几何证明添加辅助线的技巧

摘 要：对于很多几何证明题，添加辅助线是关键所在，学生应该掌握三角形、梯形、平行四边形、圆形等图形中添加辅助线的基本规律，掌握辅助线添加的技巧，仔细研读题目，从题设和结论入手，添加辅助线，将二者联系起来。

关键词：辅助线； 基本规律； 桥梁； 反推法

中图分类号：G633．6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2011）9-028-001

对于中学生来说，几何证明题很令人头疼，当他们面对题目时，经常不知从哪着手，看着题目，看着图形，却毫无思路。这主要有三个方面的原因：一、对于已学过的定理、推论等掌握不牢固。二、没能掌握一些证明题里的规律。三、不能将题目中的信息与已学知识恰当地联系起来。在很多证明题中，添加辅助线非常重要。如果学生能够掌握添加辅助线的一些基本规律，从题设、结论两个方面入手，成功添加辅助线，最终将三者统一起来，那几何证明题就迎刃而解。

一、添加辅助线的基本规律

在几何证明题中，辅助线的添加有一些基本的规律，虽然不能适用每道题，但是对于许多题目仍很有用。

1．在三角形中，遇到中点，添加中位线或中线；遇到角平分线，过角平分线上的点，添线构造全等三角形；遇到中线，延长中线至原长的二倍，构造全等三角形；截长补短构造等长直线等；添加平行线构造全等或相似三角形。

2．在梯形中，作平行线，构造平行四边形；补全直线，构造三角形；作垂线，构造直角三角形或矩形；遇到中点，作中位线或构造全等三角形；遇到对角线，作平行线。

3．在平行四边形中，有平行线构造平行四边形；有中点构造全等三角形；过交点作垂线；有垂线时，构造矩形或作平行线。

4．在圆中，有切线，过切点作半径；有弦，过圆心作垂线；有等弧，作等弦或等圆心角；遇到直径，构造直角三角形；两圆相交时，作公共弦；两圆相切时，作公切线。

二、从题设入手，添加辅助线

在证明题里，题设中包含的信息最多。根据题设信息，联系已学知识，层层深入，结合结论，确定辅助线。

例1：如图（1），Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB交BC于H。

求证：CE=BH。

分析：题设中出现了两个重要的信息，即AE平分∠CAB和FH∥AB，根据添加辅助线的基本经验，我们会想到，由于出现了角平分线，可以过E点作AB的垂线（图1-1），构造三角形与△ACE全等，由全等可知CE=EQ,则证EQ=BH即可,要证他们相等，同样很麻烦，因为BH不是任何三角形的边，需再添辅助线。因而我们需转换思路，根据EH∥AB，可添辅助线FP∥HB（图1-2），构造平行四边形FPBH。由平行四边形性质可知FP=HB，则证FP=CE即可。根据已知条件易证△ACF≌△APF，可得PF=CF,所以再证明CF=CE即可。由于CF、CE在一个三角形中，证明△CFE等腰，∠3=∠4即可。题设中∠ACB=90°，CD⊥AB，AE平分∠CAB，FH∥AB，这些条件中暗含了很多角相等的信息，通过这些信息易证明∠3=∠4，也就间接证出了CE=BH。

例2：已知如图2，△ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F。

求证：FC=2AF

分析：题设中两次出现了中点，由此可以想到作中位线或是过中点作底边的平行线。但有两个中点，具体怎么作，还需结合结论来定。求证结论是FC=2AF，作完辅助线之后，应使得题设中的条件和结论之间的关系更加明确。因而找到最适合的方法：过D点作CF的平行线，交BF于点G。这样就把辅助线DG与结论中的FC联系起来，FC=2DG。只要证明DG=AF即可。由DG∥AC，E为AD中点，易证△AFE≌△DGE，所以DG=AF，这样即可证明FC=2AF。

三、从结论入手，添加辅助线

结论只有一个，同样结论中的信息也只有一个，虽然信息比题设中少了很多，但是有时也可以直接从结论出发，结合题设做出辅助线。即采用反推法。

例3：已知，如图3，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，

求证：∠BAP＋∠BCP=180°

分析：此题求证结论是∠BAP＋∠BCP=180°，结合图形可知 ∠BAP和∠BCP两个角分别在两个三角形中。由已学知识可知，互补角和为180°。因而将两个角移到一起即可。由图可知，∠BAP+∠EAP=180°，只要能证明∠BCP=∠EAP 即可。从而可想到添加辅助线，构造全等三角形。所以过P点作BA的垂线，垂足为点E。由∠1=∠2，PD⊥BC，PE⊥AB，可得PE=PD，BD=BE，∠PEA=∠PDC。

由AB+BC=2BD，可得BC-BD=BD-AB=BE-AB。即AE=DC，由角边角相等即可证明△AEP≌△CDP，则∠BCP=∠EAP，从而证明∠BAP＋∠BCP =180°。

总之，在几何证明题中，恰当地添加辅助线至关重要。学生应该在做题的过程中，总结添加辅助线的基本规律，对于一些非常规的题目，要善于联想，善于结合，把题设、结论，用已学知识联系起来，找到突破口，成功添加辅助线。