高超声速飞行器轨迹凸优化与跟踪制导方法

摘 要：为了提升高超声速飞行器无动力下滑段在制导探测信息不完整或探测设备被干扰情况下的突防生存性能， 建立了下滑段高超声速飞行器的动力学模型。 采用序列凸优化方法对弹道进行优化， 在满足终端约束的前提下具有更优的控制能量消耗， 同时保证了末端加速度收敛以及良好的计算性能。 轨迹跟踪部分采用线性LQR控制器设计， 稳定跟踪规划弹道。 相比与传统最优控制的角度约束的制导律， 下滑段采用轨迹规划-轨迹跟踪的方法， 无需线视线角度信息， 可在下滑段结束后再引入目标相对角度信息， 在复杂电磁情况下具有更强的生存能力。

关键词：高超声速飞行器； 下滑段； 序列凸优化； LQR控制器； 末制导

中图分类号：TJ765； V249

文献标识码：    A

文章编号：1673-5048（2024）04-0057-07

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2024.0026

0 引  言

高超声速飞行器一般是指飞行速度超过马赫数5的有翼或无翼飞行器。 兼具航天器和航空器的优点， 飞行速度快、 航程远［1］。

按照提供动力的不同方式将高超声速飞行器分为火箭动力弹道飞行器、 吸气式巡航飞行器和无动力滑翔飞行器三类［2］。 传统火箭弹道式飞行器发展较早， 技术较为成熟。 滑翔式高超声速飞行器采用升力体结构， 可在大气层内做弹道机动飞行。 吸气式高超声速飞行器（AHV）由于能够充分利用大气层内的氧， 降低推进剂的携带量， 可以大幅提升推进系统的性能， 与火箭推进技术相比具有显著的优势［3］。

文献［4］研究了高超声速飞行器三维末端无动力模型并提出一种非线性参数自适应制导律， 该制导律在满足碰撞点约束的同时满足终端角度约束。 文献［5］研究了高超声速飞行器末端碰撞时间约束的问题， 提出一种碰撞时间约束制导律， 该制导律在纵向平面采用碰撞时间控制， 在侧向平面采用典型的比例导引。 文献［6］同时研究了高超声速飞行器末端碰撞时间与末端碰撞角度约束问题， 将三维模型分解到两个二维平面然后通过制导律参数实时更新保证了同时满足末端碰撞时间与碰撞角度约束。 文献［7］针对高超声速飞行器末端突防制导问题， 提出一种基于虚拟滑动目标的自适应比例导引律， 可以引导飞行器在末端实现螺旋俯冲机动弹道。 文献［8］研究了吸气式高超声速飞行器对未知拦截者的躲避制导策略， 采用梯度下降法对拦截者的动力学进行参数估计， 同时考虑了躲避过程中的能量优化问题。 文献［9］研究了高超声速飞行器在遇到两个拦截弹的突防轨迹优化问题， 将非凸最优控制问题转化为凸优化问题， 提出一种只需要拦截器初始视角信息的突防策略， 以及一种具有可变信赖域的连续SOCP方法。 文献［10］针对具有多重约束和不确定扰动的高超声速飞行器大机动突防问题， 采用滑模控制制导律， 结合自适应干扰估计方法， 提出一种末端蛇形机动制导律。 凸优化方法具有高效计算性能， 在航空航天制导领域具有广泛的应用前景［11］。 其典型应用有动力下降、 垂直火箭回收、 合作航天器交会对接等［12-14］。 基于凸优化的计算制导方法的关键在于凸优化模型的建立， 复杂的非凸约束则需要进行凸化处理， 松弛技术可将非凸约束转化为凸约束， 松弛问题的最优解对于原问题是最优的［15］。

通常高超声速巡航飞行器在巡航段结束后直接进入俯冲模式， 此时飞行器抵近目标附近空域。 伴随着电子战等复杂战场状况， 探测设备由于受到末端防御武器干扰无法准确获取目标信息［16］。 而红外导引头侧窗探测模式下， 非对称视场约束会造成末制导阶段目标易丢失［17］。

