数列不等式的“缩放”技巧探究

一、前言

近年来，数列不等式证明成为高考的热点，多以压轴题的形式出现。数列不等式证明强化了对知识点的归纳综合，也突出对学生综合运用能力的考查，以及发散性思维的培养。在高中数列不等式证明中，“缩放”证明技巧最为常用，也是最有效的证明途径之一。在抓住数列性质的同时，通过合理的缩放处理，进而实现对目标不等式的证明。本文立足于对数列不等式的研究，就数列不等式证明如何缩放提出了如下几点建议。

二、基于缩放下构造“裂项”求和

在数列不等式的证明过程中，数列之和常常难以直接求得。为此，通过缩放构造“裂项”求和，就是实现目标不等式证明的重要途径。通过将数列通项公式分裂成“两项之差”的表达式，再在求和之后，进行缩放处理。但是，很多情况之下，通项公式不能分裂，这就需要针对目标不等式，对通项式先进行适当缩放，进而裂项、求和之后，再放缩。

例1-1：已知数列an的前n项的和sn=an-×2n+1+，n∈N.

（1）求数列an的通项式an；（2）设Tn=，n∈N，证明

Ti<.

解：（1）过程省略：an=4n-2n，n∈N，

（2）

为此，

所以，

在第二问的数列不等式证明中，通过对Tn通项公式的计算，并对通项式进行裂项处理，形成含有的典型裂项差，这对于不等式的缩放证明，构建了良好的基础。很快，在裂项求和的过程，中间项全部抵消，剩下。为此，，不等式得证。在数列不等式证明的过程中，对通项式进行裂项求和、消项的做法最为常用，特别是构建诸如的典型裂项差，是缩放处理的基础，也是实现数列不等式证明的重要途径。

二、基于缩放下构造“等比”求和

等比数列是高中数列中的重要知识点，也是数列不等式缩放证明的重点应用领域。在一般情况之下，可以通过等比数列求和之后，进行缩放。当然，很多情况下，缩放处理在数列求和之前，也就是先对通项进行缩放，从某一项开始缩放之后，和式转化为等比数列求和，进而求和之后缩放。因此，抓住数列性质，构造等比数列缩放，是有效证明的重要途径。

例2-1：已知数列an，满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）.

（1）求数列an的通项式：

（2）证明：-<++…+<（n∈N）.

解：（1）过程省略：an=2n-1（n∈N）

因此，

在第二问的解题过程中，右边证明相对比较简单，通过对通项公式进行适当的缩放，就很快得出，k=1，2，3，…n，进而得出。在对左边的证明中，先对通项公式进行缩放，构造等比数列之后，再进行缩放。在整个的缩放过程中，技巧性强、灵活性大，强调对目标不等式的整体把握。在不等式中，有（n∈N）”，因而，在进行缩放的过程中的构造非常重要，技巧性的将变式为，并对其进行缩放，

很快便可以得出这一结论：“≥-×，k=1，2，3，…n”，进而获得等比数列求和，缩放处理，实现目标不等式的证明。

在该例子中，缩放的技巧性强，灵活性大。一方面，强调在解题的过程中，能够依据对目标不等式的整体把握，进行适当的缩放处理。在很多情况下，可能缩放一次不成功，那么多次缩放尝试是有必要的；另一方面，等比数列是重要的数列知识点，也是高中阶段缩放处理的重要方向。通过对通项公式的适当缩放，在构造等比数列求和之后，再进行缩放。

总而言之，在高中阶段，数列不等式的证明，作为综合型题目，考查面广、难度大，这也是学生望而怯步的重要原因。在高考中，数列不等式成热点，多以压轴题的方式出现，这就足以见得其重要性。在高中数列不等式的证明中，“缩放”技巧最为常用，也是最有效的途径之一。通过抓住数列的性质，如等比数列、等差数列，强化与缩放策略的有效融合，进而实现数列不等式的证明。与此同时，借助函数性质缩放证明，也是常用的证明技巧，这就需要学生在日常的学习中，要对重要函数性质有所了解并识记，这对于一些数列不等式的证明，起到转折式的巧妙之处。

参考文献：

[1]江士彦.“缩放法”在数列不等式证明中的应用[J]数学学习与研究，2015（23）

[2]赵倩倩.放缩原理在证明不等式中的探究[J]语数外学习，2013（03）

[3]顾冬生.用放缩法证明数列不等式技巧“揭秘”[J]上海中学教学，2013（06）

[4]方志平.例析几种不寻常的放缩法巧证数列不等式[J]语数外学习，2012（10）

[5]陈怡娟.探析“缩放”策略在高中数列不等式证明中的应用[J]才智，2015（02）