小学数学递进式系列拓展课的样态

作者简介

陈云，中小学高级教师，江苏省特级教师，曾获“江苏省最美教师”“阳澄湖教育领军人才”等荣誉称号。先后获得“全国优质课”比赛一等奖、“江苏省优质课”比赛一等奖。主持参加多项省、市级课题研究。在《教育学术月刊》《小学数学教师》等刊物发表论文百余篇。

拓展课的开发和利用有利于帮助学生在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程中，形成和发展核心素养。好的拓展课内容要“高”、起点要“低”、入点要“窄”、范围要“宽”。不仅如此，好的拓展课还应当注意构建课程体系，同一主题的拓展课应在不同学段循序渐进地展开，成为系列拓展课，避免拓展课无厘头地插入，又无余音地结束，给学生带来“悄悄的我走了，正如我悄悄的来；我挥一挥衣袖，不带走一片云彩”的惆怅。笔者以“探秘度量衡”为例，探索递进式系列拓展课的样态。

一、在探寻知识背景中扎下拓展之“根”

度量衡的学习一般从二年级开始，最初是较小的长度单位的认识、简单的时间单位的认识，至三年级开始出现较大的长度单位、质量单位，度量衡逐渐变得“芜杂”，应用上会出现一些混乱，学生会产生害怕和抵触的情绪。因此，教师要借助拓展课帮助学生了解度量衡的产生与来源，适当强化学生对度量衡本质的理解，通过拓展使学生形成简化的、本质的、对未来学习更有支持意义的、内在逻辑性较强的度量衡的基础知识结构，在展现“知识背景—知识形成”的过程中激发学生学习兴趣，增强学生学习度量衡的自信心，获得对度量衡的实质性理解。因此，三年级学生学习了长度单位、质量单位之后，便可进行“探秘度量衡”的学习。

拓展课一：它从哪里来

1.观看视频（长度单位的产生过程——节选自中央电视台科学频道“探秘度量衡”，如图1所示）。

2.引导交流：长度单位是怎样产生的？最初人们是怎么约定长度单位的？古人用的长度单位有哪些？我们学的这些长度单位相邻单位进率是什么？

3.观看视频（米的长度是如何一步步精准的？如图2所示）并讨论：古人用的单位，现在我们在正式测量活动中还用吗？为什么不用了？思考现在的长度单位是怎么确定的？为什么要重新约定？

4.参与测量活动——选择合适的工具测量身边物体，并交流：我们在选择尺子时，其实选择的是什么？为什么这样选择？我们要测量的物体无限多，要不要去创造无限多的测量单位？为什么？如何用有限的单位去测量无限多的物体呢？

5.引发猜想，课下延伸：如何测量苏州到上海的高速公路的长度？如何测量地球到月球的距离？茫茫宇宙空间你觉得还有什么可以测量的？有没有测量它们的尺子？

这节拓展课较好地体现了“高”的维度：即内容要高，高到能把课内外大量的学习资源形成彼此关联的知识金字塔，拓展课不能上成教材内容的简单复习和总结，要基于学生原有的认知基础和学习经验，实现学生知识和能力的拓展。“探秘度量衡”的首次拓展，内容涉及古今中外，把长度单位的“前世今生”都完整地呈现了出来。基于三年级学生的认知特点，接受、理解、记忆还是主要的学习方式，教师借助音频、视频、绘本、故事等形式，紧抓“长度单位是怎样产生的”这一主问题，辅以“古人用的长度单位有哪些”等子问题，各问题之间形成环环相扣的问题链，降低思维难度，转化和分解了主问题，十分自然地层层深入。学生在自学中成长、在观察中推理、在合作交流中豁然开朗，不仅获得了更多课本上没有的知识，还在自主学习、合作学习的过程中尝试探索怎么学习，尝试如何用数学的思维思考现实世界。

二、在迁移数学方法中萌发拓展之“芽”

随着数学学习的深入，学生所积累的数学学习方法就成为学生的“数学现实”，这些现实应成为学生进一步学习数学的素材。选用这些素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能更好地帮助学生提炼学习方法、形成学习能力。在前面的拓展中，学生对度量的本质有了充分的了解，这种“了解”需要进一步转化成“理解”。人为约定的米、厘米这样的小“长度”可以用来测量大“长度”，为了便于测量，我们把小“长度”记录在尺子上，那么这种方法可否应用到新的测量活动中？怎么测量面积呢？面积和长度的区别在哪里？有没有“尺子”能一次性测量出面积呢？这些问题的拓展能帮助学生深入理解度量的本质，也让学生在实现“方法提取—方法应用”的过程中学会迁移。至此，可以在四年级认识了面积的概念之后引入“探秘度量衡”的第二课。