俯冲段制导的最终目的是对目标实现精确攻击， 即尽量降低机动飞行对制导精度的影响， 这就要求机动飞行与寻的制导能够很好地配合。 一种做法是将二者分开设计并串行叠加： 俯冲攻击前端进行机动以达到突防的目的， 距离目标足够近时不考虑机动直接导向目标。 另一种做法是将机动和制导综合设计， 在进行机动的同时也把AHV导向目标， 即机动控制信号及攻击目标的导引信号共同作用于飞行器， 通过加权形成复合制导信号［18］。

针对上述问题， 文章采用机动弹道与寻的弹道分别设计的方法， 即将末端弹道分为下滑段与俯冲段： （1）下滑段通过轨迹规划与轨迹跟踪方式实现末端突防机动弹道， 以获得较好的机动突防能力， 并为进入测量末制导阶段创造条件， 此阶段所需的信息可通过惯性导航设备获取。 （2）当飞行器下降到预定高度后或获得可靠目标测量信息后， 进入俯冲段， 实施基于目标测量信息的末端制导， 以实现对目标的高精度打击。

为了提升高超声速飞行器的末端生存性能， 首先， 采用序列凸优化方法研究了三维空间高超声速飞行器机动下滑的轨迹规划方法， 可以在有限时间内给出满足角度约束的下滑段机动弹道， 具有良好的控制收敛性能， 同时具有机载运算潜力。 其次， 基于线性化的三维动力学模型， 设计了线性LQR轨迹跟踪器， 能准确地跟踪下滑段弹道， 满足机载运算的要求。 规划弹道和轨迹跟踪相结合， 可提高飞行器的突防能力和弹道机动能力， 提升高超声速飞行器下滑段的生存能力。 最后， 在获得稳定的目标测量信息后， 转入具有末端碰撞角度约束的测量末制导， 实现目标的精确打击。 如果无法获得稳定的目标测量信息， 则基于LQR轨迹跟踪弹道飞行到遇靶或满足弹道结束条件。

1 高超声速飞行器下滑段模型

本文的研究基于以下假设：

（1） AHV采用BTT控制， 研究对象处于下滑段。

（2） AHV发动机已关闭， 为无动力下滑的飞行方式。 因而在制导模型中不考虑发动机推力与变质量问题。

所设计弹道与制导模型相对几何关系如图1所示。

图中， O为坐标原点， 与目标点重合； V为速度； M为飞行器下滑段弹道起始点； θ为视线方位角； 为视线高低角； ψ为航迹偏角； γ为航迹倾角； S-M段为轨迹跟踪制导段； M-O为末端信息反馈制导段。

基于东北天坐标系建立三维空间内高超声速飞行器无动力下滑段运动方程。 在计算阶段运动方程中的升力在纵向与侧向的分量和阻力分别表示为加速度形式， 优化求解出加速度后， 得出最优攻角和倾侧角及阻力。 三自由度运动方程如下：

X·=x·

y·

z·

V·

γ·

ψ·=

Vcosγsinψ

Vcosγcosψ

Vsinγ

－Dm－gsinγ

－az－gcosγV

ayVcosγ （1）

速度与升力和倾侧角关系为

az=－Lcosσmay=Lsinσm （2）

升力和阻力表示为

D=12ρV2SCLL=12ρV2SCD （3）

式中： x， y， z为飞行器的三维位置； m为质量； V为速度； γ，  ψ分别为航迹角和航向角； L， D分别为升力和阻力; 升力系数与阻力系数为攻角和马赫数的函数CL（α， Ma），  CD（α， Ma）； ρ为大气密度； S为飞行器参考面积。

飞行器气动参数模型如下［8］：

CL（α， Ma）=0.417 2+19.41α+10.17α2－

Ma（0.100 4+0.753 6α）;

