在解题中培养数学反思习惯的尝试

摘 要：在解题中培养学生的数学反思习惯，应从调查学生解题现状入手，明确数学反思的目的意义，抓住解题的关键步骤，不断优化解题训练，达到培养反思习惯、提高解题能力的目的。

关键词：数学； 解题； 反思； 习惯

中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2010）11-006-002

在初中数学教学中，解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，也是检验知识、运用知识的基本形式。费赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”， 只有通过不断地反思，掌握解题规律才能提高学习效率，提高解题能力。在实践中，笔者对如何在解题教学中培养学生反思习惯作了初步的尝试。

一、针对解题现状，明确反思的目的和意义

1．堪忧的解题现状

由于初中生的年龄特征以及数学认知结构水平的限制，再加上非智力因素的影响和“应试教育”的压力，学生在学习过程中往往对基础知识不求甚解，对基础训练不感兴趣，虽热衷于大量解题，但不善于（甚至是不愿意）对自己的思路进行检验，也不会对自己的思考过程进行反思，不会分析、评价和判断自己思考方法的优劣，不善于发现和纠正自己的错误。因此，学生解题时缺乏对解题方法、题解中反映出的数学思想方法等的反思总结，从而导致获得的知识系统性差、结构性差。同时，由于不少教师习惯使用灌输式的教学方式，经常使用题海战术，过分注重讲题和学生做题的数量，不注重学生的反思习惯的培养，导致学生“一听就懂，一做就错，一难就怕”。这种令人堪忧的现状，不但影响到解题教学的有效性，而且直接影响到学生数学素养的提高。

2．反思的目的和意义

美国数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中说：“如果没有反思，他们就错过了解题的一个重要而有效益的方面。” 新课程理念倡导的数学反思活动，是一种积极的思维话动和探索行为。它要求教师积极指导学生开展解题反思，培养他们的反思能力，指导学生对客观事物中所蕴涵的数学模式进行思考，从而帮助他们从题海中解脱出来，更加清晰地认识问题、理解问题。这样做，有利于学生巩固、同化新知识，准确把握新旧知识间的内在联系；有利于学生选择合理、简捷的解题途径，并发现新的规律加以推广与延伸；有利于提高学生的数学思维能力和解题能力。实践表明，学生的解题反思习惯能否养成，与教师在教学实践中有没有解题反思的意识有关。一个好的教师首先自己要有解题反思习惯，才能有效培养学生解题反思的习惯。而良好反思习惯的养成，不仅使学生由被动的机械学习提升为高品位的智慧学习，而且能减轻学习负担，有效提升数学素养。

二、抓住关键步骤，培养学生解题反思的习惯

1．题前仔细审题，培养反思习惯

审题是解题过程的首要步骤，一定要善于发现题目中的隐含条件和关键词语，以防掉入命题者所设置的陷阱。只有在平时解题时多加反思，做到细心审题，认真检查，养成全面考虑问题的习惯，才能有效地避免解题过程中的疏漏，克服思维的片面性，养成严谨缜密的思维品质，提高解题能力。对一些简单的基本题,只要认真审题,一般来说并不困难。然而对于那些要求综合或灵活运用知识来解答的题目,审题的要求就比较高了。因此，教师要指导学生在反思过程中考虑：这个题求什么？知道什么？知、求之间有什么关系？学过什么？解这样的题目要用到哪些知识？有什么样的常规方法？有没有特殊的方法？等等。通过学生的分析、讨论和总结，让解题思路显得自然而有条理。即使有些学生刚开始拿到问题无从下手,不能解答，但通过参与审题思路的反思讨论，也能够清楚困难是什么，如何转化条件，从而达到顺利解决问题的目的。长期坚持，就能养成理清解题思路再实施解题的习惯，而不是盲目的、无计划的解题，从而不断提高解题效率。

2．题后梳理解法，培养反思习惯

当一道数学题解完以后，学生习惯就此了事，而对“这道题我是怎么做出来的？”“还可以怎么解？”“还有没有更巧妙的解法？”等问题很少甚至根本不去思考。正是由于他们对每道题的解法都处于一鳞半爪、仅是零星的感性认识就浅尝辄止，才造成做过、讲过的习题永远停留在“白头如新”的层次上。因此，笔者经常要求学生在解完题后要学会“站一站”和“想一想”。想想此题都应用了那些定义、定理或法则？是如何证明、计算的？然后同桌之间互相说一说、口述一遍思路和解法，直到对方认可，没有疑问后才算真正解完题。实践表明，梳理解法是唤醒、培养学生反思意识的重要措施，学生在描述、追问的梳理过程中，能充分意识自我的存在和思维的魅力，借反思这根“金线”穿起散落的思维之“珠”，对活跃思路、开阔视野、提高解题能力大有裨益。如求证：正三角形内任一点到各边的距离和是一个定值。在证明完成以后，可以引导学生通过解后反思将它向纵向和横向推广，从而得到如下两个命题：（1）正多边形内任一点到各边距离之和是一个定值。（2）正多面体体内任一点到各个面的距离之和是一个定值。这两个命题分别可以用面积法和体积法来证明是正确的。这样，学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，使思维进入理性认识阶段，取得事半功倍的效果。

三、优化解题训练，培养学生解题反思的习惯

1．寻找最优解法，培养反思习惯

不少学生常会觉得自己虽然做了很多习题，但是能力没有明显提高，因而感到非常困惑。究其原因，在于学生在解题时往往仅仅满足于找到题目的答案，而对于自己解题方法的优劣，却从来不加研究，作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足。这是学生思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是学生的思维创造性水平不高的表现。因此，教师要有意识地启发、引导学生及时反思自己所选择的解题方法是怎么想到的？是否还有其他解法？所选的方法是不是最合理、最简洁、巧妙？等等。可通过引导学生重新审视自己的思维过程，不断变换角度寻找、观察题目所独具的基本特征，努力对现有的解法作些改进与优化，主动寻找解决问题的最佳方案。这样，不仅能够使学生对所学知识的灵活运用有进一步的认识,而且对知识的内在联系脉络了解得更清楚，解起题来更加得心应手。同时，还有利于开阔学生的视野，不断提高学生的概括能力，促使学生形成一个系统性强、着眼于相互关系的数学认知结构。

2．重视变式发散，培养反思习惯

数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。数学教学，使学生理解、掌握数学知识仅仅是一个方面。更重要的，还在于要培养学生的数学思维能力，掌握数学的思想和方法。而解题的变式训练其实就是追求创新、不断优化解题训练。当然变式发散不是盲目的变化，而应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变化。笔者在反思训练中，经常鼓励学生挖掘例题和习题的内涵，并将之打散、重组，一题多变，自己设计变式练习。与此同时，我还十分重视一题多解的训练。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

例如在学习等腰三角形的判定时，例题是这样的已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上， CD⊥AB， BE⊥AC，垂足分别为D、E，∠1=∠2

求证：三角形ABC是等腰三角形

这题学生一般想到利用两个三角形全等来证明AB=AC，利用等腰三角形的定义得到三角形ABC是等腰三角形，我继续引导学生思考能否有其他的方法证明，并适时提问还有没有其他方法证明△ABC是等腰三角形，学生马上想到刚学的在一个三角形中等角对等边的知识，于是把问题转化到如何证明∠ABC=∠ACB，通过学生讨论得到两种证明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用外角或三角形内角之和为180度得到两个角相等。这题从不同的角度进行多向思维，把各个知识点有机地联系起来，使学生触类旁通，发展了学生的多向思维能力。