基于最小距离法的高过载条件下发动机燃面推移与内弹道性能研究
作者： 吝琳 尚永腾 李冲冲 白涛 郭梦飞
摘 要：装药推移过程中燃面的精确计算是固体发动机燃烧室内弹道性能计算的基础，发动机的过载工况会显著影响发动机装药的燃面面积、药柱推移和内弹道性能。最小距离函数（MDF）方法适用于计算复杂三维药柱的推移过程，具有较高精度。本文基于MDF方法，以工程应用中常见的管+星状药柱为研究对象，针对高横向过载的发动机工作环境，计算获得了推进剂燃面面积、燃面推移以及发动机内弹道性能，在此基础上综合分析了过载对发动机燃面和内弹道性能的影响。
关键词：固体火箭发动机；推进剂；高过载；燃面计算；药柱推移；内弹道性能；飞行器
中图分类号：TJ760; V43
文献标识码：A
文章编号：1673-5048（2022）06-0050-06
DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0073
0 引 言
固体发动机在深空探测、重载运输和导弹武器等方面得到了广泛的应用［1-4］，其内弹道性能参数直接影响发动机以及飞行器的性能，且装药推移过程中燃面的精确计算是固体发动机燃烧室内弹道性能计算的基础，是发动机设计中的关键参数。燃面计算的目的是获得发动机燃烧室内固体推进剂燃烧的面积。发动机工作过程中，推进剂会发生燃烧推移，导致燃烧面积变化，需要精确计算出发动机的燃面面积随工作时间的变化关系。
随着复杂药型以及高填充装药发动机的使用［5-6］，燃面面积、燃面推移经历了二维至三维的变化，计算方法也由之前的“解析法” “作图法”等方法发展到目前的“Level-Set” “最小距离函数法（MDF）”。解析法是指使用数学模型对药柱进行建模，具有高的精度；作图法即依据药柱的几何形状进行装药推移模拟。解析法和作图法不适用于三维复杂的药柱。为了解决三维复杂药柱的燃面计算问题，Osher等［7］提出使用Level-Set界面追踪方法解决活动边界问题，具有较好的精度。秦飞等［8］使用Level-Set方法计算了发动机燃烧室的燃面面积。然而，Level-Set方法在遇到曲率过小或过大时求解存在问题［9］。Willcox等［10-11］提出最小距离函数（MDF）燃面计算方法，并使用该方法开展了发动机装药燃面推移和燃面面积计算。郭梦飞等［12］使用MDF方法计算星孔装药的燃面面积，发现MDF方法稳定性好，精度高。马长礼等［13］优化了MDF方法的计算过程，提高了计算效率，并使用不同药型验证了MDF方法的通用性。彭博等［14］使用复杂药柱，验证了MDF方法的通用性和高精度，认为其适用于复杂装药的燃面计算。王革等［9］将MDF方法的计算思路引入Level-Set方法中，提高了Level-Set方法的精度。Hwang等［15］对比了Level-Set方法和MDF方法的区别，结果表明，MDF方法的精度高于Level-Set方法。
固体发动机面临多种工作环境［16-17］，包括高的横向过载。例如在第四代空空导弹中，其主动段的横向过载达到了60～100。高横向过载下发动机燃烧室内推进剂出现不等速燃烧现象，燃面相应地发生变化，影响发动机的压强和推力；同时，推进剂的不等速燃烧可能导致部分装药提前燃烧完毕，暴露出发动机的热防护层［18-19］，过载导致的粒子射流会恶化热防护层的工作环境，严重时甚至引起发动机烧穿爆炸［20-22］，目前关于过载情况下发动机内燃面面积计算的研究较少，限制了过载工况下发动机内弹道性能的精确计算和发动机的优化设计。
为了解决高横向过载时发动机燃面精确计算的难题，本文使用MDF方法，针对高横向过载的发动机工况，计算获得推进剂装药燃烧时的燃面面积、燃面推移以及发动机内弹道性能，为高过载发动机的设计优化提供理论基础。
1 计算模型
1.1 MDF方法
MDF是一种可以快速计算固体发动机复杂三维装药燃面推移的方法。该方法需要一个包含药柱的三维最小距离网格和初始燃烧面，以此计算出每个网格点至初始面的距离，同时判断出该点的距离符号，按照正号代表在药柱上、负号代表在燃烧室空腔的原则，燃面自然就处于正负最小距离的网格点之间，即最小距离为零的点。依据装药的燃烧速度进行推移，得到不同时刻每个网格点的推移量，依据推移量重新计算最小距离函数，并抽取出发动机下一个时刻的燃面点，将燃面点组成燃面并进行面积计算，以此获得实时的燃面面积。航空兵器 2022年第29卷第6期
吝 琳， 等：基于最小距离法的高过载条件下发动机燃面推移与内弹道性能研究
MDF方法计算步骤分为三步：（1）装药初始化。将发动机装药使用CAD软件进行STL离散，使用C++程序读取发动机的网格数据和初始燃烧曲面，并进行最小距离计算。（2）燃面推移。依据每个点的燃烧速率进行发动机装药的推移模拟，得到不同时刻的燃面外形。（3）燃面面积计算。根据每个时刻得出的燃面推移结果，得出每个时刻的燃面网格点，进而求出燃面面积。国内外学者的研究均证实，MDF方法在处理燃面推移和一维内弹道性能时具有精度高、通用性强和稳定性好的特点［12-17］。
