高中数学凝练单元学习主题的实践研究

教育部基础教育课程与教材发展中心为落实学科核心素养，极力推进“深度学习促进教学改进”项目，倡导单元整体教学，即“深度学习—单元教学”，其包含“选择单元学习主题、确定单元学习目标、设计单元学习活动、开展持续性学习评价”四个重要环节（刘月霞，郭华，2018）。凝练单元学习主题是基于“深度学习—单元教学”的实践研究。需要指出的是，这里的单元，是指学习单元，不是指知识单元，即不一定是教材中给定的章节。对高中数学教师而言，最熟悉的莫过于章节形式的单元设计了，为什么还要重新定义学习单元，这样做有什么意义，究竟该从哪些方面入手，有没有一些经验可以借鉴，还有不少教师感到困惑。

一、凝练单元学习主题的原则

1. 挑战性原则

单元学习主题要具有一定的挑战性，不是所有的板块内容都适宜成为单元学习主题，只有挑战性的学习主题，才能让学生积极参与、体验付出后收获成功的快乐。当然，是否具有挑战性，与不同的学情有关。比如对大部分高一学生而言，“函数的概念与性质”“幂、指、对函数”“三角函数”，都具有一定的挑战性，比较适宜从中抽取出单元学习主题。但是，对基础较好的高二学生而言，选择性必修中的“直线与圆”等内容则不具备挑战性，属于容易掌握的知识，不宜选为单元学习主题。

2. 整体性原则

“深度学习—单元教学”要求培养学生的整体观与联系观，即不要孤立地、碎片化看待某一板块内容。因此，单元学习主题首先必须体现出知识间的“承上启下”，即学生原有的知识经验要得到传承与发展，现在的学习也是为未来在这一板块的学习打下更坚实的基础。比如选择性必修的“圆锥曲线”，是在初中“平面几何”与高一“直线与圆”学习的基础上进一步学习的内容，用坐标法解决代数问题的方法可为高等数学的学习做充分的准备。

3. 发展性原则

“深度学习—单元教学”要求“以学生为中心”组织教学，最终目的是为了促进学生的发展。通过单元主题教学，学生要熟练掌握数学思想方法，数学思维能力与数学核心素养要得到提升。因此，单元学习主题应该在数学思想方法、数学思维能力、数学核心素养这三方面有明显的特征。比如通过学习“函数的概念与性质”，进一步理解函数思想与数形结合思想，掌握研究函数的一般套路，数学抽象与数学建模素养得到不同程度的提升。

4. 进阶性原则

“深度学习—单元教学”要达到的目标不可能一蹴而就，它要有一个整体的单元教学规划，分为几个实施阶段，每个阶段要有具体的目标和任务，最重要的是随着教学的进程，学生的数学思维能力和数学核心素养是逐渐提升的，即进阶。否则，就失去了单元学习的意义。例如学习“函数的概念与性质”，从概念学习中初步体验数学抽象，在单调性的学习中进一步理解数学抽象，而在奇偶性的学习中则能熟练地使数学抽象得到迁移。

二、凝练单元学习主题的过程

要凝练单元学习主题，首先要有一个大致的研究对象，即具体研究哪一个知识单元，或者哪一个核心概念;然后对学习要达到的标准要求和学情，以及内容本身和内容的学习意义进行精准的分析;最后确定单元学习的主题。但是，不少教师对具体要分析什么，得出什么结论不够清楚，往往把不同版本的教材编排抄一遍，把课程标准对此部分内容的表述抄一遍，然后简单分析一下学情，却不知道该怎么凝练主题。具体过程如图1所示：

1. 确定学习目标要求

学习首先要清楚究竟达到怎样的标准要求才行，否则就没了方向。因此，对课程标准的分析是确定单元学习主题的第一步。《普通高中数学课程标准（2017年版）》重视以学科大概念为核心，以主题为引领推动课程内容情境化，促进学科核心素养的落实。故单元学习主题学习目标的设计，不仅应关注该单元数学内容体现的数学基础知识、基本技巧，更应提升到关注内容所蕴含的基本思想，及通过设计好的单元学习过程给学生提供基本活动经验，发展数学核心素养。

其次，确定学习目标，应结合学情分析，否则知识技巧不能落地生根，提升能力、发展核心素养就成了空话。分析学情应包含对学生已有的知识储备、思想方法经验和能力水平的分析，包含对学生生理、心理和认知规律的分析，还要包含对学生个体差异及不同层次的学生可能遇到的困难的分析，使教学更贴近学生的现实水平。

只有将要达到的课程标准和学情分析有机结合，才能确定适宜的单元学习目标要求。

2. 确定具体研究内容

对内容的分析首先要从学科层面准确地把握该单元教学内容的定位、在整个数学学科中的定位，分析单元教学内容与前后期知识的连续性和相关性;其次分析单元教学内容本身包含的知识概念、本质特征、思想方法，以及单元内部的结构层次特点和重难点，并构建单元知识体系结构关系图;再次，除了分析内容，还要理解内容的学习意义，在培养学生核心素养的基础上引领学生形成正确的世界观、人生观、价值观。

三、单元学习主题的分类

2020年修订的高中数学教材，为了更好地基于主题（单元）开展深度学习，在认真研究各主题本质内涵的基础之上，根据核心素养具有发展连续性和阶段性的特点，将高中数学课程分解为5个主题板块：预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模和数学文化，从核心知识、核心思想方法和核心能力三个维度出发，构建了新教材体系。

