利用图形上点的任意性求解定点或定值问题

摘 要：笔者通过对高考题和高考模拟题的研究，发现江苏省高考模拟题中出现频率较多的一类利用圆或圆锥曲线上点的任意性来求解定点或定值问题。

关键词：点的任意性； 定点或定值问题； 高考模拟题

中图分类号：G633．6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2011）8-029-001

笔者研究了2011年江苏13个大市的高考模拟试卷，发现在高考的必考内容解析几何部分，有起码三份模拟试卷中涉及到了同一类问题——利用圆或圆锥曲线上点的任意性来求解定点或定值问题。而这类问题往往因为学生接触的少，需要设的未知数较多，得分情况不甚理想。

其基本考查模型是：若点Q（x0，y0）是圆或圆锥曲线上任意一点，且Ax0+By0+C=0或Ax02-By0+C=0恒成立，则必有A=B=C=0。下面以实例来分析。

例1.(镇江市2011届高三期末调研测试)

已知圆C方程x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1=0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上。

（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；

（2）判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；

（3）当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B，使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）（2）略

（3）椭圆方程 设