圆锥曲线中最值问题的解题策略

摘 要：圆锥曲线是高考必考内容，以椭圆、双曲线、抛物线为载体，考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型，它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力。

关键词：圆锥曲线； 最值问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）03-018-002

圆锥曲线是高考必考内容，以椭圆、双曲线、抛物线为载体，考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型，它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力。下面例析与圆锥曲线有关的最值问题。

一、构造函数法

例1：（2013模拟试题）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0），F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有■=λ■（其中λ为实数）。

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）过焦点F2的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F1MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程。

解析：本题（1）问中，根据△F1PF2重心、内心满足■=λ■，即与G、I的纵坐标相同，从而可以求出内切圆半径，通过求△F1PF2的面积可以得到一个a与c的关系式，求出离心率e；第（2）问给出△F1MN面积的最大值，应构造△F1MN面积关于直线l斜率倒数m的函数关系式，通过求函数的最大值，求出椭圆的方程。

解：（1）设P（x0，y0），焦点F1（-c，0）、F2（c，0）

∴重心为G（■，■），又∵■=λ■，所以内心I的纵坐标为■

∴S△F1PF2=■|F1F2|·|y0|=■（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）|■|

∴2c·3=2a+2c，∴e=■=■

（2）由（1）可设椭圆C的方程为：■+■=1（c>0），直线l方程为：x=my+c 且直线l与椭圆C的交点M（x1，y1），N（x2，y2）

由■+■=1x=my+c得：（4+3m）y2+6mcy-9c2=0

∴y1+y2=-■，y1y2=-■

∴S△F1MN =|F1F2|·|y1-y2|=c■=12c2■

令m2+1=t，则有t≥1且m2=t-1

∴■=g（t）=■=■=■

易知g（t）在[1，+∞）单调递减，∴g（t）max=g（1）=■

∴S△F1MN 的最大值为12c2·■=3c2

∵△F1MN面积的最大值为3

∴c2=1

∴椭圆C的方程为■+■=1

点评：圆锥曲线中的有些最值问题，可以把所求最值问题转化为函数的最值问题，通过解决某些函数（比如二次函数、反比例函数、双勾函数等）的最值问题得到所求结果。

二、不等式法

例2：（2012浙江五校改编）设椭圆■+■=1（a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且

■+■=0。

（1）试求椭圆的方程；

（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DEMN面积的最大值和最小值。

解析：本题（1）问中，根据■+■=■得到F2为AF1的中点，从而求出a；第（2）问四边形DEMN的面积S=■|DE|·|MN|，所以分别求出弦长|DE|、|MN|，并表示出面积关于斜率k的函数关系式，通过构造函数，利用基本不等式，函数自变量的取值范围及函数的单调性，求出面积的最大值和最小值。需要注意的是直线DE、MN斜率不存在时要单独考虑。

解：（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0）

∵■+■=■ ∴F2为AF1的中点，∴a2=3，b2=2

即椭圆方程为■+■=1

（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=■=■，此时|MN|=2a=2■，四边形DEMN的面积

S=■|DE|·|MN|=4。同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DEMN的面积S=■|DE|·|MN|=4。

当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE所在直线方程为：y=k（x+1），D（x1，y1），E（x2，y2），由■+■=1y=k（x+1）得

（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0

∴x1+x2=-■，x1x2=■

∴|DE|=■|x1-x2|=■=■

将上式的k代换成-■可得

|MN|=■=■

∴四边形DEMN的面积S=■|DE|·|MN|=■·■·■=■令t=k2+■，

得S=■=4-■

∵t=k2+■≥2，且在[2，+∞）上单调递增，∴当t=2时S取得最小值■

∴在[2，+∞）上，■≤S<4

综上可知，■≤S≤4，故四边形DEMN面积的最大值为4，最小值为■。

点评：本题仍然是把面积表示成关于斜率k的函数，通过求函数的最大值和最小值解决问题。本题的难点在于构造函数，即把k2+■看成整体，通过基本不等式求出k2+■的取值范围，也就是函数的定义域，结合反比例函数的图象、单调性求出最大值和最小值。有些最值问题可直接通过基本不等式求出最值。

三、三角换元法

例3：（2013模拟试题）已知点P（4，4），圆C：（x-m）2+y2=5（m<3）与椭圆E：■+■=1（a>b>0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切。

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一动点，求■·■的取值范围。

解析：本题（1）问根据点、椭圆、直线的位置关系求出相应的圆、椭圆的标准方程。第（2）问用坐标表示

■·■的数量积，利用椭圆的参数方程求出最值。

解：（1）∵A（3，1）在圆C：（x-m）2+y2=5上

∴（3-m）2+12=5解得m=1

此时圆C的方程为（x-1）2+y2=5，圆心C（1，0），半径

■设焦点F1坐标为（-c，0）则直线PF1方程为y=■（x+c），即4x-（4+c）y+4c=0

∵直线PF1与圆C相切

∴圆心C（1，0）到直线PF1：4x-（4+c）y+4c=0的距离d=■=■

解得c=-36（舍）或c=4

所以可设椭圆方程为■+■=1

∵椭圆经过A（3，1）

∴■+■=1

解得a2=8（舍）或a2=18

∴椭圆方程为■+■=1

（2）椭圆E上的一动点Q坐标为（x， y），由椭圆的参数方程得x=3■cos？琢y=■sin？琢

则■=（x-3，y-1），由■=（1，3）得■·■=x-3+3y-3=x+3y-6=3■cos？琢+3■sin？琢-6=6sin（？琢+■）-6

∴■·■的取值范围为[-12，0]

点评：高考解析几何大题多数以椭圆为载体，遇到最值问题时，可以考虑椭圆的参数方程，利用三角函数的有界限性加以计算。

四、转移变量法

例4.（2013浙江模拟试题）设椭圆M：■+■=1（a>■）的右焦点为F1，直线l：x=■与x轴交于点A，若■+2■=0（其中O为坐标原点）。

（1）求椭圆M的方程；

（2）设P是椭圆M上的任意一点，E、F为圆x2+（y-2）2=1的任意一条直径（EF为直径的两个端点），求■·■的最大值。

解析：本题（1）问中，根据直线l：x=■与x轴交于点A，若■+2■=0，求出a的值；第（2）问中点P的坐标是变量，M、N的坐标也是变量，■·■含有多个变量，应该使■·■中的变量尽可能的少，从而求出最值。

解：（1）由题设知，A（■，0），F1（■，0），

由■+2■=0，得■=2（■-■），

∴解得a2=6，

所以椭圆M的方程为■+■=1。

（2）设点E（x1，y1）、F（x2，y2）、P（x0，y0），

因为E、F的中点坐标为（0，2），所以x2=-x1y2=4-y1

所以■·■=（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）

=（x1-x0）（-x1-x0）+（y1-y0）（4-y1-y0）

=x02-x12+y02-y12+4y1-4y0

=x02+y02-4y0-（x12+y12-4y1）

因为点E在圆N上，所以x12+（y1-2）2=1，即x12+y12-4y1=-3，

又∵点P在椭圆M上，所以■+■=1，即x02=6-3y02，

所以■·■=6-3y02+y02-4y0+3=-2y02-4y0+9=-2（y0+1）2+11

因为y0∈[-■，■]，所以当y0=-1时，■·■取得最大值11。

点评：本题涉及的最值问题■·■是以一个含有较多变量的最值问题，利用点E、F坐标间的关系，将■·■转化为关于P点坐标的关系式，再根据点P在椭圆上，把■·■转化为关于点P坐标的二次函数，通过二次函数求出最值。