1.2 燃烧速率计算模型
燃烧速率的计算是推进剂推移过程的关键参数。首先，计算出推进剂的初始燃烧速率r0：
其次，引入Lenoir-Robillard模型［23-24］，计算侵蚀对燃烧速率的影响：
最后，建立过载工况下推进剂稳态燃速增大模型［25-26］，获得过载工况下推进剂的燃烧速率，采用steffensen方法进行迭代求解：
式中：r0为基本燃速；a为燃速系数；p为燃烧室压强；n为压强指数；ρ为燃气密度；u为燃气速度；L为药柱轴向距离；α主要取决于气流中心温度和燃烧产物特性；rg为过载下推进剂燃速；β为热流系数；Ga为加速度质量通量; ρp为推进剂密度；cp为燃气定压比热容；δ0为燃烧区厚度；λ为气相热导率。
研究表明，Lenoir-Robillard燃速模型和过载燃速增大模型均具有较高的精度［23-26］。
过载方位角φ的计算如下：
（1） 由燃面三角形网格的三个顶点确定出三角形的平面方程ax+by+cz+d=0，其法向矢量为（a，b，c）；
（2） 通过已知的过载条件， 得到过载的方向矢量（l，m，n）；
（3） 计算出过载方位角φ：
1.3 内弹道性能计算模型
在计算过程中，如果满足燃气流速远小于当地声速，燃气密度远小于推进剂密度，燃气通道面积变化远小于燃气通道面积，则燃气流动参数随时间的变化很小，这时认为燃气在装药通道中的运动是准定常的流动，控制方程中对时间的偏导数各项可以忽略。此外，忽略发动机工作期间装药通道内燃气向燃烧室壁的散热损失，通道内燃气的一维准定常流动可以认为是绝能流动，此时得到绝能条件下的一维准定常控制方程组为［27-28］
由式（1）～（5）获得一维内弹道准定常绝能流动条件下的控制方程组，具体的推导过程见文献［29］：
式中：ρ为燃气密度；Ap为通气截面积；Ab为燃烧表面积；Π为药柱燃烧周长； r为推进剂燃烧速率；p为静压；T为静温；R为气体常数；Tf为总温。
计算时，将导弹在弹身长度方向平均分成11个截面，令第一个截面的流速为0，使用平衡压强作为压强迭代的初始值p1，迭代计算每个截面的燃烧面积和通道面积，通过截面装药基础燃速的线性插值，得到各个点的基础燃烧速度。
式中的Π采用区间装药燃面面积除以区间长度进行计算，使用四阶Runge-Kutta方法计算通道内各个截面的燃气速度u，然后进一步计算各个截面的压强p，同时使用总压与静压的关系计算出装药出口总压p0L，使用喷管流率关系计算出装药通道的出口总压p′0L。当ξ=|p′0L/p0L－1|<0.005成立时，停止迭代; 否则使用p1=p1×p′0L/p0L修正压强初始值，重新计算。
2 结果与分析
2.1 燃烧速率
将推进剂在无过载时（即过载值=0）的燃烧速率定义为1，使用式（3）计算获得不同过载值时推进剂燃烧速率的比值。过载方位角和过载值对发动机装药燃烧速率的影响如图1所示。可以看出，当过载方位角较小时，过载值对烧蚀速率影响较大。当方位角为0°，过载值为100g时，发动机装药的燃速增大系数为1.34，燃烧速率显著增大，影响发动机燃烧室内的燃面面积，导致发动机的内弹道性能发生较大变化。当过载方位角较大时，过载值对烧蚀速率影响较小，过载继续增大，燃速的增加不显著，此时过载对燃速的影响可以忽略不计。
2.2 过载工况下燃面面积计算
采用工程中常用的圆管+星孔装药，前段装药为圆柱状，后段装药为星孔状，见图2。推进剂装药参数：推进剂密度1 730 kg/m3，推进剂比热1 553.4 J/（kg·K），燃面绝热燃烧温度3 400 K，燃速压强指数0.35， 燃速参考压强6 MPa，推进剂参考燃速9 mm/s，燃气平均气体常数290.5 J/（kg·K）。
根据药柱尺寸，将其划分为50×50×201个基础网格点，同时在圆管与星孔的结合部进行局部加密，选取药柱推移步长为2 mm，推移步数为n。在燃面推移计算时，考虑侵蚀燃烧和横向过载（80g）对发动机燃烧速率的影响，使用MDF方法计算装药的推移过程，进而获得不同时刻的燃面面积，图3～6给出了星孔药柱的燃面推移情况。
图3和图4中推移步数0～12时使用药柱末端为主视角，随着步数的推移，药柱内径逐渐增大，空腔也随之增大。在推移步数为12时， 横向过载下装药已经燃烧至星孔装药的边界，装药末端的一部分已经燃尽（见图3）， 而在无横向过载时装药并没有燃尽（见图4）。由于过载的存在， 使得药柱与过载方向一致的部分燃烧速度增大，药柱较早地出现了偏烧现象。
接下来将视角切为药柱整体。无横向过载时，随着燃烧继续，装药也燃烧至星孔装药的边界，星孔段大面积减少，t=19 s时，星孔段燃尽，一级发动机工作完成，如图5所示。再次将视角切回药柱尾部，此时圆柱段内腔持续增大，燃烧面积也增大，最后剩下薄壁圆筒迅速燃烧完毕，发动机进入二级低压强、低推力的巡航阶段。
在横向过载下，发动机出现了明显的偏烧，装药下部快速地燃烧完毕，而装药的上部燃烧速率相对较慢， 如图6所示。由于横向过载的影响， 使得药柱上部的燃烧时间明显长于药柱下部，导致星孔段药柱和圆柱段药