拓展课二：设计“面积尺”

1.提出问题：长度是如何测量的？面积又该怎么测量？

2.小组合作：设计一把“尺子”，测量出卡纸的大小。

3.集体讨论：大家认为的“好尺子”有什么共同点？用小正方形测量卡纸面积时要铺几次？有没有一次就能量出卡纸面积的“尺子”？

4.展示图3并交流：这把“尺子”上面的小方块是什么？为什么量面积要向横的、竖的两个方向去量？和我们用学生尺量长度有什么不一样？这把“尺子”横向量出的是什么？纵向量出的又是什么？量完之后相乘得到的又是什么？

5.拓展提升：如果把这把“尺子”逐渐缩小，你还能量出卡纸的面积吗（如图4，动态呈现不断缩小的过程）？如果把这把“尺子”逐渐扩大，你想到了什么（如图5，动态呈现不断扩大的过程）？说说你的感受。

这节拓展课恰当地诠释了“低”的维度：即起点要低，低到让每个学生都觉得可以参与。拓展课不是给学优生的“福利”，不能在教学中对难题、偏题进行无限挖掘，要为所有学生的拓展而教。四年级的学生已经获得了一定的数学活动经验，喜欢动手操作，期盼自己能创造出新的东西，这样的“数学活动经验”会给课堂注入活力，让创新意识的培育、创新能力的发展成为可能。对他们来说，创造一把新“尺子”有趣并且不难，每一个学生都可以参与，却又能在简单的操作过程中很好地实现从一维到二维的跨越，让学生形成空间观念。这一阶段学生的问题意识也在加强，在拓展的过程中，教师应有意识地引导学生自己提出问题：“面积尺”是一把什么样的尺子？和“长度尺”相同与不同的地方在哪里？“长度尺”能直接量出结果，“面积尺”为什么量完还要计算？……如何解决这些问题？可以指导学生在操作的过程中，经过仔细观察、思考，通过同学之间的相互启发，把原本隐性、抽象的思维结构、思考路径及思维方法呈现出来，使知识之间的结构清晰、形象、可见。这样的拓展课才能体现操作以外的价值，也正是学生努力尝试用数学的眼光观察现实世界的一种表达。

三、在完善知识框架中绽放拓展之“花”

数学拓展课程应当致力于减轻学生的数学学习负担，帮助学生形成知识网络，促进学生对知识的联系与理解。当学完小学阶段的所有度量知识之后，教师就要引领学生对整个度量衡进行整体分析，提炼并打通各个度量单位之间的关联，建构起度量主题统整下的脉络清晰、条理分明、相互联系的度量知识体系。另一方面，教师要适时引导学生对不同的量进行分类、整理、比较，在概念、原理及进率之间构建起有效的认识结构，体会不同度量内容之间度量本质、度量方法上的一致性和可迁移性，帮助学生在“寻找联系—构建整体”的过程中学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展数学核心素养。因此，教师可以在五年级借助一些度量知识之间的联系开展“探秘度量衡”的第三课。

拓展课三：联系你我他

1.提出问题：能够一次测量出体积的“尺子”长什么样呢？（如图6）如果这把“尺子”简化成图7一样的，还能测量体积吗？

2.小组合作，搭建联系。整理长度、面积、体积单位之间的进率关系，记录下来，仔细观察，你有哪些发现？

（1）如图8，如果想让相邻的两个单位之间的进率相等，括号里可以添加什么单位？生活中见过这样的单位吗？

（2）可不可以把相邻面积单位、体积单位之间的进率也约定为10呢？结合“面积尺”“体积尺”的创造过程进行解释。

（3）如果以米为“主单位”，怎样才能得到比“米”大和比“米”小的单位？你们还能类推出更大的或者更小的单位吗？（如图9）

3.纵向延伸，完善结构

（1）长度单位、面积单位、体积单位与容积单位、质量单位等也会有关系吗？结合教材内容（如图10）说说你们发现了什么？

（2）交流课前搜集的资料，了解1千克的质量在国际标准中是如何规定的以及这个规定的演变过程。继续整理容积单位和质量单位（如图11），比较体积单位、质量单位和容积单位的进率，你们想到了什么？

