考虑导弹视场约束及落点姿态的协同制导律设计

摘 要：针对空空导弹协同攻击过程中视场受限的问题，提出一种带有视场角和弹着点姿态约束的协同制导律。在二维平面内建立导弹与机动目标的交战几何模型后，进行制导律的设计。首先，基于时变滑模面，设计视线法向的制导律，选取积分障碍李雅普诺夫函数，保证导弹在攻击过程始终稳定地跟踪目标，且导弹能以期望的落角攻击目标，选取积分障碍李雅普诺夫函数证明制导律收敛； 其次，在对攻击剩余时间进行估计的基础上，设计具有时间约束的制导律，保证导弹在预设时间命中目标。最后，在三种假设情景中进行仿真，验证了制导律的可行性。

关键词：协同制导; 视场约束; 时变滑模面; 李雅普诺夫函数; 时间约束; 制导律;  空空导弹

中图分类号：TJ765

文献标识码： A

文章编号：1673-5048（2023）05-0017-08

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0235

0 引  言

空空导弹于20世纪40年代问世，经过70多年的发展，迄今已经成为空中战斗的主要武器，空战的需求和科学技术的不断进步推动着空空导弹的更新换代［1］。

随着现代技术的发展，导弹防御体系日臻完善，单枚导弹的探测范围和杀伤半径有限，而多枚导弹协同攻击，可以弥补单弹作战的不足，倍增武器效能，实现打击、突防能力的整体提升。因此，组织多枚导弹对目标进行多方位的饱和集群攻击，是一种更符合现代战争的重要作战方式。

在多弹协同攻击的过程中，要求各导弹能以相同的飞行时间对目标实现瞬时饱和攻击，使整体作战效能最大化。对于实现协同的时间约束问题，国内外学者进行了相关研究，主要有两类，一类是预先指定攻击时间的开环控制。文献［2］在小前置角前提下设计了基于比例导引的剩余时间估计公式； 文献［3］基于滑模控制设计了满足时间约束的制导律； 文献［4］提出了一种大前置角下的剩余时间估计算法。另一类是实时修订攻击时间的闭环控制。文献［5］基于剩余时间估计，利用非线性扰动观测器设计了滑模制导律； 文献［6］分别基于有限时间一致性理论和快速非奇异终端滑模设计视线方向和视线法向的制导律； 文献［7］结合自适应与积分滑模设计视线方向的协同制导律。

此外，要求各导弹以指定角度同时攻击目标，可以实现对目标的多方位打击，提升打击效果。攻击时间控制和落角控制都使导弹在飞行过程中产生适度机动来调整飞行时间和方向，弹道通常比较弯曲，可能导致目标位置超出导引头视场范围（特别是视场相对较窄的捷联式导引头），丢失跟踪目标，因此在制导过程中需要对导弹视场角加以约束。本文对综合考虑时间约束、落角约束和视场角约束的多约束制导律进行研究，目前的多数协同类文献，或考虑落角和时间约束，或考虑视场角和时间约束，而同时具备此三种约束的文献相对较少。文献［8-10］设计了需要切换的阶段性制导律，其中文献［8］设计了两阶段制导律，第一阶段的偏置比例导引实现视场角和时间约束，第二阶段基于滑模控制的制导律实现落角和时间约束； 文献［9］通过对比例导引的偏置项进行设计，将角度控制分为三个阶段，分段约束视场角、落角和时间； 文献［10］设计了两阶段导引律，第一阶段基于障碍李雅普诺夫滑模设计满足视场角和落角约束的制导律，第二阶段设计满足视场角和时间约束的制导律。但不同制导律间的切换易造成切换点附近过大的指令跳变，影响控制效果和导引精度。文献［11-14］设计了无需切换的连续制导律： 文献［11］构造了可以约束落角和视场角的比例导引偏置项，并推导了剩余时间的估计； 文献［12］用滑模控制方法对落角和视场角约束指令进行设计，由基于剩余时间估计设计了时间约束项； 文献［13］基于李雅普诺夫法、剩余时间估计和可控开关的修正指令，设计了满足落角、时间和视场角约束的三维制导律； 文献［14］基于最优控制设计了落角偏置项，又设计了时变增益对时间和视场角进行控制。文献［11-14］适用于静止目标，在对视场角约束的设计过程中将其转化为控制受限问题，当视场角达到设定阈值后，视场角约束项变为0以锁定视场角的值;  文献［12］通过分段函数限制控制； 文献［13］中的视场角约束部分实际上包含指令切换项。

在上述研究的基础上，针对协同导弹飞行过程中需要始终稳定跟踪目标，及需要以指定姿态接近目标的问题，本文提出了一种能够始终满足视场角约束和落角约束的新型时间协同制导律。首先对平面中机动目标的拦截场景进行建模，将视场角约束问题转化为对视线法向相对速度的约束问题，避免将其转化为控制受限问题，然后基于时变滑模面设计考虑视场角和落角约束的控制部分，其不存在指令切换的问题，再引入积分障碍李雅普诺夫函数，证明所设计制导律的收敛性，确保约束始终得到满足，接着在剩余时间估计的基础上，设计满足时间约束的开环控制部分。

1 问题描述和预备知识

1.1 问题描述

考虑二维平面的典型拦截场景，以水平面内攻击目标为例，假设制导的某一时刻，导弹与目标的相对运动关系如图1所示。这里假设导弹和目标皆为质点。

图中，D，B分别表示导弹和目标，两者连线DB为视线，R为导弹与目标间的距离。假设导弹、目标分别以VD，VB的速度运动，法向加速度分别为aD和aB。选取参考坐标系的x轴为基准线，q为视线角； θD，θB为导弹和目标的航迹角； φD，φB为导弹和目标的前置角。

