的基础上， 设计了一种带有偏置项的制导方法。 文献［3-4］通过解决以控制能量的积分除以时间剩余的幂函数为代价函数的最优控制问题， 设计了时间加权的最优角度控制方法。 文献［5-6］通过将期望值与估计值之间的攻击角误差的反馈指令添加到比例导引指令中， 提出了两种不同的角度控制方法， 其形式为偏置比例导引。 孙胜等［7］在考虑驾驶仪动态特性的前提下采用终端滑模控制提出了一种约束攻击角度的方法。 在文献［8-9］中， 通过利用最优误差动态开发了一个通用的角度控制方法， 并针对模型进行非线性扩展， 以攻击机动目标。 文献［10-11］提出了在视场角约束下的带有制导律切换的偏置比例导引法， 用以攻击具有攻击角和目标加速度约束的机动目标。 鲁娇娇等［12］提出了一种考虑导引头耦合作用的带落角约束制导律。

攻击时间约束制导律首次在文献［13］中被讨论， 旨在实现多枚反舰导弹的齐射攻击。 随后， 文献［14］在线性化假设的基础上， 提出了一种非线性的导弹剩余飞行时间估计方法。 文献［15］使用滑模控制来约束攻击时间， 且制导指令没有奇异性。 在文献［16］中， 高计委提出了一种基于自适应滑模控制的约束攻击时间的制导律。 陈升富等［17］通过设定攻击时间， 提出一种带视场角约束和时间约束的制导律。 文献［18］提出了一种通过将视角曲线作为时间多项式来构造新的攻击时间控制方法。 在文献［19］中， 通过构建一个时间变化的瞄准线曲线， 并应用终端滑模控制， 设计了一种针对各种机动目标的攻击时间约束制导律。 在最优误差动态框架下， 文献［20］设计了一个包括比例导引和攻击时间误差反馈回路的攻击时间约束制导律。 文献［21］开发了一个具有精确的时间估计的变增益比例导引法， 以实现在不同制导场景下的精确攻击时间控制。 Jeon等［22］提出了一种新型的比例导引方法， 通过使用时变的自适应制导增益， 调整多枚导弹的拦截时间间隔。 针对多弹协同攻击问题， 受限于导弹速度的不可控， 张振林等［23］提出了一种新型导弹协同制导律。 该制导律基于领弹-从弹策略在导弹速度不可控的前提下， 成功实现了角度约束下的时间协同。 陈亚东等［24］在视场角受限的条件下提出了一种三维攻击角度控制导引律。 马萌晨等［25］提出了一种拦截机动目标的三维协同制导律。

现有的三维导引律中多采用对导引律解耦为俯仰方向和偏航方向进行单独设计， 但由于在三维空间中的制导模型存在非线性， 俯仰通道和偏航通道之间存在交叉耦合关系， 导引指令的设计过于复杂， 缺乏直观性。 为解决这一问题， 本文引入了三维矢量制导模型， 将最优平面的约束角度控制律扩展到三维， 并引入约束视场角及攻击时间的偏置项， 提出了一种在视场角限制的条件下约束攻击时间和攻击角度的三维矢量制导律。

1 约束攻击时间和角度的三维导弹运动模型

1.1 三维制导模型

考虑在三维空间中导弹M攻击静止目标T， 其制导的几何模型如图1所示。 其中， XvYvZv为速度坐标系， 原点O代表导弹的质心， XYZ为惯性坐标系的方向。 假设导弹在末制导阶段的速度大小保持不变， 用矢量Vm表示，  R表示导弹和目标的相对位置矢量， 定义为

R=Pt－Pm（1）

式中： Pm和Pt分别为导弹和目标的位置矢量。

矢量ac表示导弹的加速度， 与速度Vm垂直。 在实际应用中， 通常将加速度ac沿俯仰和偏航两个方向进行分解， 即速度坐标系下MYv轴的ay和MZv轴的az， 加速度ac可表示为

ac=ay+az（2）

ΩR为弹目视线的旋转角速度矢量， Ωv为导弹速度矢量Vm的旋转角速度矢量， 可分别表示为

ΩR=－Vm×RR2

Ωv=－Vm×acVm2（3）

式中： ×为两个矢量的外积； ·为矢量的二阶范数。

1.2 约束攻击角度的三维矢量运动模型

如图2所示， 其中XYZ为导弹的惯性坐标系， 为了方便制导律设计， 引入了一些单位矢量和角度。 其中Vm为导弹的速度矢量， Vm为导弹速度矢量的二阶范数， 其单位向量为vm， 三者之间的关系可以表示为

