数形结合 角度善变 决胜中考

摘 要:“函数几何题”常常是中考试卷中的把关题和压轴题,翻一下历年各地的中考试卷,几乎都有函数中的几何问题。

关键词:函数几何题

中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1006-3315(2010)7-028-001

由于近年来的“函数几何问题”已经从单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型,其涉及的知识面广、知识跨度大、综合型强、应用数学方法多,这就要求学生有较好的心态和过硬的数学基本功。不仅能从已知中提供的信息提炼出数学问题,而且能灵活运用所学知识和掌握的基本技能创造性地解决问题,所以初三老师在指导复习时,尤其要注意这类问题的解决策略。

一、沉着面对,耐心审题

有些考生一看到“函数几何问题”复杂的图形,那么多的条件和要求解的问题。首先就心慌气短,连看都不敢看,直接放弃,其实没必要的,虽然“函数几何问题”的能力要求很高,但问题的难度是有层次的,所以没必要全盘放弃和恐慌,正确面对就可以了,因此首先心态要好。但由于该类问题条件隐蔽,而且变化多样,所以一定要认真审题,层层剥离,充分挖掘。要注意把握好解题结果的终极目标和每一步的局部目标;了解由已知产生了什么和要解决什么,提高概念把握的正确性和运算的正确性,力求能够得到的分一定要拿到手。

二、掌握特性,分解难点

在“函数几何问题”中,经常可以看到二次函数和圆相结合的问题,有时是利用圆的几何特征解决二次函数中一些点或角的问题。有时是利用二次函数的函数特性解决圆中的一些线段或面的问题。不管是哪一类,都要明确工具自身的特性。如圆的轴对称性旋转不变性、抛物线的点与式的紧密结合性。当工具的特性体现完时,把有关图形再分离出来,达到清晰解题,降低难点的目的。如2008年新课程结束考试卷上有一题:如图所示:在平面直角坐标系中圆M经过原点O且与X轴、Y轴分别相交于A(-6,0),B(0,-8)两点。

⑴请写出直线AB的解析式

⑵若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M,顶点C在圆M上。开口向下,且经过点B。求此抛物线的函数表达式。

第⑴小题很简单,用待定系数法求出直线解析式即可。而第⑵小题就要紧扣圆的特性。用垂径定理得AN=NO=3,再由直径AB=10得R=5,用勾股定理求出MN=4,从而得CN=1,这样就求出了顶点C的坐标。抛物线的函数表达式也就求出了。

到第⑶小题时,其实圆的工具性也体现完了,仅是函数内部问题,可以重新画图,再次确定研究对象,使目标清晰,此时,P点不确定,它就相当于动点,行动轨迹为抛物线,我们就可以用抛物线的特性来定位动点,设出P点坐标为(X,-X2-6X-8),再用面积来计算,不过这里在计算面积时要当心。△PDE的高为|-X2-6X-8|就可以了。

三、了解动态,细心分类

在“几函问题”和“函几问题”中经常会遇到运动问题。

⑴动点P在怎样的图形上运动?

⑵求⊙P与l相切时,点P的坐标。

⑶当⊙P与直线l相交于B、E两点时,与X轴交于另一点A,l上是否存在一点Q,使AQ2=BQ·EQ?若存在求点Q的坐标,若不存在请说明理由。

我们在分析这一问题时,可以先在草稿纸上把运动过程感知一下,发现如果要满足动圆P始终在Y轴左侧并与Y轴相切的话,动圆P点圆心P到Y轴的距离始终是半径5,这就是动中找出不变的量,那么圆心P就应该在这样一条直线上运动。即与Y轴平行且到Y轴的距离是5的一条直线即X=-5。到第二题与动圆相切的对象换成了已知直线l和Y轴,模拟运动后,发觉要满足上述要求有两种可能。一种动点P在∠1的角平分线与圆心P的轨迹的交点处,另一种即在∠2的角平分线与圆心轨迹的交点处,分类完成后,确定可能了,接下来利用相似等性质认真计算求出P点的坐标。对于第⑶题,说明完BE是直径后,由已知去构造△ABQ和△AEQ相似。此时就要对Q点在直线l上的运动情况进行分类,直线l有三个特殊点,B点、E点、P点。故Q点就可能在E点的右边,或在BE的之间,或在E点的左边。分类分好后,再逐一构造相似,进行计算。

四、挖掘已知,转移变量

“函数几何问题有时直接变量与已知联系不大或很难,直接判断时,常常可以通过转移变量,达到简化的目的。如:2006年常州中考卷上一题:在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限,过点P作⊙O的切线与X轴相交于点A,与Y轴相交与点B。问P在运动时,变化着的线段AB长度的最小值。当然本题的解法不止一种,但最简单的还是想到AB这个变量直接判断较困难,若能转移到斜边上的中线这个变量,问题就容易理解很多,斜边上的中线要最短,即原点到中点的距离变成原点到AB的垂线段就可以了。即中点和切点重合。

五、掌握技巧,灵活求解

解决“函数几何问题”时,尤其要重视数形结合,对题目中的条件和结论既分析代数含义又分析其几何意义,“数”与“形”的互译、限制的转化,是解决这类问题的关键所在,找到解题思路,再加上平时自己积累的经验、小技巧,也可以帮助很快解题。