、

2 制导律设计

设带有视场角、落角和时间约束的制导律形式为

a＝aD+at（11）

对制导律的设计大致分为两部分： 先设计具有FOV（field-of-view，视场）约束的aD，再设计ITCG（impact time control guidance，时间约束制导律）at。

2.1 FOV约束制导律设计

使用滑模控制方法设计FOV约束制导律aD，包括滑模面的选取及控制律的设计两个主要步骤。

导引方程中Rq·表示弹目相对速度垂直于视线方向的分量，记为Vd，对时间求导，再代入几何关系和式（1）可得

V·d=-R·q·-aDcosφD+d（t）（12）

其中，d（t）是目标机动的相关干扰项，d（t）=aBcosφB。这里假设此项为有界值： ｜d（t）｜≤Δ1，Δ1为一正值常数，且在t≥0的时间内都满足此假设。

导引头视场角为弹体轴与弹目线之间的夹角，通常有最大视场角φmax∈（0， π/2）。在末制导过程中，假设导弹的攻角很小，导引头FOV约束可以用导弹前置角φD近似代替，描述为｜φD（t）｜≤φmax。假设在制导初始时刻，导引头满足FOV约束，即｜φD（0）｜≤φmax； 同时，为了使导弹顺利拦截目标，进一步假设（｜sin（φD（0））-vsin（φB（0））｜＜sinφmax-v（v1）），且cosφmax≥v+ε1，ε1为一小正值常数。

设交战的终端时刻为td，终端时刻导弹须达到的落角为γd，落角与终端视线角存在对应关系，见文献［18］，因此文中将落角约束转化为对视线角qd的约束。对制导指令aD的设计目标为

R（td）min（13）

q（td）qd（14）

｜φ（t）｜≤φmax， t∈［0， td］（15）

取状态变量为视线角跟踪误差和垂直视线方向的弹目相对速度，根据状态变量关系和式（12）可得系统方程，即

x·1=x2/R

x·2=-R·x2/R-aDcosφD+d（t）

（16）

对于上述系统，若所设计的aD能使td时刻之前有（x1， x2）（0， 0），则约束条件（13）～（14）可以得到满足。另外，应用式（2），则约束（15）的充分条件可表示为

｜x2｜＜kc， t∈［0， td］（17）

其中，kc=VDsinφmax-VB＞0， 在处理FOV约束时考虑了目标机动的因素。

此时，aD的设计目标进一步表述为： 设计合理的aD，使系统（16）在式（17）的状态约束条件下，在有限时间td内收敛至原点。

对于系统（17）构造时变滑模面：

s=w（t）x1+x2（18）

式中： w（t）＝kc/（｜x1｜+ε），ε为正值常数，w（t）是一个大于0的连续时变函数。

事实上，在符合不等式（17）的FOV约束下可以采用形如s=kc/（｜x1（0）｜+ε）x1+x2的固定斜率滑模面，这种形式虽然运算简单，但当x1（0）较大时，因斜率固定，x1的收敛速度较慢。而式（18）提出的时变滑模面可以实现x1的快速收敛，且在整个过程中不违反FOV约束，并在接近终端时刻x10时，参数ε能够确保w（t）为有限值。同时，ε可作为调节视场约束裕度的参数，数值越大，表示视场约束的强度越大，导引头探测目标的最大幅度值越小。

将滑模面对时间求导，并将式（13）～（15）代入式（18）可得

s·＝M1-aDcosφD+d（t）（19）

式中： M1=-kc｜x1｜（｜x1｜+ε）2+kc｜x1｜｜x1｜+ε-R·x2R。

受定理1和引理1启发，本文选取iBLF为

V（s）=∫s0k2cσk2c-（σ+α1）2dσ（20）

式中： k1＞0，k2=Δ1+k′2， Δ1为｜d（t）｜上界，且k2＞0，k1， k2具体值可调。

上述制导指令下的系统满足以下优势：

（1） 导弹接近目标时，系统状态收敛至原点，即ttd时，（x1， x2）（0， 0）。

（2） 系统在整个过程中不违反FOV约束，即｜x2｜＜kc， t∈［0， td］。

证明如下：

（1） 将制导指令aD代入式（24）可得

V·（s）=-k1ks2-k-2 k｜s｜（26）

其中，k-2=k′2/k＞0。不等式（6）代入式（26）可得

V·≤-k1V-k-2V1/2（27）

根据引理2和不等式（27），V在有限时间内收敛至0，即系统将在有限时间内到达滑模面s=0， 到达时间由引理2给出。又由优势（2）可知，系统到达滑模面，即有ttd，（x1， x2）（0， 0）。

（2） 系统运动过程分为趋近滑模面和在滑模面上运动两种状态。

在滑模面上有s=0，由时变滑模面式（18）可得

｜x2｜=｜-w（t）x1｜=w（t）·｜x1｜=kc｜x1｜+ε·｜x1｜＜kc

另外，有R·≤-VD（v-ε1）+VB=-VDε1＜0， R（0）正定，R·负定，因此必然存在有限时间td，使R（td）0。由系统方程可知，滑模面上有

x·1=x2/R=-w（t）x1/R，因此，当R（td）0时，有x1（td）=x1（0）exp（-∞）=0，即q（td）=qd。

在趋近滑模面的过程中，由式（20）定义的函数V为正定函数，而不等式（27）表明V（t）≤V（0），即V对所有的t≥0都有界。由BLF的定义可知，｜x2｜≠kc（否则V无界），又因｜k2（0）｜＜kc，所以｜x2｜＜kc。

2.2 ITCG设计

本节基于对剩余时间的合理估计进行时间约束制导律at的设计。

指定攻击时间tc与当前飞行时间t之差为标称剩余时间t-go，即

t-go=tc-t（28）