借助单位“1”探究浓度问题

浓度问题是人教版数学六年级上册第六单元的内容，是在学生学习了分数乘除法、按比分配、百分数意义的基础上教学的。教师要引导学生结合单位“1”的概念多角度思考，建立“一题多解”的思维。

一、联系旧知，辨析概念内涵

浓度问题实质上是百分数问题，它和发芽率、命中率、出勤率、成活率等问题同时出现在教材中。浓度问题是学生容易出错的题型，他们往往错误地认为浓度是溶质与溶剂的百分比。笔者抓住新旧知识之间的关系设置问题情境，帮助学生形成对浓度的正确理解。

新课伊始，笔者呈现问题情境：“周日的早晨，小贤为妈妈冲泡了一杯浓度为30%的糖水，妈妈尝了一口，感觉太甜，于是加入开水稀释，稀释后感觉甜度刚刚好。”由此，笔者提出这个情境中浓度具体指什么的问题。学生回答：“这里的浓度就是甜度。妈妈感觉太甜，就是说糖水的浓度高了。”笔者引导：“有哪些办法能让糖水的浓度变低？”学生回答：“要么增加水，要么减少糖。这个情境中用的就是增加水的办法。”笔者继续提问：“你能联系百分数的意义说说浓度具体表示谁占谁的百分比吗？”有的学生认为浓度是糖占水的百分比，有的学生持反对意见。持反对意见的学生认为，糖水是由糖和水混合得到的，糖水应该是单位“1”，另外，水和糖都是糖水的一部分，糖与糖水、水与糖水都是部分与整体的关系，所以浓度应该是糖占糖水的百分比，而不是糖占水的百分比。这样，学生在具体情境中联系单位“1”、百分数等知识准确理解了浓度的意义，有效突破了“水”是总量（单位“1”）的错误认识。

二、丰富过程，理清数量关系

寻求等量关系、建立解题模型是本节课的重难点。笔者通过富有启发性的现实情境，引导学生用数学的眼光解读问题，理清问题中的数量关系，逐步抽象出数学模型。

课堂上，笔者引导学生写出表示含糖率的等式。一名学生提出：依据分数与百分数的关系，以及求一个数是另一个数的几分之几可以用除法计算，我们可以推理出“糖的质量÷糖水的质量=含糖率（30%）”，结果要记得加上“%”。另一名学生补充：三个量中，只要已知其中的两个量，就可以利用乘除法各部分间的关系得出第三个量，如“糖的质量÷含糖率=糖水的质量”“糖水的质量×含糖率=糖的质量”。笔者肯定了学生的想法并提问：有没有一种可能，只要知道三个量中的一个量就可以推出另外两个量？学生一时陷入茫然，笔者让学生先思考再小组讨论。小组讨论后，学生发现：依据分数与除法的关系，如果把30%写成分数的形式，分子30就是糖的份数，而分母100是糖和水的总份数，只需要用“100-30”即可得出水是70份，这里的30，70，100均指份数，不代表具体数量，但只要知道3个份数中某1个份数对应的量，就可以求出另外两个量。

三、题组对比，深化问题理解

浓度问题的题型丰富，变式多。小学生容易理解的解法一般是“抓不变量”，即寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系。教学中，笔者充分利用教材提供的素材，设计以下三个层次的问题，引导学生多角度归纳问题的外在特点与内在联系，发现数量间的对应关系，进而体会解决问题方法的多样性和一致性。

笔者先出示第一组题目（①一个分数，分子加3；②一个分数，分母减5；③一个分数，分子、分母同时加3；④一个分数，分子、分母同时减5），让学生找找其中什么量没有变。学生回答：第①题中分母不变，第②题中分子不变，第③题和第④题中分子和分母的差不变。这道题为学生分析变化量和不变量奠定了基础，降低了学习难度。

然后，笔者出示第二道题目：小贤要喝浓度为20%的糖水，如果有糖20克，应该加水（     ）克；如果有水20克，应该加糖（     ）克。学生独立作答后汇报：把糖水的质量看作单位“1”，将其平均分成100份，第一问中糖占其中的20份，对应的数量刚好是20克，20克÷20份=1克，说明每份数刚好是1克，而水有80份，则可用“1×80”得出应该加水80克；第二问中水有20克，对应的份数是80份，所以每份数用“20÷80”计算，得出每份是0.25克，而糖还是20份，则可用“0.25×20”计算出应该加糖5克。笔者通过单位“1”不变的简单题型，引导学生用“量率对应”的策略解题，分别计算部分量，实现了知识的迁移，提高了思维的灵活性。

最后，笔者出示第三道题目：在30克浓度为20%的糖水中加多少糖能得到浓度为40%的糖水？学生读题后，笔者提问：题目中20%和40%分别表示什么？学生结合具体情境认真思考两个分率的含义，并在小组内交流。通过组内讨论，学生得出：20%指加糖前糖占糖水的20%，40%指加糖后糖占糖水的40%。笔者引导：题目中有两个分率，必定对应两个单位“1”，这两个单位“1”是否统一？学生发现：20%对应的单位“1”是原来的糖水，40%对应的单位“1”是现在的糖水，因为加糖后糖的质量变了，糖水的质量也变了，所以单位“1”变了。笔者追问：单位“1”变了怎么解题？题目中有没有不变量？笔者给学生独立思考的时间，让学生自己找出不变量。几分钟后，学生发现题目中只有水的质量没变。笔者在黑板上画出线段图，并用彩色粉笔标注线段中量与率的对应关系，将抽象问题具象化、复杂问题简单化。据此，学生得出两种解法：一是先用“30×（1-20%）”求出水的质量是24克，再用“24÷（1-40%）”求出现在糖水的质量是40克，因为现在的糖水比原来的糖水增加的部分就是加糖的质量，所以可以用“40-30”求出加糖10克；二是利用加糖前后水的质量不变列方程解答，即假设加糖[x]克，先用30×（1-20%）表示出原来糖水中水的质量，再用（30+[x]）×（1-40%）表示出现在糖水中水的质量，因为加糖前后水的质量没有变化，所以30×（1-20%）=（30+[x]）×（1-40%），解方程可得[x]=10，也就是加10克糖。

笔者通过设置不同的题型，循序渐进地引导学生深化对浓度问题的理解，形成了不同的解题策略，获得了“抓不变量”的解题技巧。

（作者单位：武汉市江夏区实验小学熊廷弼路校区）

浓度问题是小学数学中的重要问题，包括加浓问题、稀释问题、浓缩问题、混合问题等。这类问题条件相对复杂、变式较多，具有较强的探索性和趣味性。教学浓度问题有利于强化学生运用百分数相关知识解决问题的能力，培养学生的模型意识，发展学生的数学思维。