揭开数学解题反思的“红盖头”

摘 要：要提高学生独立思考有创造性地解决问题的能力，解题反思起着很大的作用。

关键词：数学教学； 解题反思

中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2011）7-003-001

在数学教育活动中，最基本的活动形式是“解题”。学生无论是在数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是智力的培养与发展上都必须通过“解题”，但数学对象的抽象性、推理的严谨性与数学语言的特殊性却决定了处于思维发展阶段的中学生不可能一下子就直接掌握，必须经过多次反复探究、深入思考，然后自我调整，才可能洞察数学问题的实质。这就需要我们的中学生要学会“解题反思”。

一、解题反思的必要性

1．数学解题中元认知能力的提高

数学解题是有意义的发现学习，在解题过程中需要学生对自己的认知过程、思考方式去进行自觉的监测、控制和有效调节，这就是数学解题的元认知能力。一个解题“高手”在遇到稍难的问题时决不急于看解题答案，而是先独立作出一番研究，对如何入手、如何构思、如何选择、如何猜想作出基本策划，对问题情境的各种信息准确分类，迅速调动头脑中相关知识对有效信息作出选择，控制选择解决问题的策略，然后开始解题，在解题过程中总是保持良好的批判性与高度的警觉性，密切关注解题过程并随时用适当的方法检查自己的猜想与推理直至解题结束。解题结束后再回过头去自觉对问题的本质进行重新剖析，回顾发现解题“点金一念”的经历，抽取问题解决的关键，反思出此次解题过程的经验与教训。这样所形成的解题经验才能有较强的、广泛的迁移性。在这个过程中，自我反思往往被忽视，而它是提高认知能力中的“自我意识”的关键所在。

2．解题策略经验的积累

为了使学生能把学习作为主动自觉的一个过程，就必须让他们形成良好的解题认知结构。解题认知结构的建立和改造有三大环节：知识网络建构、解题实践活动和策略经验积累。在第三环节中，要能积累策略经验并不是“题海战术”中马不停蹄做题就能达到的，而是要在不断“解题回顾”中才能日积月累。在“回顾”中，把问题解决的新旧相关知识、解题方法、思考策略等意义进行同化并进行联系的强化，使知识更巩固，方法更熟练，策略理融会贯通，从而获得新的解题策略、方法，这个“回顾”过程又是一次“策略与经验”的学习与积累。

二、解题反思的方法

1．对解题的思考过程进行反思

在对一个问题解答结束以后，引导学生努力去回忆自己从开始到结束的每一步心理活动，即对解题的思考过程进行反思。一开始看到题目是怎么想的，绕了什么弯路，碰了几个钉子；为什么这么想，怎么会走到弯路的，所碰的钉子以后有什么可解决的规律可循；思考过程中老师和同学的提示为什么使我“顿悟”，我跟他们的差距是什么；自己的思考过程有没有什么普遍性的规律可以归纳等等。比如解完方程“x4-2x2-15=0”后反思一下为什么我一看到题目就觉得似曾相识但又怕它的“4次”呢？后来又是如何解决“4次”的，这种解决办法有没有什么规律呢？通过一连串的反思，学生会主动建构此类“高次”方程解法的一种策略。这无疑是对学生一种元认知能力的培养，是一种学习潜能的培养。

2．对解题所涉及到的数学思想方法进行反思

数学学习的精髓是对数学思想方法的领会、掌握和运用。而数学思想方法没有独立的存在形式，往往伴随着具体的数学活动过程，蕴涵在具体解题的字里行间，要靠学生在长期的数学学习中领悟、吸收和运用。因此，在解题结束后，应该去发掘一下在此过程中用了什么思想方法，这种用法有什么特点，在其他情况下是否也用过，有什么差异和规律等。当然这个过程开始必须由老师去引导和选拔，预先介绍转化的思想，函数与方程思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等，引导学生发现“降次、消元、换元、配方、归纳”等方法，然后碰到类似问题时让学生主动思考属于哪种思想方法，从而不断提高对思想的认识和运用水平。

3．对解题所涉及到的知识点进行反思

大多数学生对某一数学对象的认识不是在一次数学活动中就能完成的。比如初中八年级的学生在刚开始接触函数时并不能理解用“变量”下的定义，对于“y=2x-1”与“u=2v-1”是否是同一个函数根本不理解，对于函数为什么会有图象更是莫名其妙。函数对学生来说是一个难点，他们对函数的本质属性的认识不是在短时间内就能达到的，必须要经历一个长期的过程。而每一次的解题过程都可能提供一个提高认识水平的机会。尽管可能每次的数学背景不同，但涉及到同一对象“函数”的就可以进行反思，这个题目中的函数自己是否有一些新的认识，原来的认识有什么欠缺，这种欠缺是什么造成的，现在我会不会补救等等。久而久之，认识会越来越深刻，越来越完善。而正是这种与具体情境联系起来的认识才是能迁移的认识，才是最有用的认识。

4．对解题的推理过程、语言表述进行反思

数学解题追求简单自然，就是解题时抓住实质，不乱兜圈子，不去一味寻求所谓的妙解，而是利用题目中显性或隐性的条件直截了当寻求最朴实、最直接的解法。法国数学家狄德罗说过：“数学中的所谓美的解答，是指一个困难复杂问题的简易回答。”

例如，已知关于x的实系数一元二次方程x2+mx+n=0有两个实数根x1、x2且x1＜2，x2＜2,求证：2m＜4+n,n＜4。

如果仅靠根与系数的关系证明相当烦琐，且书写过程较琐碎，但如果由方程x2+mx+n=0联想到函数y=x2+mx+n=0的图象便简单自然多了，根据条件推得函数在x=±2时均为正值从而推到2m＜4+n，结合根与系数的关系再得到n＜4。

正如柯朗（R.Courant）所说：“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯的演算习题的训练，固然，这可以发展运算的能力，但却无助于提高独立思考的能力。”因此要提高学生独立思考有创造性地解决问题的能力，解题反思起着很大的作用，在这条引导学生学会如何进行解题反思的道路上，我们还任重道远。