建构益智课堂 关注思维发展

教学内容：

人教版数学义务教育教科书六年级上册数学广角——数与形教学内容与自制益智器具“魔术拼板”融合教学。

教学目标：

1.在具体情境中让学生理解数与形的对应关系，会利用图形来解决一些有关数的计算问题，会利用数来解决有关图形的辨析问题。

2.在数与形的互相转换中，让学生欣赏数形结合的美妙，感悟数与形的密切联系。

教学过程：

一、谈话激趣，揭示课题

（教师播放“魔术拼板”视频）

师：你们看到了什么？是啊，像变魔术似的，还是用这四块板，看起来都拼成同样大的三角形，可第二次拼图中怎么少了一块？出现一个空的小正方形呢！要破解这个魔术，咱们先来学习“数与形”。

二、理解体会“数缺形时少直观”

1.探究“从1开始，连续奇数相加的和等于加数个数的平方”

课件出示填空题：观察题中加数有什么特点，并填出括号中的数。

1+3=（  ）=（  ）2

1+3+5=（  ）=（  ）2

1+3+5+7=（  ）=（  ）2

1+3+5+7+9=（  ）=（   ）2

师：这些算式有什么特点？

生：连续奇数相加，从1开始，和都可以看成几的平方。

生（小结）：从1开始，连续奇数相加的和等于加数个数的平方。

师：这些都是“数”（板贴“数”）。现在我们将这些“数”用“形”表示出来（板贴“形”）。老师带来一些小方块，我用1个方块表示“1”，那“3”就可用3个方块表示，5个方块表示“5”。

师：1+3+5=3×3。看到3×3，你们能想到一个什么形？

生：边长为3的正方形。

（学生用不同颜色的方块卡片拼正方形，教师引导学生观察有规律、无规律的图案，比较优劣）

师：按照此规律，如果再加一个数是哪个数？方块该怎么摆？

（学生继续操作并用手势比画摆放区域）

师：这些图形漂亮吗？有规律的图形很漂亮，漂亮的图形会说话，看，这幅图好像在说什么？（课件出示1+3+5+7=4×4，1+3+5+7+9=5×5）

师：这么有规律地摆放，拼出的正方形的边长与加数的个数有什么关系？小方块的总个数与拼出的正方形面积有什么关系？

师：同学们很会归纳推理，真棒！老师有个问题，没有图你们会算这些题吗？（生：会）那有个图有啥用？

生：更清楚，更直观。

师：是啊！通过形的辅助，就能很直观地发现得数的规律。而以形助数，就形象直观了。（板书：形——直观）

2.即时练习，应用规律

完成数学书第107页的填空。

3.探究“[12+14+18+116+132=？]”

师：以形载数，能让我们找到数的运算规律;以形载数，还能帮助我们巧妙解决比较复杂的数学问题。仔细观察，这里的分数有什么特点？这些“数”能不能借助“形”表示出来？

（学生画图，教师巡视。指名汇报，辅以课件演示）

师：通过画图，我们得出[12+14+18+116+132]=

1-[132]=[3132]。

师：如果不结合图形，我们用通分的办法也能求出答案。那我们用图形表示这个算式有什么好处呢？

生：能一眼看出答案，涂色部分就是1个整体减去空白部分。

生：从[12]开始，依次加的分数是前一次的一半，按照这个规律写分数，用1减去式子中最后一个分数就是这个连加算式的得数，结合图形就能理解这个算理。

评析 学生经历从“数”及“形”到由“形”到“数”的过程，能直观发现数与形的对应关系，结合图形与算式，发现计算规律，并应用规律解决同类计算问题。教师让学生初步体会“形”能直观解释“数”，以形助数，见数思形，通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力。形的问题中包含数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决。通过画图巧算结果，学生感受数形结合的优点，逐步养成数形结合的习惯，提高数形转化能力和数学分析能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补、相辅相成。

三、辨析感悟“形缺数时难入微”