Vm=Vm

vm=Vm/Vm（4）

R为导弹和目标的相对位置矢量， 其二阶范数为r， 其单位向量为vR， 三者之间关系可表示为

r=R

vR=R/r （5）

Vd为期望的攻击速度矢量， 其单位向量为vd， 二者之间关系可表示为vd=Vd/Vd。 在假设攻角和侧滑角很小的条件下， 速度轴与导引头主轴会在同一直线上， 由此可将导弹视场角σ定义为导弹的速度方向Vm和导弹与目标的连线R之间形成的空间夹角， 同时， 视场角σ也可以被视为导弹和目标之间的航向误差， 将期望的攻击速度矢量Vd与弹目连线矢量R之间的夹角定义为δ， 此时σ和δ可表示为

σ=arccosvm·vRvmvR σ∈［0， π］

δ=arccosvd·vRvdvR δ∈［0， π］ （6）

因此， 考虑重力情况下的导弹动力学方程可以描述为［26］

R·=－Vm（7）

V·m=ac+（g·vm）vm（8）

r·=－Vmcosσ（9）

σ·=Vmsinσr－ac·vRVmsinσ（10）

δ·=－Vmrsinδvd·vm－VmcosσrsinδvR·vd（11）

因此， 在三维矢量制导模型中， 视场角限制的条件下， 攻击时间和攻击角度的约束律可表示为

R→0

t→td

Vm→Vd

0≤σ≤σmax  （12）

式中： t为导弹的飞行时间； td为导弹期望的攻击时间； σmax表示导弹的最大视场角。

三维制导模型和欧拉角制导模型是为解决同样问题而采用的不同模型构建方法。 因此， 在三维矢量模型中， 期望的速度矢量vd与欧拉角制导模型中的期望俯仰角θd和方向角φd之间存在如下的转换关系：

vd=cosθdcosφd

cosθdsinφd

sinθd（13）

2 具有攻击约束的三维矢量制导律设计

2.1 约束攻击角度的三维矢量制导律

在三维空间中， 比例导引指令为

aPNG=NΩR×Vm（14）

式中： N为比例导引系数； ΩR为弹目视线的旋转角速度矢量。

受到文献［27］的启发， 可以将约束角度的三维矢量制导律设计为

aIACG=NΩR×Vm+2（N－1）V2mδcosσn vd×vRvd×vR×vm （15）

将式（3）代入式（15）， 具有角度约束的三维矢量制导律aIACG为

aIACG=－NV2msinσrvm×vRvm×vR×vm+

2（N－1）V2mδcosσrvd×vRvd×vR×vm（16）

根据式（16）可得， 约束角度的三维矢量制导律包括两个部分： 一个是在vm×vRvm×vR×vm方向上的拦截部分， 用于减小航向误差； 另一个是在vd×vRvd×vR×vm方向上的转向部分， 用于实现期望的冲击角度。

在初始条件下， 当σ0≤π2时， 通过式（15）的制导律使导弹能够以期望的速度方向Vd击中目标， 也就是在三维空间中实现了期望的冲击角度。

证明： 将式（9）与式（4）～（5）联立可得vR的时间导数为

v·R=－Vmrvm+VmcosσrvR（17）

由于设计的制导律方向始终垂直于速度方向vm， 因此vm的时间导数为

v·m=aIACGVm=－NVmsinσrvm×vRvm×vR×vm+2（N－1）Vmδcosσrvd×vRvd×vR×vm（18）

由式（6）可得σ的时间导数为

σ·=－1sinσ（v·R·vm+vR·v·m）（19）

联立式（16）～（18）可得

σ·=－（N－1）Vmsinσr+2（N－1）Vmδcosσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （20）

δ对时间的导数为

δ·=－1sinδ（v·R·vd+vR·v·d）=

－Vmsinσrvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR （21）

通过式（19）可知

σ·|σ=π2=－（N－1）Vmr<0（22）

对于所有t>0， A=σ|0≤σ<π2都是一个正不变集， 因此， 在初始条件σ0≤π2下， 对于所有t>0， 始终满足0≤σ<π2。 由于r·=－Vmcosσ， 导弹与目标之间的相对距离单调递减至零。

令ε=arccosvm×vRvm×vR·vd×vRvd×vR， 构造函数

T=sinσsinδsinε≥0， 对函数T求导可得

T·=σ·cosσsinδsinε+δ·sinσcosδsinε+

ε·sinσsinδcosε（23）

T·=－（N－1）Vmsinσcosσsinδsinεr－2Vmcos2σsinδsinεr≤－（N－1）VmcosσrT（24）