浅谈学生在数学解题中逆向思维的培养

摘 要：数学作为一门培养学生思维的重要学科，在解决数学问题的过程中有时候应用逆向思维就显得尤为关键。笔者认为在数学解题过程中，对于有些问题，教育者应重点培养学生的逆向思维能力。

关键词：数学思维； 逆向思维

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）11-138-002

“逆向思维”，就是指在与原先思维相反方向上的思考与研究。也正因为如此，在国外关于数学思维的现代研究中，有时把这种思维形式称之为“逆转”。与同向思维一样，作为思维的一种形式，逆向思维蕴育着创造思维的萌芽，它是创造性人才必备的一种思维品质。人们在应用中总结了逆向思维式的三大类型：第一，反转型逆向思维法，即从已知事物的相反方向进行思考，产生发明构思的途径。第二，转换型逆向思维法，即在研究一问题时，由于解决问题的手段受阻，而转换成另一种手段，或转换思考角度思考，以使问题顺利解决的思维方法。第三，缺点逆用思维法，即利用事物的缺点，将缺点变为可利用的东西，化被动为主动，化不利为有利的思维发明方法。在数学解题中，我们应充分认识到逆向思维的作用，更好地实现教学目标，还能进一步激发学生的求知欲望和创造精神。[1]

一、分析题目中问题的对立面，化繁为简，取其补集

一道数学题中主要包括两部分，即条件和问题。而一般情况下，题目中的条件是不能变的，但我们可以看准题目中的条件，抓住问题的对立面。引导学生依据题目条件，从问题的反面入手，把反面的结果求出来，然后从总体中取其补集，便是原题的结果了，所以这种方法我们又称为“求补法”。[2]

例1从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率？

分析：至少有两张牌花色相同含有这样几类，一类是两张牌花色相同，其中含两两相同的类型，一类是三张牌花色相同，一类是四张牌花色相同，这四个事件虽然彼此互斥，但要求其概率非常复杂；而采用反概率公式则显得更为简洁些。所以我们知道问题的对立面为取出的四张牌的花色各不相同，即设至少有两张牌的花色相同为事件A，则为取出的四张牌的花色各不相同。

所以至少有两张牌花色相同的概率是0.8945。

二、从结论入手，反推条件，灵活运用分析法

在证明题目中，特别是在几何证明中，很多结论的证明都需要运用到分析法。而分析法是在“逆向思维”的原则下产生解决问题的一种重要方法，其精神实质是“执果索因”，即要证明结论的成立，只要顺着这根“藤”，摸到使结论成立的充分条件即可，所以这种方法对于解决证明题是非常有效的并且也是很实用的。

三、从结论的反面入手，灵活运用反证法

分析：运用反证法，假设选项都成立，则可选B

四、寻求解决问题的等价命题入手，寻找另一片“天空”

我们知道原命题与其逆否命题具有等价性，那么我们能不能运用这个性质把那些从问题本身难以直接解答的数学问题，引导学生转化成它的逆否命题来解呢？显然，答案是肯定的，并且这种逆向思维往往容易奏效。

五、公式、定理的逆向使用，为我们解决问题提供很好的工具

日常教学中发现很多同学在使用公式、定理的时候只知道严格根据从左至右的原则，而忽视了公式、定理的逆向使用。实际上，数学公式本身是双向的，但从习惯上讲存在由左到右或化繁为简的顺序，运用公式时大多都遵循这样的习惯顺序。教学中如果多引导学生逆向使用公式、定理也许会出现令人大吃一惊的解题效果。

从以上结合具体的教学实例谈逆向思维中，我们可以看出，在数学教学中有许多培养逆向思维能力的好素材，只要我们在教学中长期坚持、积极探索并不失时机地利用这些素材，学生的逆向思维能力便能逐步地提高。值得一提的是，逆向思维是以扎实的基础知识、基本技能为前提。只有具备大量的知识信息，才能从事物的不同方向和不同联系上去考虑问题。[4]

参考文献：

[1]崔鹤同，徐玉平.逆向思维，独辟蹊径[J]公关世界，2005（4）：10-I1

[2]汪和根.例谈逆向思维[J]安徽教育学院学报，2003（11）

[3]G.波利亚.怎样解题[M]上海：科技教育出版社，2002

[4]徐利治.数学方法论选讲〔M〕武汉：华中工学院出版社，1983：7-8