CD（α， Ma）=0.304 2+0.029 88C2L（α， Ma）。

2 模型线性化与离散化

2.1 参考轨迹线性化

从高超声速飞行器的运动方程可以看出模型为非线性微分方程组， 而凸优化问题中的等式约束则需要为线性函数， 因而需要将其进行线性化处理。 本文采用逐次线性化的方法： 首先， 给出一条参考轨迹和参考控制序列， 基于泰勒展开， 忽略高阶项， 只保留一次项。 其次， 在参考轨迹附近对模型进行线性化处理， 此时动力学约束可转化为线性约束， 由于是在参考轨迹附近进行的线性化处理， 通过信赖域约束了线性化的误差范围， 保证了整体线性化的可靠性。 对于逐次线性化方法， 若系统方程可以改写为仿射形式， 可只对仿射部分进行线性化化处理［19］。 最后， 进行凸优化求解。 将求解完成后的状态轨迹和控制序列作为下一次迭代的参考轨迹和参考控制序列， 反复迭代， 直到临近迭代控制指标满足误差二范数， 则问题最终收敛。

系统状态方程在参考轨迹附近展开为如下形式：

X·=F（X（k）， U（k）， t）+FX（X（k）， U（k）， t）（X－X（k））+FU（X（k）， U（k）， t）（U－U（k））（4）

式中： X为第k+1次状态变量； U为k+1次待求解控制变量； X（k）为第k次迭代的参考状态变量； U（k）为第k次迭代的参考控制变量。

令FX为A， FU为B， F（X（k）， U（k）， t）为Fref， （X－X（k））为ΔX， （U－U（k））为ΔU， 改写式（4）为如下形式：

X·=Fref+AΔX+BΔU（5）

系统对于状态变量及控制变量的雅克比矩阵为

A=FkXk=FkxkFkykFkzkFkVkFkγkFkψk=

000A14A15A16000A24A25A26000A34A350000A44A450000A54A550000A64A650（6）

B=FkUk=000000000－1V（k）001V（k）cosγ（k）（7）

其中：

A14=cosγ（k）sinψ（k）;

A15=－V（k）sinγ（k）sinψ（k）;

A16=V（k）cosγ（k）cosψ（k）;

A24=cosγ（k）cosψ（k）;

A25=－V（k）sinγ（k）cosψ（k）;

A26=－V（k）cosγ（k）sinψ（k）;

A34=sinγ（k）;

A35=V（k）cosγ（k） ;

A44=－ρ（k）SCDV（k）m;

A45=－gcosγ（k）;

A54=az（k）+gcosγ（k）V2（k）; A55=gsinγ（k）V（k）;

A64=－ay（k）V2（k）cosγ（k）;

A65=ay（k）sinγ（k）V（k）cos2γ（k）。

虽然经上述离散化过程将非线性系统转化为参考轨迹附近的线性系统， 但线性化是建立在参考轨迹附近， 为了保证线性化的效果还需要添加信赖域约束：

X－X（k）≤δX

U－U（k）≤δU（8）

式中： δX， δU为定义的信赖极值。

信赖域的建立约束了状态变量与控制变量的寻优范围， 但在逐次线性化过程中参考轨迹是不断迭代的， 因而状态变量与控制变量最终都能游走达到最优收敛效果。

2.2 欧拉离散化

经上述线性化处理后， 需要离散化才能应用直接法将其转换为原问题离散后的序列凸优化问题， 获得离散后的最优控制序列。 对于动力学方程的离散化方法有很多， 例如： 欧拉法、 龙格库塔法、 HermiteSimpson配点法、 伪谱法等。 其中配点法与伪谱法一般用于采用直接法求解的非线性最优问题离散化处理。 本文采用欧拉法进行离散化处理， 欧拉离散化忽略了模型的二阶以上的高阶项， 但这完全满足实际应用要求。