（3）这些单位的进率分别是十、百、千，却没有万，与国际通用的数的三位分节有没有关系？交流课前搜集的资料，提出新的问题并合作解决问题。

4.合理猜想，延伸课堂：度量衡的约定是随心所欲的吗？国际计量单位中现行的一些约定会是永久不变的吗？

这节拓展课正好体现“窄”的维度：即入点要窄，窄到可以从一个小点出发不断深入地开展探究，拓展课不应只是蜻蜓点水般匆匆掠过，而要能够以点带面，形成对一类知识、能力的深刻理解。从“联系”这个点深挖下去，耐心倾听学生对过程的解释，揭示相关度量知识之间的内在关联，帮助学生整体掌握一种测量系统，把凌乱的、复杂的度量单位、进率关系理顺、弄懂，构建度量认知结构。这一时期的拓展课，问题的提出可以更具框架性，拓展内容的推演要基于学生自己的质疑问难，帮助学生发展批判性思维，形成实事求是的科学态度，孕育讲道理、有条理的思维品质，这样的“窄”入点才能带来“大”境界。

四、在激发数学思维中结出拓展之“果”

进入中、高年级，学生的活动空间有了较大的扩展，学生感兴趣的问题已拓展到客观世界的许多方面，他们逐渐关注自然、社会中的更为广泛的现象和问题。此时，教师可以引导学生尝试用学过的知识解决应用性的数学问题和简单的现实问题，更有利于帮助学生体会数学的价值，激活数学思维，提升应用意识。这一时期教师可以选择来源于自然、社会中的度量现象和问题作为素材，设计运用度量知识解决问题的活动，具体呈现方式既要符合学生认知需求，又要能够有助于学生理解数学的本质，引发学生深入思考，帮助学生在“问题情境—求解验证”的过程中积累度量的活动经验，并进一步提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识。所以，在六年级复习阶段，可以介入“探秘度量衡”的总结课。

拓展课四：有趣的测量

1.提出问题：学习了测量单位，就可以轻松完成各种度量了吗？

2.量一量：学校艺术长廊的柱子有多粗？学校艺术馆中心圆形舞台的面积有多大？教室里圆柱状垃圾桶最多能容纳多少垃圾？如果要进行以上测量活动，你们该如何操作？

3.比一比：（1）学校组织放风筝比赛，每位选手的风筝线同样长。当所有选手的风筝线都放出去时，谁的风筝飞得高？

（2）批发商王叔叔迎来两位顾客，要购买同一型号的铁丝各一捆。顾客甲说：我要的铁丝少，给我长度短的那一捆吧。顾客乙说：正好我需要的多，比较长的那一捆给我。问：哪一堆铁丝更长？

4.听故事：古人是如何测量金字塔的高度的？

5.说一说：以上测量活动给你们哪些启示？你们还经历过哪些有趣的测量活动？和同学们说一说。

6.做一做：4人一组，合作完成测量距离的任务（测量工具：卷尺1把，测绳1根，标杆若干根）。

（1）测量两点间的距离：在操场上选定A、B两点（两点间无障碍，两点间的距离大于卷尺和测绳的长度），测量两点间的距离，并将测量的过程、结果及体会记录下来。

（2）测量点到直线的距离：在操场中间的任意位置选择一点A，测量点A到跑道（直线）的距离（点A到跑道的距离要大于卷尺和测绳的长度），并将测量的过程、结果及体会记录下来。

拓展课就要体现“宽”的特点：即范围要宽，宽到可以使不同的人有不同的发展空间，拓展课不是要增加什么新的知识，而是帮助学生更好地学会思考，不论学生从哪个角度去思考，只要他们有所收获即是拓展。本节课教师创造贴近学生的现实生活、聚焦真实问题的解决和具有社会价值的综合性议题，通过跨领域的整合方式打破学科边界，实现数学学科和其他学科以及社会生活的有机融合。这样综合性的测量活动，学生需要自己制定测量方案、亲自参与测量活动，得出属于自己的结论。教师的评价则采用“满意原则”和“加分原则”，只要学生尽力参与并有所感悟都应该得到肯定，这就是拓展的价值，也是学生用数学的语言表达现实世界所做出的努力。

（作者单位：南京师范大学苏州实验学校）