积分学中的元素法

摘 要：用积分学解决物理学中的一些实际问题时，首先要用“元素法”把所要解决的实际问题转化成某种类型的积分。本文以重积分为例，系统地阐述“元素法”的基本原理。

关键词：元素法； 区域可加函数； 可加函数的导数； 可加函数的微分

中图分类号：0241.83 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）05-144-001

一、区域可加函数

定义1 任意一个区域函数Φ(V),如果对于任意两个无公共内点的区域V1、V2，恒满足条件Φ(V1＋V2)＝Φ(V1)＋Φ(V2)则称Φ(V)为区域可加函数。

如，长度、面积、质量、功等等这些常见的量，都是区域可加函数的例子。

二、区域可加函数的导数和微分

定义2取可加函数定义域内一点M的任意领域△Vm，做比值

Φ（△Vm）=■并在域△Vm缩为点μ（△Vm→0）的条件下取极限。如果极限存在，即

Φ（m）=■Φ（△Vm）=■■

则称此极限ψ(m)为区域可加函数Φ(V)，在点M处对域V的导数，表为Φ＇(V)，即

Φ'（V）=■■=■■=■=Φ(m)

定义3 量Φ(△Vm)的主要部分，也就是在△Vm→0时等价于Φ(△Vm)且正比于△Vm那个量，叫做区域可加函数Φ(V)在点M处的微分，我们把它表为dΦ(V)。

函数Φ(V)的微分，等于Φ(V)对域的导函数乘以域V的微分dV，即

dΦ(V)=Φ'(V)dV=?鬃(m)dV

微分dΦ(V)也叫做区域函数Φ(V)的元素。

三、积分学中的元素法

定理1如果区域可加函数Φ(V)的导数ψ(m)是连续的（或分段连续），那么函数Φ(V)在区域V上的数值Φ(V)等于

Φ(V)=■DΦ(V)=■Φ(m)dV （1）

下面来证明定理1，为此先引进两个引理。

引理1 设区域V可分为K个部分区域V1、V2…VK，而区域可加函数Φ(V)在每一个区域Vi（i＝1、2、3…K）的■均小于某一数值μ，则在区域V上也有

■＜μ

[证]从不等式

■＜μ，■＜μ，……，■＜μ，

得到

Φ(V1)μV1，Φ(V2)μV2，……，Φ(Vk)μVk，

从而

Φ(V0)=■Φ(V1)≤■Φ(Vi)＜μ■Vi=μV

因此有■＜μ （证毕）

引理2如果区域可加函数Φ(V)的导数ψ(m)恒为零，那么函数Φ(V)本身对于每一区域也等于零。

[证]根据引便1即可证明引理2，在此从略。

[定理1的证明]

首先假定给定的函数ψ(m)是连续的。我们引进一个区域可加函数

F(V)=■Φ(m)dV显然函数ψ(V)的导数与ψ(m)相等。

再引进一个辅助函数ψ(V)-Φ(V)，由于它们的导数都是ψ(m)，所以其差的导数处处为零，由引理2，这个差自身恒等于零，于是对于任意区域V，有

Φ(V)=F(V)=■Φ(M)dV （2）

如果ψ(m)是分段连续的，那么我们把区域V分成有限个区域使得在每一区域中ψ(m)是连续的。在每一个区域中，定理已经证明了是正确的。把这些对于每一个部分区域成立的结果综合起来，我们就得到等式（2）在一切区域V中都成立。（证毕）

定理1虽然是以三重积分为例证明的，但是该定理对于定积分、二重积分、曲线积分、曲面积分等照样成立，证明方法也类似。下面仅给出关于曲面积分的定理。

定理2如果在曲面上区域可加函数Φ(Σ)的导数ψ(m)是连续的或分段连续的，那么对于一区域Σ，有

Φ(Σ)=■ψ(M)d?滓 （3）

参考文献：

[1]Φ别尔曼特.数学解析教程.高等教育出版社，1956

[2]托尔斯托夫.数学解析教程.高等教育出版社，1962

[3]何琛，史济怀.教学分析教程，1985