师：华罗庚爷爷说过，数缺形时少直观，那形缺数时又会怎样呢？（再次播放视频）看起来两次都拼成同样大的三角形，怎么在第二次的拼图里缺了一小块呢？（同桌合作，拼图观察）

1.探究三角板中两个角的大小

师：我们先判断黑板上画的两个角（如图1），∠1和∠2哪个大？ [1][2]

生：一样大！

师：现在光有图形，没有数，很难下定论。

[教师组织学生拿出拼板器具中的三角形，寻找直角边的长度数据，并给黑板上的三角形的直角边分别标上长度数据（2，5）（3，8）（如图2）]

师：现在这两个直角三角形的直角边有了数，怎么根据这些数来判断两个角的大小呢？其实可以用两条直角边的比值来表示斜边与直角边的夹角的大小。

[课件出示：直角边2格、5格的三角形，直角边4格、10格的三角形（图略），这两个角大小相等吗？为什么？]

生：[25=410]，说明这两个锐角的大小相等。

师：把这两条斜边平移，就会在一条直线上（课件演示两条斜边在一条直线上）。

[课件出示“魔术拼板”的两个直角三角形：直角边2格、5格，直角边3格、8格（如图2）]

师（指图2）：这两个锐角大小相等吗？

生：看看[25]是否等于[38]。通分得出，[25]=[1640]，[38]=[1540]，[1640]≠[1540]，所以这两个角的大小不相等，相差一点。

师：通过数的大小比较，我们判定这两个角大小不同，现在我们拿出这两块三角板操作验证一下，重叠比较这两个角，你们发现了什么？

生：将两个角重叠对比，发现两个角大小不同，两直角三角形的斜边不在一条直线上。

师：那刚才怎么说这两个角一样大呢？

生：那是因为这两个角的大小相差太小，我们看不出来。

师：这种很细微的差别，用图形能表示出来吗？用什么才能精确表示出来？

生：数。

师：所以华罗庚爷爷说过，形缺数时难入微。很细微的差别，有图形而没有数，不能区分表示。（板书：数——精准）

2.探究拼图中空白小正方形的由来

师：如图3，这两幅拼图其实都不是直角三角形，两个三角形的斜边不会在一条直线上。那这两条线段连接起来会是什么样子呢？

生：往里凹（用手比画），往外凸（用手比画）。

师：再次想象下，两条折线向中间靠拢，会合成一个什么图形？

生：平行四边形。

（课件演示：往里凹与往外凸的线段闪烁、平移，围成一个平行四边形）

师：同学们的空间想象力真棒！

（教师组织学生同桌合作，再次拼出两幅拼图，重叠，观察，讨论，发现：重叠后多出来的部分是一个平行四边形，面积就是空白的小正方形的面积）

评析 学生能在以往的学习中体会“数有形时很直观”，但对“形缺数时难入微”这一体悟，学生的经历很少。本教学环节教师引导学生见形想数，以数析形，在观察、计算、操作、辨析等数学活动中，发展学生思维的深刻性和严谨性。通过提供富有挑战性的问题探究第二幅拼图中空白的小正方形为何产生，再一次引爆学生的探索热情，提高学生的空间想象能力，促进学生思维能力的发展。

总评 本课“数与形”是学科教学与益智器具融合教学案例，是对教科书教学内容的补充。全课以人教版数学六年级上册数学广角——数与形的例题为基本素材，融合益智器具，大胆加工，创新设计，设计有趣味、有数学味又有挑战性的教学活动，引导学生在“数”与“形”的不断结合与转换过程中，逐步感受“数”与“形”结合的价值。这节课不是知识概念课，也不是技能训练课，而是让学生通过观察、分析、推理、归纳、操作、观察、比较、想象等活动，深刻感悟数学思想方法，发展空间思维能力，培养良好思维品质。从这个层面来看，本课可以看作一节数学思维训练课。

（作者单位：江西省抚州市实验学校 江西省教育技术与装备发展中心）

投稿邮箱：[email protected]