教师是主题内容的决定者，在确定“数学主题”内容时，教师可以根据教学内容、学生的学习情况以及自己对教材的驾驭能力，选择单元主题内容。单元学习的主题通常有三种分类：内容主题类、思想方法类、能力素养类。

1. 内容主题类

内容主题类是以重要的数学概念或核心数学知识为主线组织的的知识类主题。如函数的单调性、方程等，可以作为知识类主题对待。这些主题有些是教材中的章节主题，有些是跨章节的主题，同时从知识的逻辑性和相关性出发，可以考虑两种呈现方式：对于知识的相关性不强的，可以用张网式呈现方式，对于逻辑联系强，呈递进关系的，可以前后依次展开，用线串式呈现方式。下面以单调性、度量关系和函数概念为例，构建单元学习主题。

函数的单调性研究是高中数学课程展开的一条主线，它与义务教育阶段的函数概念、函数图像、代数运算，高中阶段的函数概念、函数图像、函数性质、基本初等函数、数列、不等式、导数等内容紧密结合，是高中课程的核心内容之一，在中小学课程中起着承前启后的作用 ，因此对函数单调性的相关内容进行重组和整合可以构成一个跨章节的知识类主题，如图2所示（吕世虎、吴振英、杨婷、王尚志，2016）。

度量关系是一类基本的空间关系。高中数学中的度量关系包括长度、角度、面积和体积，从平面度量到立体度量，贯穿于多个章节中。我们可以以度量关系为内容主线，从长度、角度、面积和体积四个方面出发，构成一个跨章节的知识类主题。比如函数相关的度量问题，平面中的长度、夹角问题，三角形中的距离、角度、高度、面积问题，直线和圆中的点、线间的距离，立体几何中的点、线、面间距离、角度、体积问题，复平面内的长度问题等（如图3）。

函数主线中的函数概念，基本初等函数是连续函数的典型范例，数列可以看作离散函数，并且从对应关系出发，概率与统计中的概率以及随机变量可以看作更广义的函数，即从一般集合到实数集的映射。因此从函数的概念及延伸的角度，可以把这部分内容重构成一个跨章节的内容主题（如图4）。

2. 思想方法类

思想方法类主题是以数学思想方法为主线的主题。数学中的思想方法很多，例如数形结合、统计思想、坐标法、公理化、分类讨论、类比、转化（化归）、微积分思想等。下面以坐标法、数形结合和统计思想方法为例构建单元学习主题。

坐标法的基本思想主要有两点：第一，建立平面坐标系，把平面中的点与一组有序实数对相对应;第二，平面上的一条曲线可以由包含两个变量的一个代数方程来表示，这样几何问题就可以转化为代数问题来研究。

基于以上分析，我们凝练出单元学习主题：坐标法，由椭圆体会数形结合思想，发展学生的数学抽象和数学运算核心素养。同时我们分三个阶段研究椭圆：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的应用。如此充分体现坐标法的思想，培养学生利用坐标法解决平面解析几何问题，同时学生离开老师的引导后，能够独立或以团队的形式研究双曲线和抛物线，把知识进行迁移，解决新的问题。

高中数学中有很多体现数形结合思想的内容：函数与方程、导数应用、圆与方程、直线与方程、圆锥曲线等，我们可以把这些内容整合在一起，构成“数形结合思想方法”张网式结构主题。

统计思想包括均值、变异、估计、相关、拟合、检验等思想，而统计方法依据数据分析的过程，可以分为数据收集、描述以及推断三个阶段。义务教育阶段的统计以数据收集和描述为主，而高中数学兼有二者，并以推断为重点。因此以统计思想方法为主题，可以让学生主动经历数据收集、描述和推断的全过程，并渗透相应的统计思想（如图5）。

3. 能力素养类

以数学核心素养、基本能力为主线的主题是素养类主题。课程标准提出六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。我们可以以一个核心素养或多个核心素养为主体，来确定单元学习主题。下面以数学建模素养为例，构建素养类单元学习主题。

课程标准加强了数学建模的要求，并明确了数学建模活动的学时要求，体现了数学建模在数学学习中的重要地位。数学建模的一般过程是把实际问题抽象成数学问题，求解数学问题后，把得到的解转换成实际问题的解。因此数学建模素养与其他五个核心素养紧密联系，并且根据涉及数学问题的不同，关联不同的核心素养。高中阶段数学建模渗透在不同的主线中，比如函数主线中的指数、对数增长模型，三角函数中的摩天轮问题，几何与代数主线中的力的合成与分解、做功问题，圆锥曲线的光学性质等。高中涉及的数学模型可以按照几大主线分为函数类模型、概率与统计类模型、几何与代数类模型。各主线的数学建模单元教学可以安排在相应主线的主题教学之后，比如函数模型，可以在函数主线有关的单元教学后组织数学建模单元教学。

在核心素养背景下，对数学建模单元主题的凝练，要从两方面入手。一是要重视其技术性，体验数学建模的一般过程。即首先创设情境，提出问题，接着让学生通过逻辑推理与猜想，设计解决问题的方案，用数学语言准确描述建立数学模型，然后运用模型科学求解，并检验结果，最后反馈现实情境，获得最终结果（如图6）。二是要重视其思想性。教师要引领学生领悟数学建模思想，体验数学建模过程，建构数学建模能力。