奇思妙想与合情推理
作者： 邹晓勇
摘 要：圆锥曲线是生活中常见的曲线，也是高中平面解析几何研究的主要内容，有关这方面的研究也是我们经常关注的课题，在此，本人就关于圆锥曲线中周直角弦的有关性质进行思考与论证。
关键词：圆锥曲线； 抛物线； 双曲线
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2015）05-028-002
一、问题引入
众所周知，圆有如下性质：过圆上一点P任意作两条互相垂直的弦PM，PN，则直线MN过定点（圆心）。那么上述性质可否推广到其它的圆锥曲线呢？即：过圆锥曲线上一点P任意作两条互相垂直的弦PM，PN，则直线MN过定点？
二、思考与探索
1.圆是圆锥曲线中非常特殊的一种，我们可以把它看成是离心率e=0的圆锥曲线。除此之外，还有一种圆锥曲线也很特殊，那就是抛物线，因为它的离心率e=1。要证明上述结论是否成立，我们可以从抛物线上打开突破口，看看抛物线有否这种性质。
1.1抛物线的特殊情形。过抛物线x2=2py（p>0）①上的顶点O任意作两条互相垂直的弦OM，ON，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：y=kx+b②则由①②组成方程组，得：x2-2pkx-2pb=0，
即直线MN过定点（0，2P）。
1.2抛物线中的一般情形。过抛物线x2=2py（p>0） ①上的一点P（x0，y0）任意作两条互相垂直的弦PM，PN，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：y=kx+b②，则由①②组成方程组，得：x2-2pkx-2pb=0，∴x1·x2=-2pb，x1+x2=2pk，
将x02=2py0代入上式得：
∵p（x0，y0）不过直线MN，则y0≠kx0+b.
∴kx0+p=b-（p+y0），b=kx0+y0+2p代入直线MN方程：y=kx+b得，y=k（x+x0）+y0+2p，即直线MN过定点（-x0，y0+2p）。
小结：我们在寻找圆锥曲线是否也具有类似性质时遵循的是从特殊到一般的在数学探索过程中经常使用的一种方法，这里的从特殊到一般有两重含义：一是从最特殊的圆锥曲线——抛物线入手，打开问题的突破口；二是先从特殊点入手——寻找解决问题的思路，再将其一般化，下面要解决椭圆和双曲线的问题，方法自然就水到渠成了。
2.椭圆中的一般情形
若直线MN的斜率不存在，易知上述结论也成立。
3.双曲线中的一般情形
三、得出结论
四、几点思考
1.探究性学习对学生提出了很高的探索能力的要求，而在数学中培养探索能力的一个有效途径是让学生掌握合情推理的能力。
2.合情推理就是指运用观察、实验、归纳、类比、推广、限定、猜想等一套自然科学常用的探索式的方法进行的推理，它包括归纳模式、类比模式、推广模式、限定模式、猜想模式等，本文就是利用合情推理模式之一——归纳模式：从特殊到一般、先猜想后证明的数学发展模式。
3.注意论证推理和合情推理的关系：它们之间并不矛盾，而是互相补充的。但合情推理并不是论证推理，它也代替不了论证推理。